Рандомизация весовых коэффициентов как модель построения линейной свертки в условиях неопределенности

Указанные выше подходы к оцениванию весовых коэффициентов в модели принятия решения на основе линейной свертки (10.39) предусматривают выполнение тех или иных арифметических операций с результатами экспертного оценивания, представленными либо в виде ранжировки, либо в виде матрицы результатов парных сравнений. Само по себе выполнение арифметических действий с данными, носящими нечисловой характер (с рангами), не вполне оправдано^[1]. В этой связи рассмотрим другой подход к построению весовых коэффициентов р_х, опирающийся на доступную ЛПР информацию о значимости тех или иных критериев. При этом указанная информация может быть весьма ограниченной и носить нечисловой характер.

Информация, которой располагает ЛПР, может быть представлена в виде частичного упорядочения критериев, когда про некоторое, возможно, весьма ограниченное число пар критериев известно, что «f. важнее, чем /?». Другой вариант доступной ЛПР информации может быть выражен с помощью утверждений вида «вклад частного критерия/(х) в результирующую оценку альтернативы х составляет не менее а • 100 (не более b • 100) процентов».

В терминах модели линейной свертки (10.39) эта информация должна найти свое отражение, соответственно, в виде неравенств относительно весовых коэффициентов: р- > p_jy p_t> а (р, < b).

Отметим, что последние неравенства — это, но сути, вся информация, которая реально доступна ЛПР^[2].

Потребуем, чтобы помимо обычно налагаемых требований р, > 0 (для всех i = 1,… т) и условий нормировки (10.40), весовые коэффициенты также удовлетворяли и следующему ограничению: все p_i могут принимать значения лишь из множества чисел.

где п — заданное целое число, которое определяется той точностью, с которой в дальнейшем будут оцениваться веса.

Общее число всевозможных векторов весов (р, …, р_т), которые будут удовлетворять ограничениям (10.42), обозначаемое далее как N"(0), определяется следующей комбинаторной формулой:

Таким образом, можно говорить о неопределенности однозначного выбора одного конкретного набора весов из имеющегося общего числа N_n(0) таких наборов. Математической моделью этой неопределенности может служить распределение вероятностей, задаваемое на указанном конечном множестве.

Предположим вначале, что с точки зрения ЛПР все N_n(0) наборов весовых коэффициентов (p_v …, р_т) в равной мере допустимы для использования в линейной свертке (10.39). Это приводит к модели, основанной на равномерном распределении, когда каждый набор весов может быть принят с одной и той же вероятностью, равной [N"(0)] '.

Если некоторые k из т из весовых коэффициентов зафиксировать и положить их равными, например Р (г,) = с, я ,…, P (i_k) = с_кп где с,…, с_к — целые числа, сумма которых меньше, чем п, то любая из остальных случайных величин Р (г) будет иметь условное распределение, которое получается из распределения (10.44) путем линейного сдвига значений его параметров Нестрогие неравенства р,> 0 имеют тот смысл, что некоторые из весовых коэффициентов могут быть равны нулю. На практике это означает, что соответствующие частные критерии не вносят сколько-нибудь существенный вклад в итоговый критерий F. Если такие частные критерии заранее исключены из модели (10.39), то мы имеем модель, в которой все веса строго положительны: р_: > 0. Для единообразия формы записи последующих моделей эти ограничения на весовые коэффициенты также можно записать в виде нестрогих неравенств.

При таком подходе каждый весовой коэффициент p_t рассматривается как случайная величина, далее обозначаемая как P (i), закон распределения которой при всех i = 1, т будет иметь вид.

для всех j, удовлетворяющих неравенству 0 < / < п.

Можно показать, что совместное (^-мерное, где k < т) распределение случайных величин P (i,), P (i₂), Р (ц) будет иметь вид:

для всех целых неотрицательных j_v сумма которых не превосходит п.

Нетрудно найти математические ожидания и дисперсии случайных величин P (i)

а также коэффициенты ковариации и корреляции между Р (г,) и Р (г₂):

Множество всевозможных наборов весов (/>,… р_т), которые удовлетворяют (10.46), содержит число элементов, равное N"(1), где.

Если все N_n( 1) вариантов выбора весов в равной мере приемлемы и допустимы, то каждый их набор (р_[} …, р_т) может быть выбран с одинаковой вероятностью, равной [ jV"(1) | Рандомизированный таким способом весовой коэффициент Pi рассматривается как случайная величина Р (/), закон распределения которой при всех i = 1,…, т будет иметь вид.

для всех j, удовлетворяющих двойному неравенству: 0 < п.

По аналогии с (10.44) можно найти совместные^{-мерные} распределения (где к< т) случайных величин P^>(i_i), Р (г₂), •••> Р^>(цУ

По аналогии с (10.45) можно записать основные характеристики распределения величин Р (/).

Можно заметить, что средние и корреляционные функции у случайных величин P (i) и Р (/) совпадают.

Наибольший интерес для практических приложений представляет случай, когда в распоряжении ЛИР имеются дополнительные сведения, задающие те или иные ограничения на диапазон возможных значений весовых коэффициентов (/?, …, р_т). Предположим, что весовые коэффициенты должны удовлетворять ограничениям снизу.

где d_v …, d_m — неотрицательные числа, которые принадлежат множеству (10.42) и удовлетворяют условию.

Общее число наборов весов (/?, …, р_ш), допустимых с учетом указанных ограничений, становится равным.

Отметим, что в обеих рассмотренных ранее моделях число допустимых наборов весов JV_n(0) и N_n( 1) являются частными случаями N_H(d):

• 1) при d_{ = d.₂ = …= d_m = 0, т. е. при отсутствии каких-либо ограничений на весовые коэффициенты имеем: N_n(d) = N_n(0);
• 1 Хованов Н. В. Анализ и синтез показателей при информационном дефиците. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1996. 196 с.
• 2) при d_{ = d₂ = …= d_m = rf что означает, что все веса должны быть строго положительны, имеем: D₍₎ = т-п~^{ и, следовательно: N_n(d) = N_n().

Все N_n(d) наборов весов (p_v полагаем в равной мере допустимыми для использования в модели линейной свертки, что позволяет моделировать имеющую место неопределенность однозначного выбора весов с помощью рандомизации, основанной на равномерном распределении. Тем самым каждый из оставшихся в числе допустимых набор весов может быть выбран с вероятностью, равной [N_n(d)] *.

Закон распределения величины P^(di) — рандомизированного весового коэффициента, будет иметь вид.

для всех j, таких что nd_{i 0} + nd_{.

Можно показать, что совместные /г-мерныс распределения случайных величин P^dXh), ?%₂),… Р"Хч) для любых k < т будут иметь вид¹:

для всех целых неотрицательных j_v сумма которых не превосходит числа п.

Основные характеристики закона распределения случайных величин P^di) также могут быть записаны в явном виде.

Как нетрудно заметить, характеристики случайных величин P (i) и Р (i) являются частными случаями аналогичных характеристик F*^di).

При п * °о «погрешность» оценивания весовых коэффициентов неограниченно уменьшается и дискретная модель оценки весовых коэффициентов заменяется непрерывной. Можно показать, что при п —^[3]? °о обе случайные величины Р (г) и Р i) сходятся по функции распределения к одной и той же непрерывной случайной величине Y (i)> подчиняющейся распределению с плотностью.

при 0 < у < 1.

Совместные распределения величии …, Y (i_k) (при всех k < т) будут определяться формулой.

частным случаем которой при k = 1 является (10.49).

Выполним аналогичный предельный переход, когда имеются ограничения вида (10.47). Рассмотрим случайные величины.

которые при п —? °о Jn ¹ —? у будут сходиться к случайным величинам F (i), имеющим бета-распределение с плотностью (10.49). Это в свою очередь означает, что Р^О) —? Z (i), где.

Плотность распределения случайных величин Z (i) может быть записана в явном виде.

когда z удовлетворяет двойному ограничению: d_t < z < 1 — D₀ + d_r Для всех прочих значений z плотность f^z) равна нулю.

Рандомизированные весовые коэффициенты Z (i) (10.50) могут непосредственно рассматриваться в качестве модели описания равновозможного выбора любого из допустимых наборов весов (/?, …, р_т) в непрерывном случае, когда элементы вектора ограничений (d_{1…, d_m) — любые неотрицательные числа, удовлетворяющие условию:

Плотность совместного распределения компонент^{-мерной} случайной величины (Z (?',),…, Z (i_k)) можно записать в виде.

для всех z_{i (Jy} удовлетворяющих ограничению: d_j{j) < z_{i (J)} < 1- D₀ + d_i{j), где j = = 1,k. Для всех прочих значений z_{i (J)} эта плотность равна нулю.

Применим построенную модель для задачи принятия решения на основе линейной свертки (10.39). Рандомизированные весовые коэффициенты в случае дискретной модели имеют совместное распределение (10.48), а в случае непрерывной — (10.51). При этом и сам итоговый критерий Остановится случайной величиной, называемой рандомизированный комплексный критерий, и имеет вид, соответственно

— в случае дискретной модели и.

— в случае непрерывной модели.

Рассмотрим возможный метод принятия решения по выбору наилучшей альтернативы из двух конкурирующих между собой альтернатив: дг, и х₂, характеризуемых значениями частных критериев: (f_t*(x_t), …,/X^ri))^и (f*(^x2)" -'fm (^x2)) соответственно. Значения рандомизированного комплексного критерия F, характеризующие альтернативы х, и х₂, будут вычислены (в случае непрерывной модели) как.

Решение о предпочтительности одной альтернативы по сравнению с другой может быть принято путем сравнения значений случайных величин f (х,) и F (x₂). При рандомизации весовых коэффициентов неравенства вида F (x_{) > F (x₂) будут являться случайными событиями. В силу этого критерий принятия решения может выглядеть следующим образом: следует вычислить вероятность этого события Pr^x,) > F (x.,)). Ее значение укажет на то, с какой степенью достоверности альтернативах, предпочтительна по сравнению с альтернативой х₂.

Если указанная вероятность будет превосходить заданный ЛИР пороговый уровень у

то можно говорить о значимом стохастическом доминировании альтернативы х, над альтернативой х₂.

Чтобы вычислить вероятность (10.52), запишем условие F (x,) > F (x₂) в виде

Тем самым стохастическое неравенство /'(х,) > F (x₂) сводится к неравенству между двумя линейными комбинациями случайных величин, имеющих совместные распределения вида (10.51), а это позволяет найти явный вид вероятности (10.52) с помощью обобщенного распределения Эрланга^[4].

Пример построения результирующего критерия.

Пусть имеется т = 3 частных критериев: /*, /₂*, /₃*, на основе которых требуется построить результирующий критерий принятия решения F (J*, f₂, f₂) с помощью линейной свертки (10.39).

Пусть ЛПР при этом располагает информацией, сводящейся к тому, что:

• 1) частный критерий/₂* более существенен по сравнению с частным критерием /₃*;
• 2) «вклад» частного критерия /,* в результирующий критерий должен составлять более 50%.

С помощью построенного результирующего критерия требуется принять решение по выбору наилучшей из двух имеющихся альтернатив: х, и х₂, характеризуемых следующими значениями частных критериев (после их нормировки)

Приступая к решению, следует отметить, что применение модели линейной свертки, основанной на рандомизации весов, в данном случае вполне оправдано, поскольку информация, которая имеется у ЛПР, весьма ограничена и носит нечеткий характер. Имеющуюся информацию можно формализовать с помощью неравенств относительно весовых коэффициентов в выражении (10.39).

(10.53).

Р₂^>Рз: Pi >0,5.

Предположим, что точность оценивания весовых коэффициентов, равная 0,05, устраивает ЛПР в данной задаче. Это означает, что в (10.42) следует положить п = 20, так как 0,05 = 1 /20. Общее число наборов весовых коэффициснтов будет равно:

= 171.

'19'.

ч 2 ,.

Из них ограничениям (10.53) удовлетворяют, как в данном случае нетрудно убедиться непосредственно, только 15 наборов (табл. 10.6).

Таблица 10.6

Допустимые наборы весовых коэффициентов (к примеру построения результирующего критерия).

В правых столбцах таблицы для каждого из 15 наборов весов вычислены значения результирующего критерия /'(/ *,/₂*,/*) для каждой из двух имеющихся альтернатив и их разность. Легко видеть (см. крайний правый столбец), что в 12 из 15 случаев F (x_l) превосходит F (x₂). Считая, что все 15 наборов весов в равной мере пригодны (в силу условий задачи у ЛПР нет оснований считать иначе!), получаем, что вероятность (10.52) стохастического доминирования альтернативы х, над альтернативой х₂ будет равна.

Pr (f (x₁) > F (x₂)) = 12/15 = 0,8,.

что дает ЛПР достаточные основания, чтобы сделать выбор в пользу альтернативы х,.

• [1] Ставший классическим пример таких неоправданных действий — вычисление «среднего балла», при котором усредняются числа (например, 5, 4, 3, 2), используемые для кодировки уровней качества («отлично», «хорошо», «удовлетворительно, «неудовлетворительно»)академических результатов, показанных обучающимися.
• [2] Ховаиов Н. В. Оценка сложных экономических объектов и процессов в условиях неопределенности: к 95-летию метода сводных показателей Л. Н. Крылова. // Вестник СПбГУ. Сер. 5.2005. Вып. 1. С. 138−144.
• [3] 1 Хованов II. В. Анализ и синтез показателей при информационном дефиците.
• [4] Вентцелъ Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. М. :Наука, 1988. 480 с.