Принцип оптимальности Гурвича (пессимизма — оптимизма)

Обобщением критериев Вальда и оптимизма может служить критерий Гурвича (чаще именуемый критерием Гурвица^[1], несмотря на то, что его автор — американский экономист Леонид Гурвич — англ. Leonid Hurwicz). Согласно этому критерию, вводится величина, а — так называемый показатель пессимизма, 0 < а < 1. Предполагается, что при любом выборе альтернативы наихудший для ЛПР вариант реализуется с вероятностью а, а наилучший — с вероятностью 1 — а. Иными словами, вводится случайная величина К имеющая дискретное распределение с двумя значениями и принимающая значение min у. с вероятностью, а и значение maxу_и — с вероят;

ностью 1 — а.

Величина У, по смыслу означает полезность альтернативы х_у Отвечающее такому пониманию полезности отношение предпочтения на множестве альтернатив X вводится следующим образом.

Определение

Из двух альтернатив x_j} х_к более предпочтительной согласно критерию Гурвича считается та, которой отвечает большее значение линейной комбинации минимальной и максимальной полезностей среди всех возможных реализаций среды.

Согласно этому определению, наилучшей альтернативой по данному критерию окажется альтернатива х_к, максимизирующая функцию Н вида.

При этом альтернатива х_к называется оптимальной по Гурвичу, а сам критерий — принципом Гурвича (пессимизма — оптимизма). Для множества альтернатив X, заданного не конечным набором значений, а в виде области в пространстве, наилучшей альтернативой по критерию Гурвича окажется альтернатива х*, максимизирующая функцию W

В дальнейшем для сокращения записи аргумент, а у функции H (x_i9 а) будем опускать.

В рассмотренном выше примере использования платежной матрицы показатели имеющихся шести вариантов по критерию Гурвича равны:

При разных значениях показателя пессимизма, а оптимальными могут оказаться четыре из шести альтернатив: х₂, х₃, х₅ и х_в — те, отвечающие которым графики расположены выше остальных и обозначены сплошными линиями (кроме х₅) на рис. 16.1. Например, при 0 < а < 0,5555 график, отвечающий Н (х₃)_у превосходит все остальные показатели, а при 0,5714 < ос < 1 наилучшие значения имеют совпадающие графики Н (х₂) и H (x_G).

Рис. 16.1. Изменение веса альтернатив, но критерию Гурвича в зависимости от показателя пессимизма а.

Сплошные линии отвечают показателям Н (х₂, а) = #(х₆, а), Н (х₃, а), которые могут быть оптимальными на основной части отрезка, а е [0; 1], пунктирная — H (x_v а), штрихпунктирная — Н (х_А, а), штриховая — Н (х₅, а).

Обратите внимание!

В число наилучших по критерию Гурвича вошла альтернатива х₆, не принадлежащая множеству Парето —Эджворта, т. е. доминируемая по крайней мерс одним из других вариантов. Такой результат противоречит здравому смыслу и элементарной логике.

Но не только включение доминируемых альтернатив характерно для принципа Гурвича. Хотя данный принцип занимает взвешенную (компромиссную) позицию между двумя крайними вариантами максиминной и максимаксной точек зрения, но и этот критерий не лишен недостатков, присущих обоим рассмотренным выше принципам.

Обратите внимание!

В некоторых случаях оптимистичность или пессимистичность критерия Гурвича может оказываться чрезмерной и приводит!" к столь же нелогичным выводам, противоречащим здравому смыслу, что и для критериев максимина (минимакса) и максимакса.

• [1] Коэффициент Гурвица [Электронный ресурс]. URL: http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/1 812 571 (дата обращения: 04.08.2015).