Общая теория проверки статистических гипотез

Проверка простых гипотез. Лемма Неймана-Пирсона

Если требуется проверить, согласуется ли множество выборочных значений с заданной гипотезой Я, то рассматривается распределение выборки и вычисляется некоторая подходящая мера D > 0 отклонения этого распределения от теоретического распределения. Используя распределение величины Д определяется критическое значение Я₀, такое, что если гипотеза верна, то P{D > D₀} = а, где азаранее заданный уровень значимости. Если в конкретном случае обнаруживается отклонение D > Я₀, то гипотеза Я отвергается, в противном случае — принимается.

В рассмотренных задачах был некий произвол, состоящий в том, что во-первых, мера D выбиралась различными способами, во-вторых, критическое множество определялось неоднозначно. Поэтому возникает важная проблема: научиться сравнивать различные возможные критерии для проверки данной гипотезы. Можно ли придать разумный смысл утверждению, состоящему в том, что один из двух критериев более эффективен, чем другой?

Решение поставленной задачи было дано в работах Неймана и Пирсона. Основную идею можно описать следующим образом: при применении критерия значимости в каждом случае возникают следующие альтернативы: или отвергнуть или принять предложенную гипотезу Я. И в том и другом случае решение может быть ошибочным: так как можно отвергнуть Я, когда она верна (т.с. совершить ошибку так называемого 1-го рода), или принять Я, когда она неверна (ошибка 2-го рода). Поэтому разумно исходить из того принципа, что при выборе критерия следует стараться, насколько это возможно, уменьшить ошибки обоих видов.

Таким образом, для признания критерия хорошим необходимо потребовать, чтобы вероятность отвергнуть гипотезу Я, когда она действительна верна, была мала, а вероятность отвергнуть Я, когда она ошибочна, была велика. Из двух критериев, соответствующих одной и той же вероятности, а отвергнуть в действительности верную гипотезу Я, следует предпочесть тот, при котором вероятность отвергнуть Я, когда эта гипотеза ошибочна, больше.

Пусть ?1 — множество возможных значений неизвестного параметра 0, и пусть Q = D₀ U Q_b где Q₀ П = 0, так что необходимо решить, принадлежит ли неизвестный параметр 0 Q₀ или т. е. имеются две гипотезы Я₀: 0 е Q₀, Яр 0 gQj. Гипотеза Я₀ называется нулевой гипотезой, гипотеза Н — альтернативной гипотезой.

Прежде чем решить, какая из гипотез предпочтительна, имеется возможность наблюдать значения х_ь …, х_п случайной величины, имеющей распределение, зависящее от неизвестного параметра 0. Обозначим через S множество всех возможных значений вектора х = (х, …, х_п). Множество S мы разбиваем на два множества, причем одно подмножество содержит все значения х, при которых мы предпочитаем Н₀, другое — отвергаем Я₀, и следовательно, принимаем H_t. Множество, для которого гипотеза Я₀ отвергается, называется критической областью критерия.