Общие сведения о моделях НЭ

Понятие модели.

При моделировании электронных схем одним из главных вопросов является разработка математических моделей активных и пассивных нелинейных элементов (НЭ), поскольку они определяют такие противоречивые требования, как временные затраты на проведение анализа, с одной стороны, и точность конечных результатов, с другой.

Под моделью нелинейного элемента обычно понимают любое описание (математическое, схемное, графическое и др.), отражающее с требуемой точностью его поведение в реальном электронном устройстве (при заданных условиях или выбранных режимах работы). На основе моделей НЭ строятся схемные математические модели электронных устройств.

Классификация моделей нелинейных элементов.

Рассмотрим основные классификационные признаки моделей.

Характер отображаемых процессов:

• • статические модели, представляемые вольт-амперными характеристиками, схемами замещения без реактивных компонентов или алгебраическими уравнениями;
• • динамические модели, задаваемые схемами замещения с реактивными компонентами или дифференциальными уравнениями.

Способ представления:

• • графические модели, заданные в виде графиков вольтамперных характеристик (в справочной литературе) или схемами замещения;
• • аналитические модели, заданные в виде аналитического описания, например аппроксимирующих выражений для вольт-амперных характеристик;
• • табличные модели, представленные в виде цифровых таблиц. Часто в табличной форме представляют данные, соответствующие графикам экспериментальных характеристик нелинейных элементов. Такая таблица совместно с подпрограммой интерполяции для получения промежуточных данных позволяет существенно ускорить вычисления;
• • цифровые, или алгоритмические у модели, представленные в виде подпрограммы. Такие модели вследствие сложности связей между токами и напряжениями рассчитываются численными методами по соответствующему алгоритму и методу вычислений. Исходная модель может быть задана в аналитической, графической или табличной форме, в виде нелинейных дифференциальных уравнений или в виде сложной схемы замещения, уравнения для которой составляются и решаются непосредственно с помощью компьютера.

Характер нелинейности:

• • кусочно-линейные модели, нелинейность которых проявляется в ограниченном числе точек стыка линейных участков;
• • нелинейные модели с нелинейностью характеристик элементов произвольной формы.

Диапазон амплитуд рабочих сигналов:

• • модели для малого сигнала, или малосигнальные модели, для которых амплитуды сигналов ограничены малыми отклонениями токов и напряжений от стационарной рабочей точки. Это, как правило, линейные модели, для которых нелинейность характеристик не учитывается или учитывается как крутизна в рабочей точке;
• • модели для большого сигнала, в которых используется весь рабочий интервал характеристики элемента.

Диапазон рабочих частот:

• • низкочастотные модели, в которых инерционность модели (проявляющаяся на высоких частотах) не учитывается;
• • высокочастотные модели, в которых инерционность учтена либо дифференциальным уравнением, описывающим переходный процесс внутри компонента, либо дополнительными внешними емкостями.

Порядок модели: модели нулевого, первого, второго и более высокого порядков. Этот классификационный признак отражает численные методы расчета нелинейных схем в зависимости от порядка используемых в них производных и помогает определить пригодность модели НЭ для включения в программу расчета схем.

Уровень сложности:

• • полные модели, формируемые непосредственно объединением отдельных компонентов, входящих в устройство, в общую систему уравнений;
• • макромодели, получаемые аппроксимацией полных моделей.

Способ определения параметров:

• • физические модели предполагают в своей основе изучение физических закономерностей, присущих устройству, вследствие чего структура уравнений и параметры модели имеют определенное физическое толкование. Физические модели НЭ в свою очередь подразделяют:
• — на электрические модели, представляющие систему уравнений, отражающих связь токов и напряжений в элементе, или описываемую этой системой эквивалентную электрическую схему, составленную из идеальных элементарных компонентов (резисторов, индуктивностей, конденсаторов, источников тока и напряжения и т. д.);
• — на физико-топологические модели, параметрами которых являются геометрические размеры характерных областей проектируемого устройства и электрофизические свойства материала;
• — на технологические модели, базирующие на параметрах технологических режимов изготовления проектируемых компонентов, например на температуре или времени диффузии.

Последние два вида моделей ввиду сложности и большой погрешности измерения внутренних параметров моделируемого устройства, а также больших затрат машинного времени, как правило, на этапе схемотехнического проектирования не используются;

• формальные модели, параметры которых находятся, как правило, с помощью экспериментального измерения на внешних зажимах реакции исследуемого устройства на тестовое входное воздействие.

Основные требования к моделям. Можно выделить три категори и т р е б о в, а н и й к моделям НЭ:

• • требования разработчика элементной базы, которые сводятся к тому, что модель должна быть построена относительно физико-топологических управляемых параметров, чтобы иметь возможность разработать элемент и реализовать расчетные значения его параметров;
• • требования разработчика схем электронной аппаратуры. С этой точки зрения модель НЭ должна быть построена относительно электрических параметров, имеющих ясный схемотехнический смысл, чтобы можно было оценить влияние элемента па свойства и характеристики устройства; для каждого электрического параметра желательно располагать данными о средних значениях, статистическом разбросе, температурных, режимных зависимостях;
• • требования разработчиков программ, которые предъявляются к моделям НЭ с точки зрения включения их в программы и реализации различных численных методов расчета схем.

Отметим, что некоторые из требований противоречат друг другу, а в выполнении таких требований, как небольшое число параметров модели НЭ и достаточная точность модели, заинтересованы все разработчики.

Точность моделей. Оценку точности моделей транзисторов и диодов часто производят по степени совпадения вольтамперных характеристик модели и реального элемента [251. В качестве возможных оценок можно использовать:

• максимальное относительное отклонение в заданном рабочем диапазоне (критерий Чебышёва).

где x_w х_к — токи i или напряжения и вольт-амперных характеристик модели и реального компонента;

• взвешенное среднеквадратическое относительное отклонение в заданном рабочем диапазоне.

где п — число точек измерения; cij — вес отклонения в j-й точке.

На тех участках вольт-амперной характеристики, где требуется лучшее совпадение, весовые коэффициенты имеют большие значения.

Приведенные оценки точности одного компонента можно назвать детерминированными оценками, поскольку в них не учитывается статистический разброс вольт-амперных характеристик.

При серийном изготовлении компонентов наблюдается расхождение вольт-амперных характеристик, обусловленное разбросом их внутренних параметров. Расхождение можно учесть с помощью закона распределения оценок (9.4.1), (9.4.2), полученного путем статистического моделирования. В этом случае наряду с величиной ошибки по оценкам (9.4.1) или (9.4.2) можно указать ее вероятность или, задав доверительную вероятность, найти соответствующую ей ошибку. На практике используют менее корректные, но более простые способы учета статистического разброса в оценках ошибок, основанные на имеющихся данных. Например, если задана область экспериментального разброса характеристик (без указания закона распределения), то, моделируя параметры модели элемента по нормальному закону, можно для каждого напряжения Uj вычислить процент попадания значений тока в область экспериментального разброса.

Оценку точности динамических моделей можно получить в результате сравнения окликов модели и реального элемента на тестовый сигнал.