Определение векторов приоритетов как собственных векторов матриц парных сравнений

После составления каждой матрицы парных сравнений А на любом уровне иерархии, на следующем этапе необходимо найти по матрице Л соответствующий вектор W приоритетов, характеризующий веса сравниваемых элементов х, х₂,…, х_п. В простейшем случае веса известны с самого начала, как в примере 7.3.1 — веса v_v v₂,…, v_n. Однако такая ситуация на практике скорее исключение, чем правило, так как смысл МАИ во многом заключается именно в том, чтобы упростить работу экспертов и не заставлять их определять приоритеты. По однозначного подхода к нахождению приоритетов по матрице А нет.

В литературе приводятся разные способы отыскания W. Наиболее точный подход был предложен еще в первых работах Т. Саати: для ранжирования элементов, анализируемых с использованием матрицы парных сравнений А, нужно найти ее главный собственный вектор, т. е. собственный вектор, отвечающий наибольшему собственному значению матрицы А. Вычисление главного собственного вектора W положительной квадратной матрицы Л проводится на основании равенства.

где Х_т._к — максимальное собственное значение матрицы Л; Е — единичная матрица того же размера п Х п.

Но во многих источниках (как в учебниках, так и в интернет-ресурсах¹) для практического отыскания вектора приоритетов рекомендуют приближенную формулу.

согласно которой каждую компоненту вектора W находят как среднее геометрическое элементов соответствующей строки матрицы А. Заметим, что эта формула точна для матриц размера п = 3 и служит достаточно точным приближением для матриц А большего размера, если они хорошо согласованы, т. е. с достаточной точностью выполнено свойство однородности ^aik^{= a}h'^ask- Однако при плохой согласованности матрицы А формула (7.4.2) может давать ошибочные результаты уже для п = 4.

Убедимся в этом на примере.

Пример 7.4.1.

Метод средних геометрических для нахождения приоритетов Пусть имеется четыре альтернативы x_vx₂, х_:1, х₄, и суждения эксперта о сравнении альтернатив, но некоторому критерию представлены в виде матрицы парных сравнений А:

Требуется найти вектор приоритетов W двумя способами:

• а) методом геометрических средних;
• б) через главный собственный вектор матрицы парных сравнений А.

Для большей убедительности результатов два значения в матрице парных сравнений А выбраны за пределами 10-балльной шкалы.

Для решения первым способом, применяя соотношение (7.4.2), получим компоненты приближенного вектора по формуле геометрических средних:

Для сопоставления с точным результатом выполним нормировку вектора, разделив каждую из величин W_k на сумму всех четырех компонент. Получим компоненты нормированного приближенного вектора ?/ = 0,308, W₂ = 0,244, W₃ = 0,275, W₄ = 0,173. Формула (7.4.2) приводит к выводу об оптимальности альтернативы .г, причем ближайшей конкурирующей альтернативой будет х_:):

¹ Хост-обзор: метод анализа иерархий [Электронный ресурс] URL: http://hostobzor.ru/ manual/mai.php.

Однако при точном нахождении главного собственного вектора, удовлетворяющего уравнению (7.4.2), компоненты нормированного вектора W с точностью 0,001 оказываются равны = 0,123, W₂ = 0,462, W₃ = 0,207, W₄ = 0,208. Таким образом, на самом деле оптимальной будет альтернатива х₂, а ближайшей конкурирующей (с большим отрывом) — х₄:

Погрешность отыскания приоритетов первых двух альтернатив по формуле (7.4.2) в этом примере велика: в абсолютном выражении она составила 0,185 и 0,218, а в относительном — в 2,5 и в 2 раза. И главное — выводы на основе формулы (7.4.2) неверны.

Таким образом, рассмотренный пример приводит к следующему заключению.

Обратите внимание!

Формула (7.4.2) расчета приоритетов как средних геометрических величин элементов матрицы А парных сравнений для п > 4 при плохой согласованности суждений в матрице А может давать высокие погрешности и неверные выводы относительно оптимальных альтернатив.

Учитывая возможность существенных ошибок при использовании формулы (7.4.2), приведем метод последовательного сколь угодно точного нахождения нормированного (имеющего сумму компонент, равную единице) главного собственного вектора W.

Обратите внимание!

Наиболее точный и практически эффективный способ отыскания главного собственного вектора W матрицы А — с помощью пакетов прикладных математических программ. В частности, встроенные функции нахождения собственных чисел и векторов имеются во всех самых распространенных пакетах (Mathematical MatLab, Maple, MathCAD и др.).

При отсутствии доступа к специализированным математическим пакетам (например, при наличии только офисного табличного редактора Excel, не имеющего встроенной функции для поиска собственных чисел и векторов) главный собственный вектор можно найти с помощью последовательных приближений (как правило, за небольшое число шагов) на базе следующей теоремы.

Теорема Для положительной квадратной матрицы А нормированный правый собственный вектор W, соответствующий максимальному собственному значению А,_тах, можно вычислить по формуле.

где е — вектор, состоящий из п единиц; Т — знак транспонирования; ^ = 1,2,3,… — показатель степени (число итераций).

Множитель е^лА^ке в знаменателе формулы (7.4.3) нужен лишь для обеспечения нормировки, чтобы сумма элементов полученного вектора W на каждом шаге была равна единице.

Предел при к —? °о в формуле (7.4.3) заменяется на практике значением при конечном номере к, который определяется в процессе расчета следующим образом.

Вычисления собственного вектора W по выражению (7.4.3) производятся до достижения заданной точности, т. е. до того момента, когда сумма модулей компонент разности W^(k) — W^{(k 0} окажется в пределах заданной погрешности:

|.

где k — номер итерации; в — допустимая погрешность.

С достаточной для практики точностью можно принять в = 0,01 независимо от порядка матрицы.

Одновременно с главным собственным вектором W можно найти и максимальное собственное значение А,_шах, которое требуется для исследования согласованности матрицы парных сравнений А. Максимальное собственное значение вычисляется по формуле.