Решение задачи линеаризации системы уравнений взаимосвязанных колонн разделения

Современные методы решения задач разделения основываются на одновременном решении всех линеаризованных уравнений математического описания вследствие малой склонности этих методов к накоплению ошибок округления. К тому же при расчете взаимосвязанных систем снимается проблема задания топологии системы — все связи между колоннами отражены соответствующими коэффициентами в матрице системы уравнений математического описания. При этом следует отметить, что матрицы коэффициентов, описывающих систему колонн, являются неплотными и применение специальных методов хранения данных позволяет свести к минимуму объем занимаемой памяти. Поэтому разработка эффективной процедуры решения задачи линеаризации системы уравнений взаимосвязанных колонн разделения является актуальной.

Линеаризация математического описания системы разделения требует дифференциации «стандартных» и «нестандартных» уравнений, описывающих эту систему, с целью формирования матрицы частных производных f (x) и последующего решения полученной линейной системы уравнений.

Выше (см. разд. 6.2) рассматривался подход к моделированию системы взаимосвязанных колонн разделения, предусматривающий описание любых ограничений как «нестандартных» спецификаций, записываемых в конец общей системы.

С учетом этого математическое описание системы разделения может быть представлено в виде набора функций рассогласования:

где fj — «стандартные» уравнения для у-й ступени контакта; NS — все «нестандартные» уравнения; PC — процедуры (если они есть) как «нестандартные» спецификации;

подвектор /| =(а/_л,…M_{j c}, Ej, Qj_],…, Qj_c)^T

подвектор NS = (ns₁, NS₂.~, NS_u)^T; подвектор рс = {рс_уРС₂…РС_р)^Т

М — число «нестандартных» спецификационных уравнений; р — число уравнений, связанных с процедурами.

Вектор независимых переменных математического описания системы разделения в этом случае запишется в виде:

где Xj — подвектор 2С + 1 независимых переменных, связанных су'-й ступенью контакта; XNS — подвектор «нестандартных» переменных; ХРС— подвектор р дополнительных переменных, продуцируемых процедурами:

подвектор Xj =iy_jl,…, y_/c, T₎, L_Jl,…, L_lc)^T подвектор XNS = (XNS, XNS₂XNS_M) ^r; подвектор XPC = (XPC"XPC₂ XPC_p)^T ?

При этом следует отметить, что матрица частных производных для одиночной многостадийной колонны имеет простую блочно-трехдиагональную форму (БТДФ).

Рассмотрим систему взаимосвязанных колонн, приведенную на рис. 6.5. Математическое описание этой системы колонн с 4-мя «нестандартными» спецификациями представлено на рис. 6.4. Якобиан этой системы имеет БТДФ с дисперсными элементами и окаймлением.

Данную линейную систему можно решить с помощью итерационного или прямого метода. Нами использовался прямой метод решения линеаризованной системы разделения, поскольку итерационные методы требуют больших объемов памяти ЭВМ и многократного пересчета производных термодинамических свойств.

В ряде работ предложен алгоритм, позволяющий применить блочное гауссовское исключение к БТДФ с дисперсными элементами, в других работах — алгоритм, отличающийся тем, что производные «стандартных» и «нестандартных» уравнений по «нестандартным» независимым переменным и производные «нестандартных» уравнений по «стандартным».

В предложенном ниже алгоритме использовалась схема обработки «нестандартных» спецификаций, к которой добавлялось смещение дисперсных блочных элементов к окаймлениям. Матрица, изображенная на рис. 6.4, может быть преобразована в матрицу (рис. 6.6) одновременным смещением строк 4 и 16 к нижнему окаймлению и столбцов 4 и 16 к правому окаймлению. Результирующая матрица является окаймленной, блочно-окаймленной, блочно-диагональной, блочно-трехдиагональной формы (ОБОБДБТДФ) или окаймленной блочно-трехдиагональной формы (ОБТДФ). Такие системы решались с помощью алгоритма блочнопострочного уменьшения, который будет описан ниже и в сущности эквивалентен рекурсивному использованию блочно-треугольного разбиения (БТР), связанного с ^з-факторизацией.

Для ясности последующего обсуждения введем некоторые дополнительные термины.

Линейная система, приведенная на рис. 6.6, подразделяется на матрицу первичной линейной подсистемы — блочнодиагнональную матрицу, соответствующую 17 из 19 стадий системы разделения (кроме 4 и 16) (М на рис. 6.7), и матрицу «правых частей», состоящую из.

• — двух матричных векторов, соответствующих частным производным для 17 стадий (кроме 4 и 16) по потокам и температурам стадий 4 и 16;
• — четырех подвекторов, соответствующих частным производным для 17 стадий (кроме 4 и 16) по «нестандартным» независимым переменным (S^Ss, S (, и Q_r рис. 6.5);
• — подвектора Bi правых частей линеаризованной системы.

Первые два пункта соответствуют Rz…, Ri. на рис. 6.7, в то время как подвектор Bi соответствует В®.

Матрицу первичной линейной подсистемы М иногда называют «матрицей простой структуры», так как она является блочно-диагональной и ее диагональные блоки имеют блочно-трехдиагональную форму и являются матрицами вторичных линейных подсистем.

Первая вторичная линейная подсистема, содержащая производные уравнений для стадий 1−3 по температурам и потокам стадий 1−3, является матрицей общего вида для следующих вторичных линейных подсистем БТДФ, чьи «правые части» есть два матричных вектора и пять подвекторов (включая подвектор ВО, т. е. первая правая подматрица содержит производные уравнений для стадий 1−3 по температурам и потокам стадии 4 и т. п.

Вторичные подсистемы решаются посредством неявной блочной LU- (или СД,)-факторизации, которая эквивалентна «стандартному» или реверсивному блочному исключению Гаусса, так называемому алгоритму Томаса. В процессе блочного исключения необходимо решить третичные линейные подсистемы, чьи матрицы являются либо подблоками на главной диагонали (обозначенные буквой В на рис. 6.6), либо матрицы, которые их замещают в процессе исключения. На шагах 1Ь, 2Ь и т. д. схемы блочного уменьшения по строкам для решения фундаментальной линейной системы (как показано на рис. 6.7 и обсуждаемом ниже) необходимо решить дополнительные подсистемы, которые будем называть «системами малого ранга» (соответствуют нижнему окаймлению на рис. 6.6). Априори нельзя определить ранг Т-матриц на рис. 6.7 или матриц, которые их замещают в процессе уменьшения по строкам. Разреженный участок на рис. 6.6 лучше использовать в случаях, если:

• — производные уравнений для стадии 4 на рис. 6.6 представлены Гг на рис. 6.7;
• — производные уравнений стадии 16 по температуре и потокам представлены Ту,
• — производная первого «нестандартного» уравнения NSi = S4L4 — 50 по первой «нестандартной» переменной S4 представлена Т4 и т. п.