Метод математической индукции

Метод доказательства, о котором будет идти речь в данном пункте, основан на одной из аксиом натурального ряда.

Аксиома индукции. Пусть дано предложение, зависящее от переменной п, вместо которой можно подставлять любые натуральные числа. Обозначим его А (п). Пусть также предложение А верно для числа 1 и из того, что А верно для числа к, следует, что А верно для числа к+1. Тогда предложение А верно для всех натуральных значений п.

Символическая запись аксиомы:

Здесь пик- переменные по множеству натуральных чисел. Из аксиомы индукции получается следующее правило вывода:

Итак, для того чтобы доказать истинность предложения А, можно вначале доказать два утверждения: истинность высказывания А ( 1), а также следствие А (к) => А (к+1).

Учитывая сказанное выше, опишем сущность метода

математической индукции.

Пусть требуется доказать, что предложение А (п) верно для всех натуральных п. Доказательство разбивается на два этапа.

• 1- й этап. База индукции. Берем в качестве значения п число 1 и проверяем, что А ( 1) есть истинное высказывание.
• 2- й этап. Индуктивный переход. Доказываем, что при любом натуральном числе к верна импликация: если А{к), то А (к+1).

Индуктивный переход начинается словами: «Возьмем произвольное натуральное число к, такое, что А (к)», или «Пусть для натурального числа к верно А (к)». Вместо слова «пусть» часто говорят «предположим, что…».

После этих слов буква к обозначает некий фиксированный объект, для которого выполняется соотношение А{к). Далее из А (к) выводим следствия, то есть строим цепочку предложений А (к)₉ Р, Pi, …, Р" = А (к+1), где каждое предложение Р, является истинным высказыванием или следствием предыдущих предложений. Последнее предложение Р" должно совпадать с А (к+1). Отсюда заключаем: из А{к) следует А (к+).

Выполнение индуктивного перехода можно расчленить на два действия:

• 1) Индуктивное предположение. Здесь мы предполагаем, что А верно для некоторого значения к переменной н.
• 2) На основе предположения доказываем, что А верно для числа ?+1.

Пример 5.5.1. Докажем, что число п+п является четным при всех натуральных п.

Здесь А (п) = «п²+п — четное число». Требуется доказать, что А — тождественно истинный предикат. Применим метод математической индукции.

л.

База индукции. Возьмем л=1. Подставим в выражение п +//, получим n²+n = I² + 1 = 2 — четное число, то есть /1(1) — истинное высказывание.

Сформулируем индуктивное предположение А{к) = «Число к²+к — четное». Можно сказать так: «Возьмем произвольное натуральное число к такое, что к²+к есть четное число».

Выведем отсюда утверждение А (кА-) = «Число (к+1)²+(?+1) — четное».

По свойствам операций выполним преобразования:

Первое слагаемое полученной суммы четно по предположению, второе четно по определению (так как имеет вид 2п). Значит, сумма есть четное число. Предложение А (к+1) доказано.

По методу математической индукции делаем вывод: предложение А (п) верно для всех натуральных п. •.

Конечно, нет необходимости каждый раз вводить обозначение А (п). Однако все же рекомендуется отдельной строкой формулировать индуктивное предположение и то, что требуется из него вывести.

Заметим, что утверждение из примера 5.5.1 можно доказать без использования метода математической индукции. Для этого достаточно рассмотреть два случая: когда п четно и когда п нечетно.

Многие задачи на делимость решаются методом математической индукции. Рассмотрим более сложный пример.

Пример 5.5.2. Докажем, что число 15^2и_|+1 делится на 8 при всех натуральных п.

Бача индукции. Возьмем /1=1. Имеем: число 15^2|_|+1 = 15+1 = 16 делится на число 8.

Индуктивный переход. Предположим, что для некоторого натурального числа к число 15²* '+1 делится на 8.

Докажем, что тогда число а = 15^2(ЖН+1 делится 8.

Преобразуем число а:

По предположению, число 15^2А1+1 делится на 8, значит, все первое слагаемое делится на 8. Второе слагаемое 224=8−28 также делится на 8. Таким образом, число а как разность двух чисел, кратных 8, делится на 8. Индуктивный переход обоснован.

На основе метода математической индукции заключаем, что для всех натуральных п число 15²" ^-1-*-1 делится на 8.

Сделаем некоторые замечания по решенной задаче.

Доказанное утверждение можно сформулировать немного по-другому: «Число 15"'+1 делится на 8 при любых нечетных натуральных /и».

Во-вторых, из доказанного общего утверждения можно сделать частный вывод, доказательство которого может быть дано как отдельная задача: число 15²⁰¹⁵+1 делится на 8. Поэтому иногда бывает полезно обобщить задачу, обозначив какое-то конкретное значение буквой, а затем применить метод математической индукции. •.

В самом общем понимании термин «индукция» означает, что на основе частных примеров делают общие выводы. Например, рассмотрев некоторые примеры сумм четных чисел 2+4=6, 2+8=10, 4+6=10, 8+12=20, 16+22=38, делаем вывод о том, что сумма любых двух четных чисел есть четное число.

В общем случае вот такая индукция может привести к неверным выводам. Приведем пример подобного неправильного рассуждения.

Пример 5.5.3. Рассмотрим число а = /г+я+41 при натуральном /?.

Найдем значения а при некоторых значениях п.

Пусть п= I. Тогда а = 43 — простое число.

Пусть /7=2. Тогда а = 4+2+41 = 47 — простое.

Пусть л=3. Тогда а = 9+3+41 = 53 — простое.

Пусть /7=4. Тогда а = 16+4+41 = 61 — простое.

Возьмите в качестве значений п следующие за четверкой числа, например 5, 6, 7, и убедитесь, что число а будет простым.

Делаем вывод: «При всех натуральных /? число а будет простым».

В результате получилось ложное высказывание. Приведем контрпример: /7=41. Убедитесь, что при данном п число а будет составным. •.

Термин «математическая индукция» несет в себе более узкий смысл, так как применение этого метода позволяет получить всегда верное заключение.

Пример 5.5.4. Получим на основе индуктивных рассуждений формулу общего члена арифметической прогрессии. Напомним, что арифметической профессией называется числовая последовательность, каждый член которой отличается от предыдущего на одно и то же число, называемое разностью прогрессии. Для того чтобы однозначно задать арифметическую профессию, нужно указать ее первый член а и разность d.

Итак, по определению а_п+ = а_п + d, при п> 1.

В школьном курсе математики, как правило, формула общего члена арифметической профессии устанавливается на основе частных примеров, то есть именно по индукции.

Если /7=1, ТО С7| = Я|, ТО есть Я| = tf|+df (l —1).

Если /7=2, то я₂ = a+d, то есть а = Я|+*/(2−1).

Если /7=3, то я₃ = я₂+</ = (a+d)+d = a+2d, то есть я₃ = Я|+</(3−1).

Если /7=4, то я₄ = я₃+*/ = (a+2d)+d = Я1+3</ и т. д.

Приведенные частные примеры позволяют выдвинуть гипотезу: формула общего члена имеет вид а" = a+(n-)d для всех /7>1.

Докажем эту формулу методом математической индукции.

База индукции проверена в предыдущих рассуждениях.

Пусть к — такой номер, при котором я* - a+{k—)d (индуктивное предположение).

Докажем, что я*+! = a+((k+)-)d, то есть я*+1 = a_x+kd.

По определению я*+1 = аь+d. По индуктивному предположению а к = я | +(к-1 )d, значит, ац+ = я i +(А:-1)^/+с/ = я | +(А-1+1 )d = я i +kd, что и требовалось доказать (для обоснования индуктивного перехода).

Теперь формула я" = a+{n-)d доказана для любого натурального номера /;. •.

Пусть дана некоторая последовательность я_ь я₂, я," … (не обязательно арифметическая или геометрическая прогрессия). Часто возникают задачи, где требуется суммировать первые п членов этой последовательности, то есть задать сумму Я|+я₂+…+я_и формулой, которая позволяет находить значения этой суммы, не вычисляя члены последовательности.

Пример 5.5.5. Докажем, что сумма первых п натуральных чисел равна.

/?(/7 + 1)

~~2 ‘.

Обозначим сумму 1+2+…+/7 через S_n. Найдем значения S_n для некоторых /7.

Заметим: для того чтобы найти сумму S₄, можно воспользоваться вычисленным ранее значением 5₃, так как 5₄ = 5₃+4.

п (п +1).

Если подставить рассмотренные значения /? в терм —-—то получим, соответственно, те же суммы 1, 3, 6, 10. Эти наблюдения.

. _ п (п +1).

наталкивают на мысль, что формулу S«=—-— можно использовать при любом //. Докажем эту гипотезу методом математической индукции.

База индукции проверена. Выполним индуктивный переход.

Предположим, что формула верна для некоторого натурального числа.

, к (к +1).

к, то сеть сумма первых к натуральных чисел равна ———-.

Докажем, что сумма первых (?+1) натуральных чисел равна.

• (* + !)(* + 2)
• 2

Выразим ?*+1 через S_k. Для этого в сумме S*+i сгруппируем первые к слагаемых, а последнее слагаемое запишем отдельно:

По индуктивному предположению S_k = Значит, чтобы найти сумму первых (?+1) натуральных чисел, достаточно к уже вычисленной.

. «к (к +1) _. .

сумме первых к чисел, равной —-—, прибавить одно слагаемое (к+1).

Имеем:

Индуктивный переход обоснован. Тем самым выдвинутая вначале гипотеза доказана.

Мы привели доказательство формулы S_n = ^п^^п+ методом математической индукции. Конечно, есть и другие доказательства. Например, можно записать сумму S, в порядке возрастания слагаемых, а затем в порядке убывания слагаемых:

Сумма слагаемых, стоящих в одном столбце, постоянна (в одной сумме каждое следующее слагаемое уменьшается на 1, а в другой увеличивается на 1) и равна (/г+1). Поэтому, сложив полученные суммы, будем иметь п слагаемых, равных (и+1). Итак, удвоенная сумма S" равна п (п+1).

Доказанная формула может быть получена как частный случай формулы суммы первых п членов арифметической прогрессии. •.

Вернемся к методу математической индукции. Отметим, что первый этап метода математической индукции (база индукции) всегда необходим. Отсутствие этого этапа может привести к неверному выводу.

Пример 5.5.6. «Докажем» предложение: «Число 7″ +1 делится на 3 при любом натуральном я».

«Предположим, что при некотором натуральном значении к число 7*+1 делится на 3. Докажем, что число 7^ж+1 делится на 3. Выполним преобразования:

Число 6 очевидно делится на 3. Число 1^к+ делится на 3 по индуктивному предположению, значит, число 7-(7* + 1) также делится на 3. Поэтому разность чисел, делящихся на 3, будет также делиться на 3.

Предложение доказано".

Доказательство исходного предложения неверно, несмотря на то что индуктивный переход выполнен правильно. Действительно, при п= I имеем число 8, при п=2 — число 50, …, и ни одно из этих чисел нс делится на 3. •.

Сделаем важное замечание об обозначении натурального числа при выполнении индуктивного перехода. При формулировке предложения А (п) буквой п мы обозначали переменную, вместо которой можно подставлять любые натуральные числа. При формулировке индуктивного предположения мы обозначали значение переменной буквой к. Однако очень часто вместо новой буквы к используют ту же самую букву, которой обозначается переменная. Это никак не влияет на структуру рассуждений при выполнении индуктивного перехода.

Рассмотрим еще несколько примеров задач, для решения которых можно применить метод математической индукции.

Пример 5.5.7. Найдем значение суммы.

В задании переменная п не фигурирует. Однако рассмотрим последовательность слагаемых:

Обозначим S, = а+а₂+…+а". Найдем S" при некоторых п. Если /1= 1, то S, =а, = —.

1 1 ₂

_с о с 114 2.

Если п=2. то S, = а, + а? = - + - = — = —.

^{2 1 2} 2 6 6 3.

_c, _c 1112 19 3.

Если /?=3, то S-, = a,+a₇ + я, = - + - + — = - + — = — = -.

^{3 1} — ³ 2 6 12 3 12 12 4.

Можете самостоятельно вычислить значения S" при /7 = 4; 5. Возникает естественное предположение: S_n = —— при любом натуральном /7. Докажем.

/7 + 1.

это методом математической индукции.

База индукции проверена выше.

Выполним индуктивный переход, обозначая произвольно взятое значение переменной п этой же буквой, то есть докажем, что из равенства.

₀ /7 _ /7 +1

S_n =-следует равенство S, =-.

/7+1 /7 + 2.

Предположим, что верно равенство S = - ^П -.

/7 + 1

Выделим в сумме S"+ первые п слагаемых:

Применив индуктивное предположение, получим:

Сокращая дробь на (/7+1), будем иметь равенство S_n+1 ^—, _Л •.

/7 + 2.

Индуктивный переход обоснован.

Тем самым доказано, что сумма первых п слагаемых.

• 1 1 1 /7 ^
• — ±+…± равна -. Теперь возвратимся к первоначальной
• 1−2 2−3 /?(// +1) /7 + 1

задаче. Для ее решения достаточно взять в качестве значения п число 99.

Тогда сумма —!— + —!— + —!— + …+ —-— будет равна числу 0,99.

1−2 2−3 3−4 99 100.

Постарайтесь вычислить данную сумму другим способом. •.

Пример 5.5.8. Докажем, что производная суммы любого конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций.

При доказательстве будем считать известным утверждение: производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций.

Пусть переменная /? обозначает количество данных функций. В случае, когда дана только одна функция, под суммой понимается именно эта функция. Поэтому если /7=1, то утверждение очевидно истинно:/' = /'.

Предположим, что утверждение справедливо для набора из п функций (здесь снова вместо буквы к взята буква п), то есть производная суммы п функций равна сумме производных.

Докажем, что производная суммы (я+1) функций равна сумме производных. Возьмем произвольный набор, состоящий из п+ дифференцируемой функции: /1,/2, . Представим сумму этих функций в виде g+f"+1, где g=f +/г + … +/_t — сумма п функций. По индуктивному предположению производная функции g равна сумме производных: g' = ft +ft + … +ft. Поэтому имеет место следующая цепочка равенств:

Индуктивный переход выполнен.

Таким образом, исходное предложение доказано для любого конечного числа функций. •.

В ряде случаев требуется доказать истинность предложения А (п) для всех натуральных я, начиная с некоторого значения с. Доказательство методом математической индукции в таких случаях проводится по следующей схеме.

База индукции. Доказываем, что предложение А верно для значения п, равного с.

Индуктивный переход. 1) Предполагаем, что предложение А верно для некоторого значения к переменной /?, которое больше либо равно с.

2) Доказываем, что предложение А истинно для значения /?, равного к+1.

Снова заметим, что вместо буквы к часто оставляют обозначение переменной п. В этом случае индуктивный переход начинают словами: «Предположим, что для некоторого значения п>с верно А (п). Докажем, что тогда верно А (п+1)».

Пример 5.5.9. Докажем, что при всех натуральных п>5 верно неравенство 2″ > и².

База индукции. Пусть п=5. Тогда 2⁵=32, 5²=25. Неравенство 32>25 истинно.

Индуктивный переход. Предположим, что имеет место неравенство 2^П>п² для некоторого натурального числа п>5. Докажем, что тогда 2″ ^+| > (п+1)².

По свойствам степеней 2″^+| = 2−2″. Так как 2″ >я² (по индуктивному предположению), то 2−2″ > 2я² (I).

Обоснуем, что 2п² больше (я+1)². Это можно сделать разными способами. Достаточно решить квадратное неравенство 2х²>(х+)² во множестве действительных чисел и увидеть, что все натуральные числа, большие либо равные 5, являются его решениями.

Мы поступим следующим образом. Найдем разность чисел 2п² и (я+1)²:

Так как и > 5, то я+1 > 6, значит, (я+1)² > 36. Поэтому разность больше 0. Итак, 2я²> (я+1)² (2).

По свойствам неравенств из (I) и (2) следует, что 2*2″ > (я+1)², что и требовалось доказать для обоснования индуктивного перехода.

На основе метода математической индукции заключаем, что неравенство 2″ > я² истинно для любых натуральных чисел я. •.

Рассмотрим еще одну форму метода математической индукции. Отличие заключается в индуктивном переходе. Для его осуществления требуется выполнить два шага:

• 1) предположить, что предложение А (п) верно при всех значениях переменной я, меньших некоторого числар;
• 2) из выдвинутого предположения вывести, что предложение А (п) справедливо и для числар.

Таким образом, индуктивный переход требует доказательства следствия: [(Уи</?) А{п)] => А (р). Заметим, что следствие можно переписать в виде: [(Уп^р) А (п)] => А (р+1).

В первоначальной формулировке метода математической индукции при доказательстве предложения А (р) мы опирались только на «предыдущее» предложение А (р-1). Данная здесь формулировка метода позволяет выводить А (р), считая, что все предложения А (п), где я меньшер, истинны.

Пример 5.5.10. Докажем теорему: «Сумма внутренних углов любого я-угольника равна 180°(я-2)».

Для выпуклого многоугольника теорему легко доказать, если разбить его диагоналями, проведенными из одной вершины, на треугольники. Однако для невыпуклого многоугольника такая процедура может быть невозможна.

Докажем теорему для произвольного многоугольника методом математической индукции. Будем считать известным следующее утверждение, которое, строго говоря, требует отдельного доказательства: «В любом //-угольнике существует диагональ, лежащая целиком во внугренней его части».

Вместо переменной // можно подставлять любые натуральные числа, которые больше либо равны 3. Для п=Ъ теорема справедлива, так как в треугольнике сумма углов равна 180°.

Возьмем некоторый /7-угольник (р>4) и предположим, что сумма углов любого //-угольника, где // < р, равна 180°(//-2). Докажем, что сумма углов //-угольника равна 180°(//-2).

Проведем диагональ //-угольника, лежащую внутри него. Она разобьет //-угольник на два многоугольника. Пусть один из них имеет к сторон, другой — к₂ сторон. Тогда к+к₂-2 = р, так как полученные многоугольники имеют общей стороной проведенную диагональ, не являющуюся стороной исходного //-угольника.

Оба числа к и к₂ меньше //. Применим к полученным многоугольникам индуктивное предположение: сумма углов А]-угольника равна 180°-(?i-2), а сумма углов ?₂-угольника равна 180°-(Аг₂—2). Тогда сумма углов //-угольника будет равна сумме этих чисел:

180°*(Аг|-2)-н 180°(Аг2−2) = 180^о(Аг,-ьАг₂-2−2) = 180°-(//-2).

Индуктивный переход обоснован. На основе метода математической индукции теорема доказана для любого //-угольника (//>3). •.