Статистический анализ систем со случайным периодом квантования

Системы со случайным периодом квантования сигналов во времени относятся к системам со случайной структурой [57]. [96]. Радиоизотопные измерительные системы являются примером системы со случайной структурой с распределенными переходами. Среди различных способов применения радиоизотопных измерителей большое место занимают локационные системы, предназначенные для измерения параметров, определяющих пространственное положение объекта, таких, как угловые координаты, дальность, углы ориентации. Если в течение времени эти параметры изменяются и система измеряет их с заданной степенью точности, она называется следящей. Радиоизотопные локационные следящие системы используются в космической технике в задачах стыковки сближающихся аппаратов, в робототехнике, при управлении атомными энергетическими установками и в ряде других случаев.

Особенность таких систем связана с дискретным характером радиоактивного излучения, что приводит к дискретному поступлению информации об измеряемом параметре. Из-за этого локационная система становится дискретной со случайным квантованием, так как последовательность квантов излучения образует случайный поток сигна_члов.

Системы со случайным периодом квантования можно описать стохастическими дифференциачЛьными уравнениями с пуассоновской составляющей [57], [96]. Системы со случайным квантованием с амплитудной модуляцией описываются СДУ с пуассоновской мерой, не зависящей от вектора состояния. Системы со случайным квантованием с частотной модуляцией могут быть описаны только СДУ с пуассоновской мерой, зависящей от вектора состояния. Причем очень часто эта зависимость не может быть перенесена в коэффициенты.

В параграфе 4.2 пособия [31] построен алгоритм статистического моделирования динамических систем со случайной структурой при распределенных переходах. Там же построена его менее трудоемкая модификация, использующая модифицированный метод «максимального сечения». В данном разделе мы сравним эти два алгоритма.

Испытание построенных алгоритмов проведем на примерах из [57]. для которых удалось записать аналитические формулы для математического ожидания решения. В работе [57] в качестве примеров систем со случайным периодом квантования приведены скачкообразные СДУ с пуассоновской случайной мерой, зависящей от вектора состояния.

Чтобы продемонстрировать влияние пуассоновской составляющей на поведение решения СДУ, рассмотрим простейшее уравнение первого порядка Пусть функции, характеризующие пуассоновскую меру г/, не зависят от у. Задавая по-разному функцию /i (0), можно получить скачкообразные процессы с разными размерами скачков. Так, если.

то все скачки одинаковы. При Л > 0 процесс y (t) возрастающий, а при Л < 0 — убывающий. При.

где Ai — некоторые числа, можно получить модель случайного процесса с дискретным числом состояний, но более сложной структуры (см. уравнения (2.50) из пособия [31]).

Рассмотрим СДУ (2.13), когда функции, характеризующие пуассоновскую меру и, зависят от у.

Задача 1. Рассмотрим СДУ (2.13) при.

Получаем процесс с двумя возможными состояниями: уо и у = уо + Л, если —Л < уо < 0; уо и у = уо — Л, если Х> уо> 0.

Задача 2. Рассмотрим СДУ (2.13), когда h (6,y) задана, как в примере 1, но функция ц также зависит от у:

При приближенном вычислении математического ожидания Е? случайной величины? с конечной дисперсией D? = <�т² по формуле Л > 0, а,/3 > 0. В этом случае, если — Л < уо < 0, получаем процесс y (t) с двумя возможными состояниями: у₀ и у = у о + Л. При а < /3 в среднем процесс y (t) будет чаще принимать значение уо, а при а >, в значение у. При /3 = 0 процесс y (t), приняв значение уь далее не меняется. Точные значения первого m (t) и второго d (t) моментов имеют вид где.

при заданном уровне доверия (1 — е) имеет место соотношение.

где 7(e) константа, определяемая выбором величины е. При е = 0.003 имеем 7(e) = 3, а при е = 0.3 получаем 7(e) = 1.

Рассмотренные задачи являются примерами систем со случайным периодом квантования с интенсивностями переходов, зависящими от вектора состояния системы. В уравнении (2.13) (соответствующем уравнению модели (2.47) из пособия [31]) отсутствуют коэффициенты сноса и диффузии. Поэтому при численной реализации построенного алгоритма не требуется использовать численный метод решения СДУ с винеровской компонентой, и погрешность численного решения состоит только из статистической составляющей.

Примеры были просчитаны при следующих значениях параметров:

задача 1:

Результаты, полученные модифицированным алгоритмом, приводятся в строках, обозначенных «МА», в табл. 2.10.

Оценивалось математическое ожидание решения в узлах временной сетки с шагом h = 0.1 на интервале [0, Т]. Моделировалось N = 10⁶ траекторий и полагалось pi (0) = 1. При численных расчетах использовался «генератор» псевдослучайных чисел RAND [91] с модулем 2⁴⁰ и множителем 5¹². Длина периода данного датчика составляет 2³⁸. Данный датчик рекомендуется для численных расчетов, в которых требуется последовательность псевдослучайных чисел не длиннее, чем 2'³⁷. Расчеты проводились на PC Intel Celeron, 2.02 ГГц, 768 МБ.

Ниже приводятся точные стационарные значения оцениваемого функционала в момент времени Т = 20. В табл. 2.10 с результатами численных экспериментов указаны полученные абсолютные погрешности 6 оценки математического ожидания в последней точке и приведены доверительные интервалы для оценки математического ожидания при 7(e) = 1. Из таблицы видно, что полученные оценки попадают в доверительные интервалы.

Временные графики n (?), rh (t) не приводятся ввиду их сильного совпадения. Основные достоинства построенного алгоритма состоят в следующем:

1) использование модифицированного метода максимального сечения позволило уменьшить вычислительное время за счет уменьшения.

числа обращений к «генератору» псевдослучайных чисел;

• 2) кроме уменьшения трудоемкости вычислений, уменьшение количества используемых значений псевдослучайных чисел снизило конструктивную размерность алгоритма, связанную с многомерной равномерностью используемых псевдослучайных чисел [136];
• 3) статистическое соответствие оценок, полученных обоими методами, является дополнительным критерием удовлетворительности используемого «генератора» псевдослучайных чисел.