Обучение решению задач на первых уроках геометрии

Данный вопрос достаточно полно освещен в учебном пособии Г. И. Саранцева «Методика обучения геометрии» (Казань, 2011). Рассмотрим его подробно.

«Успех в решении задач, — отмечает автор, — во многом определяется умением извлекать информацию из требования и условия задачи, вычленять отдельные элементы, комбинировать их, переформулировать требование задачи, выводить следствия, работать с чертежом. Поэтому формирование этих умений должно быть особой заботой учителя математики и осуществляться им систематически и целенаправленно. Особое внимание этому должно быть уделено на первых уроках геометрии в VII классе при изучении первых разделов курса, так как успешное усвоение материала последующих разделов предполагает владение школьниками указанными умениями» [5, с. 511.

Формирование умений происходит, как известно, в процессе выполнения упражнений. Первые навыки в овладении названными выше действиями учащиеся приобретают при выполнении следующих упражнений.

I группа 1. Даны прямая и три точки Л, В, С, не лежащие на этой прямой. Известно, что отрезок ЛВ пересекает прямую. При каком условии отрезок ВС пересекает данную прямую?

Один из вариантов ответа: отрезок АС не пересекает данную прямую.

2. Что нужно знать, чтобы утверждать, что концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, на которые разбивает плоскость прямая а?

Ответ. Отрезок АВ пересекается с прямой а.

3. На луче А В отложен отрезок АС. Какое условие нужно добавить, чтобы можно было утверждать, что точка С лежит между точками А и В?

Ответ. Отрезок АС меньше отрезка АВ.

4. Точки А, В, С лежат на одной прямой. При каком условии точка С лежит между точками А и В?

Ответ. Длина отрезка А В равна сумме длин отрезков АС и ВС, либо отрезок АВ больше отрезка АС и отрезки АВ и АС отложены на одном луче от его начала Л.

• 5. На стороне АВ треугольника АВС взята точка D. Известно, что АО = 5 см. Дополните условие так, чтобы можно было найти сторону АВ треугольника.
• 6. Треугольники АВС, PQR и XYZ равны. Известно, что АВ = 5 см, QR = 6 см. Что ещё нужно знать, чтобы найти остальные стороны каждого треугольника.

Какова методика работы с этими упражнениями? Они могут предлагаться учащимся при изучении соответствующих фактов. Например, упражнение 3 — при изучении основных свойств откладывания отрезков, а упражнение 6 — при изучении равенства треугольников. В основном предлагаемые упражнения могут выполняться устно. Акцент делается на их целевом назначении. В качестве примера рассмотрим методику работы с упражнением 3.

Этап анализа содержания задачи включает выяснение условия, заключения, вычерчивание рисунка. Дальше беседа с учащимися может быть такой.

Учитель. Итак, нам известно, что отрезок АС отложен на луче АВ. Как расположены точки А, В и С?

Ученики. Либо точка С лежит между точками А и В, либо точка В лежит между точками Aw С.

Учитель. А что нам надо установить?

Ученики. Надо найти такое условие, которое вместе с данным позволило бы сделать вывод «точка С лежит между точками А и В»

Учитель. Что нужно ещё знать, чтобы утверждать, что точка С лежит между точками AwBP.

Ученики. Отрезок АС меньше отрезка А В.

Учитель. Какое же утверждение мы должны включить в условие?

Ученики. АС < АВ.

Оформление выполненного упражнения может быть таким.

Точка С лежит между точками Aw В, если отрезок АС отложен на луче АВ и АС<�АВ.

Можно использовать и более подробную запись.

Так как отрезок АС отложен на луче АВ, то либо С лежит между А и В, либо В между А и С. Точка С лежит между А и В, если АС <�АВ.

В поиске решения задачи большую роль играет прием переформулировки её требования. Сущность этого приема заключается в замене требования задачи новым так, чтобы из него вытекало первоначальное требование. На усвоение данного приема направлены следующие упражнения, которые учащиеся выполняют при изучении соответствующих разделов учебника.

II группа 7. Решить задачи, заменив предварительно их требования новыми так, чтобы из них вытекали первоначальные требования.

7.1. Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Указание к решению. Докажите, что угол между биссектрисами вертикальных углов — развернутый.

7.2. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. Докажите, что если отрезки А С, СВ, BD и AD равны, то прямые АВ и CD перпендикулярны.

Указание к решению. Докажите, что луч АВ является биссектрисой угла CAD, а луч CD — биссектрисой угла АСВ.

7.3. Два отрезка АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников ACD и ВОС.

Указание к решению. Докажите, что АС = BD и СВ = AD.

7.4. Постройте две окружности, каждая из которых проходит через центр другой. Сколько общих точек имеют эти окружности?

Указание к решению. Найдите точки пересечения окружностей, каждая из которых проходит через центр другой.

7.5. Если две окружности с центрами О| и 0₂ касаются друг друга в точке М внешним образом, то 0 М + М0₂ = 0₂. Докажите это.

Указание к решению. Докажите, что точки О_ь 0₂ и М принадлежат одной прямой.

Методику работы со второй группой упражнений проиллюстрируем на примере 7.1. После выяснения условия и требования задачи, выполнения рисунка, следует акцентировать внимание учащихся на замене требования задачи новым так, чтобы из него следовало первоначальное.

Учитель. Откуда следует, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой? Каким предложением можно заменить требование задачи?

Ученики. Доказать, что угол между биссектрисами вертикальных углов — развернутый.

Далее следует этап дальнейшего поиска решения задачи, который заканчивается выяснением способа решения: доказательством того, что ZМОК = 180°, где лучи ОМ и ОК — биссектрисы вертикальных углов АОВ и COD, с опорой на свойство смежных углов.

Запись решения.

Выполнение следующей группы упражнений ориентировано на овладение действием выведения следствий из данных условий. Суть его заключается в выделении утверждений, являющихся следствием данных. Овладение этим действием предполагает умение видеть различные связи между объектами, данными в условии задачи.

Ill группа 8. Точка С лежит между точками А и Я, а точка X- между точками А и С. Докажите, что точки А, В, СпХ лежат на одной прямой. Сформулируйте все утверждения, полученные в процессе решения этой задачи.

Ответ. 1) А, В, С лежат на одной прямой АС; 2) А, X, С лежат на одной прямой АС.

9. Точки А, В, С нс лежат на одной прямой. Что следует из этого?

Ответ.)АВ + ВС *АС; 2) АС + СВ *АВ; Ъ) ВА+АС*ВС.

По мере продвижения учащихся в изучении геометрии число сформулированных следствий может возрастать. Так, учащиеся могут отметить и такие следствия: около треугольника АВС можно описать окружность; в треугольник АВС можно вписать окружность.

• 10. Назовите различные следствия из следующих данных:
  • а) известно, что концы отрезка А В лежат на отрезке CD, но не совпадают с точками С и D;
  • б) на прямой точка А расположена левее точки В, а точка В — левее точки С.

Ответ, а) 1) Все точки отрезка А В лежат на отрезке CD; 2) А лежит между С и D; 3) В лежит между С и D; 4) СА < CD и т. д.

• б) 1 )АВ + ВС =АС; 2) АВ <�АС и т. д.
• 11. Даны окружность с центром в точке О и радиусом R и точка А. Известно, что О А > R. Что отсюда следует?

Ответ. 1) А не лежит на данной окружности; 2) Прямая ОА — секущая и т. д.

12. Сторона АВ треугольника АВС является диаметром окружности, а сторона АС- хордой. Что из этого следует?

Ответ. 1) Треугольник АВС — прямоугольный; 2) Треугольник ВОС — равнобедренный (О — центр окружности) и т. д.

При выполнении этих упражнений внимание учащихся акцентируется на выводимых следствиях, что прямо подчеркивается в требовании задачи. Рассмотрим, например, упражнение 10.

Из условия и определения отрезка следует, что точки А и В лежат между точками С и D. Из последнего утверждения следует, что СА + AD = CD, СВ + BD = CD, откуда получаем: С, А < CD, СВ < CD. Из условия и свойства принадлежности точек и прямых на плоскости имеем, что прямые А В и CD совпадают.

Запись решения может быть следующей:

• 1) точки А и В лежат между точками С и D (определение отрезка);
• 2) СА < СВ (свойство величин);
• 3) прямые АВ и CD совпадают (свойство принадлежности точек и прямых).

При выполнении этой группы упражнений можно предлагать учащимся составление задач, используя данные утверждения и их следствия. Примером такой задачи может являться следующая. Концы отрезка АВ лежат на отрезке CD. Докажите, что пряные АВ и CD совпадают.

В процессе поиска решения задачи часто приходится осуществлять нс только выведение следствий, замену требования задачи новым, из которого следует первоначальное, но и самостоятельно формулировать промежуточную задачу. В упражнениях следующей группы учащимся предлагалось самостоятельно подобрать требование (вопрос) к предложенному набору данных и решить полученную задачу.

IVгруппа 13. Известно, что АВ = 8 см, ВС = 4 см, АС = 12 см.

Предполагаемые вопросы:

• 1) Лежат ли точки А, В, С на одной прямой?
• 2) Лежит ли точка В между точками А и С ?
• 3) Лежит ли точка А между точками В и С?
• 14. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана ВМ. На ней взята точка К.

Предполагаемые требования:

• 1) Докажите, что треугольники АВК и СВК равны.
• 2) Докажите, что треугольники АКМ и МСК равны.
• 3) Докажите, что А К = КС и т. д.
• 15. Два внешних угла треугольника равны 100° и 150°.

Предполагаемые вопросы:

• 1) Найдите третий внешний угол.
• 2) Найдите сумму внутренних углов треугольника, не смежных с каждым из данных.
• 3) Что можно сказать о каждом внутреннем угле треугольника?
• 4) Найдите все углы треугольника.

При решении задач с использованием чертежа часто приходится мысленно выделять (вычленять) отдельные элементы чертежа и сопоставлять их друг с другом. Приведем примеры упражнений такого типа.

• 16. На отрезке А В взята точка С. Постройте всевозможные лучи, задаваемые этими точками. Среди них назовите пары совпадающих лучей, пары дополнительных лучей.
• 17. Имеется четыре луча с общим началом. Сколько углов можно задать с помощью этих лучей?

В последней серии упражнений предусматривается формирование умения составлять задачи. Однако прежде чем составить задачу, учащиеся должны сами сформулировать требование, для чего необходимо из данных получить некоторые сведения.

Рассмотрим, например, упражнение 13. Из условия задачи следует, что точка В лежит между точками А и С, а, следовательно, точка С не лежит между точками А и В. Требуемые задачи могут быть следующими:

• 1) Известно, что АВ = 8 см, ВС = 4 см, АС = 12 см. Лежат ли точки А, В, С на одной прямой?
• 2) Известно, что АВ = 8 см, ВС = 4 см, АС = 4 см. Лежит ли точка В между точками А и С?

Аналогичная работа проводится и с другими упражнениями.

Привсдснмыс упражнения можно представить в ходе лекции на экране с помощью мультимедийного проектора.