Примеры задач, приводящих к уравнениям

Задача 2.1 (о разрезании шара). Шар радиусом R разделите параллельными между собой плоскостями на шесть частей равного объема.

Решение

Пусть плоскости Р₀, Р], Р₂, Рз, Р4, параллельные между собой, делят шар на шесть частей одинакового объема. Плоскость Р₀ проходит через центр шара, плоскости Р_ь Р₂ расположены по одну сторону от плоскости Р₀, плоскости Р₃, Р₄ — по другую. Проведем диаметр АВ шара, перпендикулярный этим плоскостям (рис. 2.3).

Рис. 2.3. К задаче о разрезании шара.

Для решения задачи достаточно найти расстояния /2 ] и /т₂ ^от точки А до плоскостей Pj и Р₂. Объем шарового сегмента высотой h шара радиусом R выражается формулой

Поскольку по условию задачи объем верхнего сегмента составляет шестую часть объем шара:

то уравнение на высоту сегмента h₁ имеет вид.

Аналогично составляем уравнение на высоту сегмента h₂:

Разделив каждое уравнение на Я и обозначив х = h/R, получим два уравнения для нахождения h_x = x^R и h₂ = x₂R:

Решив эти уравнения, получим расстояния h₁nh₂OT точки, А до плоскостей Р_х и Р₂.

Задача 2.2 (о рыночном равновесии). Спрос на какой-либо товар или услугу — это желание и возможность потребителя купить определенное количество товара или услуги по определенной цене в определенный момент времени. Объем спроса — это то количество товара или услуги, которое потребители согласны купить по определенной цене. Можно сказать, что объем спроса Q_c есть функция цены р:

Очевидно, что данная неотрицательная функция является убывающей (закон спроса). График данной функции в экономической теории называется линией (функцией) спроса (кривая 1 на рис. 2.4).

Рис. 2.4. Линии спроса и предложения. Точка равновесия.

Предложение какого-либо товара или услуги — это готовность производителя продать определенное количество товара или услуги по определенной цене в определенный момент времени. Объем предложения — это то количество товара или услуги, которое продавцы готовы продать по определенной цене. Можно заметить, что объем предложения Q_n есть функция цены р:

Понятно, эта неотрицательная функция является возрастающей (закон предложения). График этой функции в экономической теории называется линией (функцией) предложения (кривая 2 на рис. 2.4). Из рис. 2.4 следует, что при малых значениях цены р справедливо неравенство.

а при больших значениях цены р справедливо неравенство.

Ясно, что линии спроса и предложения пересекаются в некоторой точке Е (р_е; Qf) (см. об этом ниже, параграф 2.3, теорема 2.6). Эта точка называется точкой равновесия. Цена в этой точке называется равновесной (рыночной) ценой (р_е), а соответствующий объем продаж (Q_e) — равновесным объемом рынка.

Значение р_е находится как решение уравнения.

Если известны аналитические выражения линий спроса и предложения, то точку равновесия можно определить, решив уравнение (2.6).