Формула Симпсона (парабол)

Формула Симпсона справедлива только для четного числа узлов, т. е. п = 2 т. В этом случае на каждом из сдвоенных частичных отрезков дугу данной кривой заменяют дугой параболы. Вся криволинейная трапеция подразделяется на т частичных криволинейных трапеций, каждая из которых ограничена сверху параболой (рис. 6.4, на рис. т = 1).

Формула Симпсона (парабол) имеет вид.

Рис. 6.4. К формуле Симпсона.

Формула Симпсона является наиболее точной. Ее абсолютная погрешность вычисляется по формуле.

где.

Правило удвоения. Однако формулу (6.9) и, в некоторых случаях, формулу (6.7) использовать для оценки погрешностей весьма затруднительно. Поэтому для оценки погрешностей по формуле Симпсона используют правило удвоения, которое состоит в следующем.

Вычисляется интеграл по формуле Симпсона при делении отрезка на 2т и 4 т частей. Результаты вычислений обозначается через 1_2т и /_4ш. Совпадение первых знаков у двух полученных результатов позволяет судить о точности найденных значений, а именно: число верных знаков значения 1_4т на единицу больше числа общих знаков у чисел 1_2т и /_4т.

Погрешность в этом случае не превысит числа.

Очевидно, что эти замечания оценки погрешностей будут справедливы, если разделить отрезок сначала на 2 т, а потом более чем на 4 т частей и получить соответствующие значения интегралов.

Пример 6.1.

Вычислите определенный интеграл.

по формулам трапеций и Симпсона при п = 10 и п = 50. Сравните полученные результаты и запишите верные цифры результата для каждой из формул.

Решение

Проведем вычисления в Microsoft Excel. Откроем книгу и назовем ее «Интегрирование». Лист 1 книги назовем «Квадратурные формулы». В ячейки Al, Cl, El, G1 поместим надписи а=, Ь=, И10=, h50= соответственно. В ячейку В1 поместим значение нижнего предела интегрирования — в нашем примере это 1,4; в ячейку D1 поместим значение верхнего предела интегрирования — в нашем примере это 2,4 (рис. 6.5).

Рис 6.5. Вычисление интеграла по формулам трапеций и Симпсона.

(фрагмент) В ячейке F1 вычислим значение шага таблицы для п = 10, вставив в ячейку формулу =(Р1-В1)/10. В ячейке Н1 вычислим значение шага таблицы для п = 50, вставив в ячейку формулу =(D1-B1)/A53. В ячейки А2, В2, С1 поместим надписи №, аргумент, функция соответственно, а в объединенные ячейки Dl—F1 и Gill — надписи Формула трапеций, Формула Симпсона соответственно. В ячейках АЗ—А53 будут находиться номера узлов для п = 50, в ячейках ВЗ—В53 — значения x_h в ячейках СЗ—С53 — значения у, = у (х,-). Для этого в ячейку АЗ поместим числовое значение, равное нулю, в ячейку А4 — формулу =АЗ+1 и протянем ее до ячейки.

А53. В ячейку ВЗ поместим формулу =$В$ 1+АЗ*$Н$ 1 и также протянем ее до ячейки В53.

В ячейку СЗ поместим формулу, выражающую заданную функцию от аргумента в ячейке ВЗ, — в нашем примере это =(0,7*ВЗ^Л2+1,5)^Л0,5/(2,1+(0,6*ВЗ+1,7)^Л0,5). Затем протянем ее до ячейки СЗ. Значения функции в узлах таблицы найдены.

В ячейках D3, D8, D13, D18, D23, D28, D33, D38, D43, D48, D53 вычислим вспомогательные величины для нахождения приближенного значения интеграла по формуле трапеций для п = 10, в ячейках ЕЗ—Е53 вычислим вспомогательные величины для нахождения приближенного значения интеграла по формуле трапеций для п = = 50, в ячейках G3, G8, G13, G18, G23, G28, G33, G38, G43, G48, G53 вычислим вспомогательные величины для нахождения приближенного значения интеграла по формуле Симпсона для п = 10, а в ячейках НЗ—Н53 вычислим вспомогательные величины для нахождения приближенного значения интеграла по формуле Симпсона для п = 50. Для этого в ячейки D3, ЕЗ, G3 и НЗ вставим формулу =СЗ ,.

аналогично в ячейки D53, Е53, G53 и Н53 вставим формулу =С53, в ячейку D8 поместим формулу =2*С8, в ячейку D13 — формулу =2*03, в ячейку D18 — формулу =2*08, в ячейку D23 — формулу =2*С23, в ячейку D28 — формулу =2*С28, в ячейку D33 — формулу =2*СЗЗ, в ячейку D38 — формулу =2*С38, в ячейку D43 — формулу =2*С43, в ячейку D48 — формулу =2*С48. В ячейку Е4 поместим формулу =2*С4 и протянем ее до ячейки Е52. В ячейку G13 вставим формулу =2*03, в ячейку G23 — формулу =2*С23, в ячейку G33 — формулу =2*СЗЗ, в ячейку G43 — формулу =2*С43. В ячейку G8 поместим формулу =4*С8, в ячейку G18 — формулу =4*08, в ячейку G28 — формулу =4*С28, в ячейку G38 — формулу =4*С38, в ячейку G48 — формулу =4*С48. Ячейки Н4—Н52 заполняем так: в ячейки с четными номерами, например Н4, Нб, Н8, Н52, вставляем формулы =4*С4, =4*С6, =4*С8, =4*С52 ,.

а в ячейки с нечетными номерами, например Н5, Н7, Н9, …, Н51, вставляем формулы =2*С5, =2*С7, =2*С9, …, =2*С51.

В ячейке F4 находим сумму, необходимую для приближенного вычисления интеграла по квадратурной формуле трапеций при п = 10, для чего складываем содержимое ячеек D3, D8, D13, D18, D23, D28, D33, D38, D43, D48, D53.

В ячейке 14 находим сумму, необходимую для приближенного вычисления интеграла по квадратурной формуле Симпсона при п = 10, для чего складываем содержимое ячеек G3, G8, G13, G18, G23, G28, G33, G38, G43, G48, G53.

В ячейке F7 находим сумму, необходимую для приближенного вычисления интеграла по квадратурной формуле трапеций при п = 50, для чего складываем содержимое всех ячеек диапазона ЕВ—Е53.

В ячейке 17 находим сумму, необходимую для приближенного вычисления интеграла по квадратурной формуле Симпсона при п = 10, для чего складываем содержимое всех ячеек диапазона НЗ—Н53.

В ячейках F5 и F8 вычислим приближенные значения интеграла по формуле трапеций при п = 10 и п = 50 соответственно. Для этого в ячейку F5 вводим формулу =(D1-B1)*F4/(2*10), в ячейку F8 — формулу | =(Dl-Bl)*F7/(2*50) |.

В ячейках 15 и 18 вычислим приближенные значения интеграла по формуле Симпсона при п = 10 и п = 50 соответственно, для чего в ячейку 15 вставим формулу =(D1-B1)*I4/(3*10), в ячейку 18 — формулу | =(Р1-В1)*17/(3*50) |.

Вычислим значения интегралов. Для формулы трапеций при п = 10 получается l_Tpi₀ = 0,53 114 549, при п = 50 находим 1_тр50 = = 0,53 112 571. Для формулы Симпсона при п = 10 получается I_cw = = 0,531 124 912, при п = 50 находим 1_С50 = 0,531 124 886. Сравнение результатов при п = 10 и п = 50 показывает, что при одинаковом количестве узлов п = 10 формула Симпсона дает более точное значение. Для формулы трапеций четыре цифры являются верными, а формула Симпсона дает семь верных цифр.

Ответ: 1_тр = 0,5311; 1_С = 0,5 311 249.