Нелинейные цепи постоянного тока

Основные понятия. Выше рассматривались линейные цепи постоянного тока, параметры элементов которых (сопротивления и проводимости) считались не зависящими от значений тока.

В практике часто встречаются электрические цепи, значения параметров отдельных элементов которых заметно изменяются с изменением тока. Эти элементы имеют нелинейные вольт-амперные характеристики и называются нелинейными элементами. Строго говоря, большинство элементов электрических цепей постоянного тока являются нелинейными, так как с изменением тока изменяется температура элемента, а следовательно, и его сопротивление. Однако у многих из них ВАХ в рабочем диапазоне изменения токов и напряжений мало отличаются от прямолинейных, поэтому такие элементы обычно считают линейными, что значительно упрощает расчеты.

Вместе с тем принцип действия многих электротехнических устройств основывается именно на использовании свойств нелинейных элементов. Например, резкая зависимость сопротивления полупроводниковых диодов (рис. 1.14.1) от полярности приложенного напряжения позволяет осуществить преобразование переменного напряжения в постоянное.

В стабилизаторах напряжения используют свойства стабилитронов, напряжение на которых в некотором диапазоне изменения тока остается практически неизменным (на рис. 1.14.2 приведена ВАХ полупроводникового стабилитрона).

Рис. 1.14.1. Вольт-амнерная характеристика и условное графическое обозначение полупроводникового диода с положительными направлениями напряжения и тока

Рис. 1.14.2. Вольт-амнерная характеристика и условное графическое обозначение полупроводникового стабилитрона с положительными направлениями напряжения и тока

Широкое применение в технике получили управляемые нелинейные элементы, обладающие семейством ВАХ, каждая из которых соответствует некоторому определенному значению параметра управляющего сигнала.

На рис. 1.14.3 показано семейство ВАХ термистора. Управляющим параметром для термистора является температура окружающей среды На рис. 1.14.4 представлено семейство ВАХ биполярного транзистора при различных значениях управляющего тока базы /_Б.

Статическое и дифференциальное сопротивления. При анализе и расчете нелинейных цепей пользуются также понятиями статического и дифференциального сопротивлений. Статическим сопротивлением нелинейного элемента /?_ст в заданной точке Л его характеристики называют отношение напряжения на элементе к току в нем. Статическое сопротивление можно определить графически как тангенс угла между прямой, проведенной из начала координат через рассматриваемую точку Л ВАХ (рис. 1.14.5), и осью тока:

где т_и и т, — соответственно масштабы напряжения и тока.

Рис. 1.14.5. К определению статического и дифференциального сопротивлений

нелинейного элемента

Дифференциальным сопротивлением нелинейного элемента Д_диф в заданной точке А его характеристики называют отношение бесконечно малого приращения напряжения к соответствующему приращению тока.

Дифференциальное сопротивление можно определить графически как тангенс угла между касательной в рассматриваемой точке Л ВАХ (см. рис. 1.14.5) и осью тока:

Очевидно, что статическое и дифференциальное сопротивления нелинейного элемента являются функциями тока и напряжения.

Пример 1.14.1. Расчет статического и дифференциального сопротивлений

Определите статические и динамические сопротивления диода в точке А и ВАХ /(Ц) (рис. 1.14.6).

Решение

Статическое сопротивление Д_ст для любой точки характеристики определяется как отношение напряжения к току: /?_стл = 1/_л/1_л = 0,4/4 = 0,1 кОм; /?₍, _д = = и_в/1_в = 0,6/10 = 0,06 кОм. С ростом тока статическое сопротивление диода уменьшается. Динамическое сопротивление приближенно определяют по приращениям напряжения и тока:

Рис. 1.14.6. К примеру 1.14.1.

Упражнение 1.14.1. Статическое и дифференциальное сопротивления Какие утверждения вы считаете справедливыми для нелинейных элементов А и В, ВАХ которых даны на рис. 1.14.7:

• а) статическое сопротивление любого из элементов монотонно убывает с увеличением тока;
• б) дифференциальное сопротивление любого из элементов монотонно убывает с увеличением тока.

Варианты ответа:

• 1) а) и б) справедливы;
• 2) а) справедливо, б) нс справедливо;
• 3) а) не справедливо, б) справедливо;
• 4) а) и б) не справедливы.

Рис. 1.14.7. К упражнению 1.14.1

Анализ нелинейной цепи постоянного тока методом пересечения вольтампернмх характеристик. Ток и напряжения на участках цепи с последовательным соединением линейного и нелинейного элементов могут быть определены методом пересечения характеристик.

В методе пересечения характеристик реализуется графическое решение нелинейного уравнения, определяющего электрическое состояние цепи (рис. 1.14.8, а) и записанного на основании второго закона Кирхгофа:

Графическое решение уравнения (1.14.3) показано на рис. 1.14.8, б. Прямая МА^Г соответствует линейному уравнению Е — /?,/.

Эта прямая построена по двум точкам, соответствующим режимам холостого хода (точка М) и короткого замыкания (точка А) двухполюсника с параметрами Е и 7?, (координаты точки М: I = О, II = Е, координаты точки IV:

и₂ = 0, / = ?//?,).

Нелинейная зависимость (/₂(/) является вольт-амперпой характеристикой нелинейного элемента. Решение уравнения (1.14.3) определяется точ;

Рис. 1.14.8. Схема нелинейной цепи (а) и графический анализ ее состояния (б).

кой пересечения прямой ММ с вольт-амперной характеристикой нелинейного элемента, т. е. с точкой А, для которой напряжение на нелинейном элементе 11₂(Г) удовлетворяет этому уравнению. Перпендикуляры, опущенные из точки пересечения А на оси координат, определяют рабочий режим цепи, т. е. значения напряжений [/, и 11₂ на резистивных элементах /?, и Я₂ и тока I.

Убедимся в эффективности применения метода пересечения характеристик для анализа цепей с управляемыми нелинейными элементами.

Рассмотрим, например, цепь рис. 1.14.9, а. На этом рисунке изображена коллекторная цепь транзисторного усилителя, в которой последовательно включены источник постоянного напряжения ?_к, линейный резистор Я_к и управляемый нелинейный элемент — биполярный транзистор.

На рис. 1.14.9, б приведено семейство выходных характеристик /_к(?/_к) для нескольких значений тока базы /_Б.

Схема замещения коллекторной цепи рис. 1.14.9, а изображена на рис. 1.14.9, в. На схеме рис. 1.14.9, в источник постоянного напряжения представлен источником ЭДС, а транзистор — нелинейным резистивным элементом.

Очевидно, что схема замещения коллекторной цепи транзисторного усилителя (рис. 1.14.9, в) аналогична схеме рис. 1.14.8, а. Следовательно, электрическое состояние такой цепи может быть определено методом пересечения характеристик.

Простым графическим построением прямой ММ (рис. 1.14.9, б) по точкам /_к = 0, 1/_кэ =?_ки [1_КЭ = О, /_к = Е_к/Я_к определяют ток коллектора /_к и напряжение на транзисторе и_кэ при любом заданном значении тока базы /_Б

Рис. 1.14.9. Коллекторная цепь транзисторного усилителя (я), графический анализ ее электрического состояния (б) и схема замещения цепи (в).

или диапазон изменения напряжения ДУ_КЭ = и_кЭыш. — ?7_КЭыШ1 и соответствующее ему приращение тока Д/_к при заданном диапазоне изменения тока базы 0 < /_Б < /_Б5.

Метод пересечения характеристик позволяет, например, получить ответ на вопрос, как повлияет увеличение сопротивления линейного резистора (см. пунктирную прямую на рис. 1.14.9, 6) на режим работы коллекторной цени.

Пример 1.14.2. Режим холостого хода стабилизатора напряжения

На рис. 1.14.10, а представлена схема стабилизатора напряжения. Определите напряжение на выходе стабилизатора и_вых, если (/_вх = 50 В, сопротивление балластного резистора /?_Б = 0,25 кОм, а ВАХ стабилитрона приведена в табл. 1.14.1. Определите относительное (%) изменение выходного напряжения, если входное напряжение изменится на ±20%.

Таблица 1.14.1

К примеру 1.14.2

Рис. 1.14.10. К примеру 1.14.2

Решение

Зависимость и_ных(1) выражается, с одной стороны, вольт-амперной характеристикой стабилитрона 1/_вых(7) = 1/_ст(/_ст), а с другой — уравнением 1/_вых = = 11_вх — /?[,/, составленным по второму закону Кирхгофа. Последнее уравнение является уравнением прямой, построенной по двум точкам с координатами (/вых ⁼ 0, /_к = и_вх/Я_в = 200 мА и I = 0, 1/_вых = 1^г_их = 50 В. Точка пересечения прямой с ВАХ стабилитрона определяет выходное напряжение и_вых = 32 В (см. рис. 1.14.10, б). При изменении выходного напряжения на ±10 В прямая перемещается параллельно самой себе и определяет приращение выходного напряжения А (/_вых = ±0,7 В. Таким образом, при изменении входного напряжения на ±20% выходное напряжение изменяется на ±2,2%, т. е. происходит стабилизация выходного напряжения.

Применение метода эквивалентного активного двухполюсника. Анализ и расчет разветвленной электрической цепи, содержащей один нелинейный элемент, может быть значительно упрощен при использовании метода эквивалентного активного двухполюсника.

Рассмотрим, например, цепь на рис. 1.14.11, я. Многоэлементный активный линейный двухполюсник, к выходным полюсам АВ которого подключен нелинейный резистор, может быть по известным правилам (см. параграф 1.13) заменен линейным двухполюсником рис. 1.14.11, б.

Напряжение II_лв и ток 1_АВ в схеме на рис. 1.14.11, б могут быть найдены методом пересечения характеристик.

Рис. 1.14.11. Многоэлементный линейный двухполюсник (я), подключенный к нелинейному элементу, и схема замещения цепи (б).

Зная и_лв и 1_АВ, можно определить токи остальных ветвей цепи на рис. 1.4.11, а: ток /, определится из уравнения, составленного согласно второму закону Кирхгофа для внешнего контура: Я_Х1_Х + Щ1_АВ + II_АВ = Я, а ток /₂ — из уравнения, записанного в соответствии с первым законом Кирхгофа:

— Л-/₂ + ^-о.

Пример 1.14.3. Режим нагрузки стабилизатора напряжения

В условиях примера 1.14.2 определите ток /, в нагрузочном резисторе = = 1 кОм.

Рис. 1.14.12. К примеру 1.14.3

Решение

Определим параметры Е_ж и Я_эк эквивалентного активного двухполюсника, к выходным полюсам которого подключен стабилитрон (см. рис. 1.14.12, б). Разомкнем ветвь стабилитрона и определим ЭДС эквивалентного активного двухполюсника, равную напряжению холостого хода и_лвх (см. рис. 1.14.12, в):

Замкнем на схеме замещения накоротко зажимы входного источника (Я_вт = 0) и определим сопротивление Я_ЭКАВ по схеме рис. 1.14.12, г:

Запишем уравнение для напряжения на стабилитроне по второму закону Кирхгофа (см. рис. 1.14.12, б):

Методом пересечения характеристик получаем и_ст = 32 В. Тогда ток нагрузки /_п = 11_СТ/Я_и = 32/10³ = 32 мА. Это значение напряжения и_ст практически совпадает с выходным напряжением стабилизатора напряжения в режиме холостого хода (см. пример 1.14.2).

Упражнение 1.14.2*. Расчет нелинейной цепи

Определить ток /_т терморезистора в схемах рис. 1.14.13 (сопротивление — в омах, ЭДС — в вольтах), ВАХ терморезистора приведена в табл. 1.14.2.

Таблица 1.14.2

К упражнению 1.14.2

Рис. 1.14.13. К упражнению 1.14.2

Примечание: численный расчет нелинейных цепей постоянного тока удобно выполнять с помощью математических программ. Пример анализа мостовой цепи с нелинейным терморезистором в программе МаПкас! приведен в параграфе 7.3.

Комментарии к ответам на упражнения в главе 1

• 1.1.1. Из уравнения (1.1.4) следует, что плотность тока проводимости не равна нулю, если не нулевые удельная электрическая проводимость провода и напряженность электрического поля.
• 1.6.1. Показание вольтметра будет равно нулю, так как согласно второму закону Кирхгофа и = 2Е — 2Я1, где I =ЗЕ / ЗЯ.
• 1.14.1. Статическое сопротивление обоих нелинейных элементов монотонно уменьшается при увеличении тока, так как тангенс угла наклона прямой, проведенной из начала координат через точки на ВАХ, при росте тока будет уменьшаться.

Зависимость дифференциального сопротивления от тока более сложная. Для элемента Л дифференциальное сопротивление на начальном линейном участке характеристики остается постоянным, на участке с постоянным напряжением Ддиф = Л?//ЛI = 0. Для элемента В динамическое сопротивление будет уменьшаться до нуля, а затем станет отрицательным.