Задачи с решениями

Задача 2.1. Для организации собственного бизнеса господин Квасилов оставил работу менеджера с окладом 2500 ден. ед. в месяц. Половину необходимых складских помещений он арендует за 30 000 ден. ед. в год, а в качестве недостающих производственных площадей использует свою вторую квартиру. Покупка торгового оборудования со сроком службы пять лет обошлась ему в 50 000 ден. ед. Годовой фонд заработной платы для оплаты труда наемных работников составляет 120 000 ден. ед. Для ведения бизнеса Квасилов использует 200 000 ден. ед. собственных сбережений, а недостающие для создания материальных запасов 450 000 ден. ед. взяты в кредит под 20% годовых. Процент по вкладам равен 10% годовых. Годовой доход от данного бизнеса составляет 770 000 ден. ед. Определите бухгалтерскую и экономическую прибыль (в год) господина Квасилова.

Решение.

Годовые бухгалтерские издержки (ден. ед.):

аренда — 30 000.

амортизация — 10 000.

зарплата — 120 000.

процент за кредит — 90 000.

материальные запасы — 450 000.

итого: 700 000.

Годовые альтернативные издержки: зарплата менеджера — 30 000 аренда второй квартиры — 30 000 процент по депозитному вкладу — 20 000 итого: 80 000.

Бухгалтерская прибыль: (770 000 — 700 000) = 70 000 ден. ед.

Экономическая прибыль: [770 000 — (700 000 + 80 000)] = -10 000 ден. ед.

Задача 2.2. Для компании «Дагония» функция валовых издержек имеет вид: ТС = 20 + 3Q². Определите значения предельных, средних постоянных, средних переменных и средних общих издержек при производстве 10 ед. продукции. Решение.

Следовательно, предельные издержки при производстве 10-й единицы продукции равны 60 ден. ед.

Чтобы определить различные средние издержки, сначала вычислим общие издержки: 7'С (10) = 20 + 3(10)² = 320.

Поскольку постоянные издержки не зависят от количества выпускаемой продукции, они составят, как это следует из функции общих издержек, 20 ден. ед. Таким образом, средние общие издержки равны 2 ден. ед.

К переменным издержкам относятся затраты, объем которых зависит от Q .VC=3Q².

Средние общие издержки могут быть рассчитаны двумя способами:

) ATC = AFC + Л УС = 2 + 30 = 32 ден.сд.;

ТС 320.

2) АТС= — = — = 32 ден. ед.

Задача 2.3. Консультант по экономическим вопросам сделал оценку производственной функции Кобба — Дугласа для продукции некоторой фирмы и представил ее в следующем виде: Q = /'(К, L) = К'^/21У¹.

Определите среднюю производительность труда при использовании 400 ед. труда и 900 ед. капитала.

Решение.

F (900,400) = 900^½• 400^½= 30 • 20 = 600 ед. продукции.

ТР 600, _г

APL = — = — = 1,5 ед. ироду кта/ед. труда.

Задача 2.4. Фирма, функционирующая на рынке совершенной конкуренции, где другие его участники продают свою продукцию по 20 ден. ед. за 1 шт., характеризуется общими затратами: ТС = 5 + (У².

Определите, какую цену следует установить на продукцию рассматриваемой фирмы? Сколько продукции следует выпускать фирме, чтобы получить максимальную прибыль? Каков будет размер этой прибыли?

Решение.

Так как фирма работает на рынке с совершенной конкуренцией, цена ее продукции должна быть такой же, как и у остальных участников этого рынка, т. е. 20 ден. ед. за 1 шт.

Чтобы определить остальные параметры, необходимые для решения задачи, запишем условие максимума прибыли: MR = МС.

В условиях совершенной конкуренции MR = Р, а МС = ТС' = (5 + Q²)' = 2 Q. Тогда 20 = 2Q, откуда (2=10 шт.

Задача 2.5. Предположим, что в условиях предыдущей задачи цена единицы продукции на рынке совершенной конкуренции установилась на уровне 10 ден. ед. Определите, каковы будут прибыли (или убытки), если фирма примет оптимальное решение.

Решение.

Условие оптимальности: MR = МС.

Принимая во внимание, что MR = Р= 10, а МС = (ТС)' = (100 + О²)'= 20, получим: 10 = 2Q, откуда (2 = 5.

Средние переменные издержки составляют.

Так как Р >А VC, фирма в краткосрочном периоде должна выпускать 5 ед. продукции, неся при этом убытки в размере.

Pr= TR — ТС = PQ — (100 + Q²) = Ю • 5 — (100 + 5²) = -75 ден. ед.,.

что меньше величины постоянных издержек, равных 100 ден. ед. (см. функцию ТС), которые фирма понесет, если вообще прекратит производство.

Задача 2.6. Фирма «Кидалия» функционирует на рынке совершенной конкуренции с общими затратами, формализуемыми следующей функцией:

Фирма стремилась получить максимальную прибыль, однако не получила прибыли вообще, хотя и не понесла убытков.

Определите, сколько единиц продукции произвела и реализовала фирма и по какой цене, если известно, что средние общие затраты фирмы составили 520 ден. ед.

Решение.

Поскольку фирма стремилась максимизировать свою прибыль, она руководствовалась условием максимизации: MR = МС.

То, что фирма действовала на рынке совершенной конкуренции и получила нулевую прибыль, означает, что графики предельной выручки (MR), предельных затрат (МС) и средних общих затрат (АТС = 520) пересеклись в одной точке.

Кроме того, поскольку на рынке совершенной конкуренции фирма реализует свою продукцию, но одной цене, предельная выручка равна цене. Таким образом:

Р = МС = MR = АТС = 520 ден. ед. МС = (ТС)' = (15Q² + 10Q + + 4335)'= 30(2 + Ю. МС = MR->30Q + 10 = 520. Q = 17 ед. продукции.

Задача 2.7. Фирма, работающая в условиях совершенной конкуренции, реализует свою продукцию, но цене 20 ден. ед. за одно изделие. Функция валовых издержек фирмы (ден. ед.) имеет следующий вид:

Определите объем выпуска продукции (Q,), максимизирующий общий объем прибыли фирмы.

Решение.

Общий объем прибыли фирмы может быть рассчитан как разность между доходом фирмы от реализации продукции (PQ) и ее валовыми издержками: Рг=20 ? <2- (75 + + 17Q-4Q² + Q³);

Условием экстремума, и в частности, максимума функции является равенство нулю ее первой производной:

Решив данное квадратное уравнение, получим Q = 3.

Задача 2.8. Кривая спроса на товар, производимый и продаваемый фирмой-монополистом «Мультихват», формализуется аналитическим выражением: Q^D = 450 — 0,5Я. Функция общих затрат описывается формулой ТС = 5(2' -1200(2 + + 91 500.

Принимая во внимание то, что фирма получила максимальную в рассматриваемых условиях прибыль, определите ее величину, а также значения коэффициента эластичности спроса, но цене в точке оптимального выпуска.

Решение.

1. Оптимальные значения Р* и Q* найдем из условия максимума прибыли: MR=MC.

2. Определим прибыль фирмы:

3. Рассчитаем коэффициент эластичности спроса, но цене:

Задача 2.9. Функция спроса на продукцию монополиста имеет вид: Q^D = = 100 — 2Р.

Так как фирма работает в условиях максимизации общего объема выручки, было решено максимизировать общий объем прибыли.

Определите, на сколько необходимо изменить цену на продукцию фирмы, если известно, что валовые издержки, связанные с изготовлением одной единицы продукции, практически не зависят от ее количества и составляют 20 ден. ед.

Решение.

Максимальный объем выручки соответствует точке на графике функции спроса с единичной эластичностью. Координата (значение) цены в этом случае рассчитывается по известной формуле

Формула прибыли может быть записана следующим образом:

Pr=PQ-АТС Q = P (m- 2Р) — 20(100 — 2Р) = -2Р² + 140Р — 2000.

Условием ее максимума является равенство нулю первой производной функции: (-2Р² + 140Р — 2000)' = -АР + 140 = 0, откуда Р = 35.

Следовательно, цена должна быть повышена на 10 ден. ед. (35 — 25).

Задача 2.10. Компания-монополист, спрос на продукцию которой формализуется функцией Q^D = 2400 — 3Р, функционирует в режиме максимизации выручки. Определите, как изменится выручка компании, если количество и цена ее продукции будут соответствовать точке с ценовой эластичностью спроса, равной (-3).

Решение.

Равновесные уровни цены и объема продаж монополиста определяются как координаты точки с единичной эластичностью спроса по цене, которой (точке) соответствует, как известно, максимум выручки, т. е.:

Исходная выручка монополиста составит, таким образом: PQ = 480 000.

Равновесное состояние рынка в изменившихся условиях может быть определено из формулы ценовой эластичности спроса:

Тогда = 2400 — ЗР = 2400 — 3 • 600 = 600.

Новый объем выручки составит Р_х Qj = 360 000, т. е. сократится на 120 000 ден. ед.

Задача 2.11. Функции спроса на продукцию производителя-монополиста имеют вид: Q^D = 1000 — 40Р.

Производство данного товара характеризуется следующими издержками: FC = 2000 ден. ед.; A VC = 5 ден. ед.

Определите максимальный объем общей прибыли, которую может получить производитель данной продукции (ден. ед.).

Решение.

Функция прибыли в условиях решаемой задачи имеет вид.

Условием максимума функции является равенство нулю ее первой производной, т. е. (20Q — 0,025Q² — 2000)' = 0 или 20 — 0,5?> = 0.

В этом случае Q = 400, а Р= 15 (из уравнения функции спроса).

Подставляя найденные значения Р и Q в функцию прибыли, найдем общий объем прибыли фирмы: 2000 ден. ед.

Задача 2.12. В условной отрасли функционируют пять фирм, производящих следующие объемы продукции (%): А — 5; В — 10; С — 15; D — 20; Е — 50. С целью повышения уровня конкуренции в отрасли антимонопольный комитет страны принял решение о разделении фирмы Е на несколько самостоятельных компаний.

Установите, на какое минимальное количество одинаковых по объемам выпуска компаний необходимо разделить фирму Е, чтобы в результате индекс Герфиндаля не превысил 1800.

Решение.

Обозначим через х количество компаний, на которое должна быть разделена фирма Е. Условие допустимой концентрации в данной отрасли можно записать следующим образом:

Решая данное уравнение и округляя полученный результат до ближайшего большего целого, можно сделать вывод о необходимости разделения фирмы Е на три компании.

Задача 2.13. Отрасль представлена мелкими фирмами, каждая из которых дает 5% общсотраслсвого объема продаж.

Определите с помощью индекса Герфиндаля, как изменится уровень концентрации в отрасли после слияния в ней двух фирм.

Решение.

Обозначим фирмы, функционирующие в отрасли, через Л, В, С… Индекс Герфиндаля следует рассчитать по формуле Я, = А² + В¹ + С² + …

После объединения двух фирм он будет равен: Я²=(А + В)² + С² + … = (Л² + 2АВ + + В²) + С² + … Я, + 2 Л В. Таким образом, Я, — Я, = 2АВ = 2 • 5 • 5 = 50, т. е. возрастет на 50 ед.

Задача 2.14. В отрасли функционировали три фирмы: А, В и С. Индекс Герфиндаля при этом составлял 3800. Затем фирма А поглотила фирму В, в результате чего индекс Герфиндаля вырос на 3000.

Определите исходные объемы продаж (%) каждой из трех фирм.

Решение.

Из исходных данных следует, что А² + В² + С¹ = 3800 и (Л + В)² + С² = 6800. Учитывая, что А + В + С = 100%, а Л + В = 100 — С, можно записать: (100 — С)² + С¹ = = 6800, откуда С = 20%.

Вычитая из (Л + В)² + С² выражение Л² + В² + С², имеем 2ЛВ = 3000 или ЛВ= 1500.

Решая систему уравнений получаем: Л = 30%, В = 50% и Л₂ = 50%, В₂ = 30%, а С, найденное выше, равно 20%.

Задача 2.15. Предположим, что функция спроса на продукцию фирмы на рынке с монополистической конкуренцией задается выражением Р = 100 — 2(1, а функция общих издержек — выражением ТС = 5 + 4 О.

Определите цену и объем выпускаемой продукции, при которых прибыль фирмы будет максимальной.

Решение.

Условием максимизации прибыли является равенство MR = MC.

Задача 2.16. Функционирование фирмы «Аморалия» характеризуется следующими параметрами:

• 1) спрос на продукцию: Q= 12 000 — 100Р;
• 2) производственная функция: Q_L = 3001 — L²;
• 3) цена единицы труда (L): 2400 ден. ед.;
• 4) предполагаемый объем выпуска: 4000 ед. продукции.

Определите оптимальное количество трудового ресурса для выполнения производственной программы.

Решение.

Условие оптимальности:

Задача 2.17. Определите, что выгоднее: получить 28 000 ден. ед. через три года или 32 000 ден. ед. через четыре года, если годовая процентная ставка составляет 10%.

Решение.

Для решения задачи оба варианта необходимо сделать сопоставимыми, приведя их к настоящему времени. Сделать это можно, рассчитав так называемую приведенную стоимость (PV).

Сопоставление полученных результатов свидетельствует о предпочтительности второго варианта.

Задача 2.18. Условия и результаты деятельности фирмы «Гунвория» за прошедший год характеризовались следующими параметрами: общий объем производства — 20 000 шт.; общий объем выручки — 1 000 000 ден. ед.; общий объем прибыли — 150 000 ден. ед.; средние переменные издержки — 30 ден. ед.

Определите, на сколько должна быть изменена цена на продукцию фирмы, чтобы при прочих равных условиях порог прибыльности снизился на 20%.

Решение, рг

^lbep=p^avc'^fc=7

2. Определим FC = PQ — (Л VC • Q + Рг) = 1 000 000 — (30 • 20 000 + 150 000) = = 250 000 ден. ед.

_ ««» 250 000 250 000.

• 3. Тогда ВЕР = _10 0000() =^7^-= 12 500 шт.
• 20 000
• 4. 12 500 • 0,80 = ^^ в^^ _0ХКуд_а р' = 55

I OU.

5. АР = (Р' - Р) = (55 — 50) = 5.

Таким образом, цена должна быть повышена на 10%.

Задача 2.19. Малое предприятие «Компрадор» подготовило бюджет своей деятельности наследующий год, который предполагал объем производства продукции.

800 000 дсн. ед. с постоянными и переменными издержками в объеме соответственно 530 000 деи. ед. и 240 000 деи. ед.

Владельца фирмы такой прогноз не устроил, так как он считал, что необходимо получить прибыль 100 000 ден. ед.

Определите, какой объем производства в рассматриваемых условиях необходим для получения желаемого объема прибыли.

Решение.

Задача 2.20. Работа предприятия в прошедшем году характеризовалась следующими показателями:

общие постоянные издержки — 200 млн ден. ед.;

средние переменные издержки — 20 тыс. ден. ед.;

годовой объем прибыли — 50 млн ден. ед.

В текущем году предприятие подняло цену на свою продукцию на 30 тыс. ден. ед. за единицу, что обеспечило ему при тех же объемах выпуска рост прибыли на 300%.

Определите цену, по которой предприятие реализовывало свою продукцию в прошедшем году (тыс. ден. ед.).

Решение.

Обозначая индексами 1 и 2 экономические показатели функционирования предприятия соответственно в прошедшем и текущем году, условия задачи можно формализовано записать следующим образом:

Подставим в это уравнение конкретные значения представленных в нем экономических показателей:

Значит, Р, = 70 тыс. ден. ед.

Задача 2.21. Общие постоянные издержки предприятия при выпуске товара составили 450 млн ден. ед., средние переменные издержки — 20 тыс. ден. ед. Реализация (продажа) товара осуществлялась по цене 40 тыс. ден. ед., обеспечивая предприятию прибыль в объеме 50 млн дсн. сд. В связи со спадом в экономике страны предприятие было вынуждено сократить объем производства на 20% (в количественном выражении). Чтобы оставить размер прибыли на прежнем уровне, администрация предприятия изыскала возможность снизить общие постоянные издержки.

Определите, на сколько были сокращены постоянные издержки.

Решение.

Поскольку по условиям данной задачи на предприятии сокращается объем производства, его исходный уровень должен быть рассчитан, но формуле.

После сокращения объема выпуска он будет равен 20 000 шт. Тогда постоянные издержки, соответствующие условиям решаемой задачи, могут быть найдены из уравнения и составит 100 000 000 ден. ед.

Задача 2.22. Результаты функционирования предприятия в прошедшем году характеризовались следующими показателями:

валовая выручка — 16 500 ден. ед.;

общие переменные издержки — 13 800 ден. ед.;

общие постоянные издержки — 2300 ден. сд.

В текущем году ожидается снижение валовой выручки на 10% за счет объема производства (Q).

Определите, на сколько должны быть сокращены общие переменные издержки на предприятии в текущем году, чтобы его прибыль осталась на уровне прошлого года (ден. ед.).

Решение.

При решении данной задачи прежде всего определим размер прибыли, полученной предприятием в прошедшем году:

Снижение в текущем периоде валовой выручки предприятия до 14 850 ден. ед. будет сопровождаться, очевидно, снижением переменных издержек, объем которых может быть рассчитан из уравнения.

Тогда AAVC= 13 800 — 12 150 = 1650 ден. ед.

Задача 2.23. Известна функция спроса на товар предприятия: Р = 600 — 20. Объем продаж данного товара соответствует точке с единичной эластичностью спроса по цене. Затраты предприятия, характеризующие производственный процесс его изготовления, таковы (ден. ед.): постоянные издержки — 12 000; средние переменные издержки — 60.

Определите рентабельность рассматриваемой продукции (%).

Решение.

Для решения данной задачи должны быть определены основные результирующие параметры конкретного бизнеса: объем производства и цена за единицу продукции. Сделать это можно, используя свойство точки с единичной эластичностью спроса по цене, в соответствии с котооым:

Подставляя найденное значение цены в функцию спроса, определим: Q = 300. Теперь, располагая всеми необходимыми для расчета рентабельности продукции данными, рассчитаем ее по уже известной нам формуле:

Задача 2.24. Результаты функционирования фирмы в течение года характеризовались следующими экономическими показателями: количество изделий — 15 000 шт.; цена изделия — 20 ден. ед.; средние переменные издержки — 8 ден. сд.; рентабельность продукции — 20%.

Определите порог прибыльности рассматриваемой фирмы.

Решение.

Порог прибыльности рассчитывается по формуле в которой неизвестной является величина постоянных издержек FC.

Определим ее по формуле.

Прибыль, неизвестная в данной задаче, в свою очередь может быть определена из формулы рентабельности продукции:

Подставив полученное выражение прибыли в формулу для расчета FC, получим.

FC = PQ — A VC • Q — p (FC + A VC? Q) = 300 000 — 120 000 — 0,2(FC + 120 00).

Решая уравнение, найдем FC = 130 000, а затем.

Задача 2.25. Предприятие малого бизнеса производит товары А и В с общими постоянными издержками 2300 деп. ед. Выручка от изготовления товара А составляет 9100 и товара В — 7400 ден. ед. Переменные издержки между товарами распределились следующим образом: 700 ден. ед. — товар А и 6800 ден. ед. — товар В.

Оцените положение фирмы, рассчитав:

• 1) выручку, соответствующую точке безубыточного производства (пороговую выручку);
• 2) запас прочности как процентное отклонение фактического уровня выручки от порогового.

Решение.

Порог прибыльности (точка безубыточности) для многономенклатурного производства рассчитывается по формуле.

Запас финансовой прочности фирмы составит в этом случае:

Задача 2.26. Предположим, что работа предприятия за прошедший год характеризовалась следующими параметрами (ден. ед.): цена единицы продукции — 30; средние переменные издержки — 15; средние постоянные издержки — 10.

В начале текущего года экономист-аналитик предприятия дал прогноз на увеличение в течение года объема продаж продукции компании с соответствующим ростом ее годовой выручки на 20%.

Определите, на сколько процентов возрастет в результате этого общая прибыль предприятия?

Решение.

Легко убедиться в том, что для решения рассматриваемой задачи необходимо использовать формулу эффекта производственного (операционного) рычага, модифицировав ее следующим образом:

Тогда L = 1 + — = 3, следовательно, прибыль предприятия вырастет па 60% (20 • 3).

Задача 2.27. Функционирование условной компании за истекший год характеризовалось следующими произодственно-экономическими показателями: количество изделий — 20 000 ед.; цена одного изделия — 150 ден. ед.; постоянные издержки — 800 000 ден. ед.; средние переменные издержки — 80 ден. ед.

Принято решение о повышении рентабельности изготавливаемой продукции за счет снижения средних переменных издержек.

Определите, насколько при прочих равных условиях должны быть сокращены средние переменные издержки, если целью администрации является рост рентабельности на 11,36 процентных пункта.

Решение.

Формулу рентабельности продукции для исходных данных рассматриваемой задачи можно записать следующим образом:

Компания ставит цель выйти па рентабельность р, =36,36% за счет сокращения уровня средних переменных издержек. Определим их в новых условиях с помощью вышеприведенной формулы

откуда A VC = 70 ден. ед., что ниже их исходного уровня на 10 ден. ед.