Полный дифференциал термического уравнения состояния

Термическое уравнение состояния задает поверхность в координатах р, v и Т. Конкретный вид уравнения состояния в общем случае определяется из данных эксперимента или с использованием теоретических представлений о строении вещества. Два параметра состояния позволяют определить не только третий термический параметр, но и все остальные свойства простой системы, такие как вязкость, теплопроводность, коэффициент преломления и т. д.

Если продифференцировать уравнение состояния вида T = T (p, v), то полный дифференциал примет вид.

Данное соотношение можно интерпретировать с использованием трехмерного изображения, на котором изображен фрагмент поверхности термического уравнения состояния (рис. 1.14). Область 1—2—3—4 — четырехугольник на этой поверхности. Линии а_х и а₂ принадлежат этой поверхности и получены в результате ее сечения плоскостями постоянного объема v = = const п v + dv = const. Аналогичным образом линии и Ь₂ получены в результате сечения поверхности термического уравнения состояния плоскостями р = const и р + dp = const. Пересекаясь, четыре кривые образуют четырехугольник 1—2—3—4.

Через точки 1 и 3 можно провести две плоскости, параллельно плоскости p—v, так, чтобы расстояние между плоскостями было равно dT. Линии пересечения этих плоскостей с поверхностью уравнения состояния — q и с₂.

Рис. 1.14. К понятию полного дифференциала

Частная производная (ЭТ /Ър равна тангенсу угла наклона касательной к кривой а_л в точке 1. Из рис. 1.14 следует, что отрезок 2—2' характеризует изменение температуры на участке 1—2 при изменении давления на величину dp при v = const:

Аналогичным образом производная (ЭТ/dv)_p равна тангенсу угла наклона касательной к кривой Ь_{ в точке 1, а отрезок 4—4' характеризует изменение температуры на участке 1—4 при изменении объема на величину dv при р = const:

Нетрудно видеть, что полный дифференциал dT есть не что иное, как сумма приращений температуры dT_v и dT_f):

Рассуждая подобным образом, нетрудно получить полные дифференциалы давления и объема:

Если нагреть систему при постоянном давлении на tIT, то, как следует.

1 (

из (1.4), ее объем изменится на dv = (dv/дТ)_пс1Т. Величина [} = — —.

)_р

изобарный коэффициент расширения (коэффициент теплового расширения). Если тело нагревается при постоянном объеме, то из (1.3) получаем, что давление изменяется на dp = (dp /dT)_vdT. Величина Y ⁼ «('^r~ ^— изохор-

ный коэффициент давления. Р ^¹ Л Если повышать давление при постоянной температуре, то объем системы изменяется на dv = (Эг; / Эp)_Tdp. Величина х = — | — изотермический коэффициент сжимаемости. vop)_Т

Кроме того, из (1.4) следует, что.

отсюда при v = const откуда.

дифференциальное уравнение состояния;

Условием стабильности равновесного состояния (механический критерий стабильности) является выполнение неравенства.

или с учетом дифференциального уравнения состояния Возможны два случая

ЛэП _ (ьтЛ _ _.

а) ?— >0 и —— >0. 1акие состояния веществ называются нор;

дТ )_v dv)_р

мальными. В частности, объем большинства веществ увеличивается при изобарном нагреве (dv /дТ)_р >0;

или с учетом дифференциального уравнения состояния.

• (эП п Гэг') _ «
• о) —— <0 и — <0. I акие состояния веществ называются ано-

V^)Ti до)_р

мальными. Объем некоторых веществ в некоторой области может убывать при изобарном нагреве (вода).

Стальной шарик имеет диаметр 10 мм при температуре 20 °С. До какой температуры нужно охладить шарик, чтобы его диаметр уменьшился до 9,98 мм? Изобарный коэффициент расширения стали (р) равен 49,2 • 10~⁶1/К.

Решение

Термическое уравнение состояния идеального газа можно представить в виде.

где R — газовая постоянная; т — масса газа; п — число молей газа; М— молярная масса газа; R = 8,31 446 ДжДмоль-К) = 8,31 446 • 10^-5 м³-бар/(моль*К) = = 8,478 402 • 10~⁵ м³ кГс/(моль-К) = 0,82 057 латмДмоль-К).

Величину R можно определить экспериментально: установлено, что при температуре 273,15 К и давлении 1,1 325 бар объем одного моля газа равен 22,4141 м³/моль. Подставляя эти данные в уравнение состояния идеального газа, можно найти значение R.

В технической литературе в качестве газовой постоянной часто используется величина (R/M), имеющая размерность не на моль, а на килограмм вещества. Это не приводит к изменению формы записи термодинамических соотношений, однако обусловливает необходимость внимательного отношения к размерности величин, которые входят в эти соотношения. Например для воздуха при давлении 1 бар и температуре 273,15 К плотность равна 1,275 кг/м³, откуда.

Строго говоря, уравнение состояния идеального газа справедливо при очень небольших давлениях (при р —> 0), стремление к нулю означает: расстояния между частицами настолько велики, что потенциальная энергия их взаимодействия пренебрежимо мала, т. е. частицы не притягиваются и не отталкиваются, собственный объем их пренебрежимо мал, а при столкновении они ведут себя как абсолютно упругие тела.

В основе уравнения состояния идеального газа лежит модель идеального газа, в соответствии с которой частицы газа имеют пренебрежимо малый объем, причем частицы взаимодействуют между собой как абсолютно упругие тела только при непосредственном столкновении. Вывод уравнения состояния идеального газа с использованием модели идеального газа можно найти в учебнике по молекулярной физике, например [3].

Достоинствами уравнения состояния идеального газа являются простота, универсальность, обеспеченность информацией (единственный параметр этого уравнения — молярная масса вещества). Кроме того, с его помощью удобно описывать свойства газовых смесей. Однако данное уравнение нельзя использовать в области высоких давлений и низких температур.

В технике в качестве единицы измерения количества вещества часто используется нормальный кубический метр: 1 куб. м (н) = (1 /22,4141) кмоль — количество (число молей) газа, которой содержится в одном кубическом метре газа при температуре 273,15 К и давлении 1,1 325 бар (напомним, что 1 моль вещества в этих условиях занимает объем 22,4141 л).

Поверхность уравнения состояния идеального газа изображена на рис. 1.15. Такого рода графики называют обычно диаграммами состояния вещества.

Рис. 1.15. Поверхность уравнения состояния идеального газа.