Использование второго закона термодинамики

Проанализируем несколько примеров расчета изменения энтропии в необратимых процессах.

Процессы с трением.

Рассмотрим классический эксперимент Джоуля, в котором работа, совершенная над системой, превращается во внутреннюю энергию.

Пусть стенки контейнера теплоизолированы и недеформируемы, так что вся энергия, подводимая к системе, воспринимается жидкостью при постоянном объеме (рис. 5.12).

Процесс является необратимым, к жидкости подводится энергия, над системой совершается работа, которая преобразуется во внутреннюю энергию. При этом обратный процесс, превращение внутренней энергии в работу, невозможен. Иными словами, в данной системе нагретая жидкость не может вращать вал двигателя за счет использования своей тепловой энергии.

Рис. 5.12. Пример процесса с трением.

В процессе совершения работы над системой ее объем по условию не меняется. Это означает, что энергия должна «втекать» в систему по каналу, который обеспечивает изменение энтропии. В данном случае вся энергия, подводимая к системе, диссипирует. Работа, совершенная за промежуток времени dx_y

Совершенная над системой работа приводит в движение жидкость, следствием чего является увеличение кинетической энергии жидкости. Однако наличие трения обусловливает торможение жидкости, поэтому кинетическая энергия полностью преобразуется во внутреннюю. Если в начальный момент времени U_{ — U (S_vV), то после завершения процесса U₂ -U (S₂, V). При этом.

Теплообмен. Если количество теплоты Q перетекает от тела с постоянной температурой Т к более холодному телу с температурой 7'₀, то энтропия нагретого тела уменьшается на величину Q/T, а энтропия холодного тела возрастает на Q/T₀. При этом суммарное изменение энтропии двух тел равно

В процессе теплообмена двух тел температура в общем случае является функцией координаты времени.

Рис. 5.13. Схематическое изображение процесса теплообмена Рассмотрим два контактирующих тела, которые имеют одинаковый очень маленький объем (рис. 5.13). Размеры тел характеризуются геометрическими характеристиками dx, dy и dz. Температура верхнего элемента объема равна Т + dT, температура нижнего — Т. Количество теплоты dQ передается сверху вниз по координате у. Определим изменение энтропии за счет теплообмена, предполагая, что система, состоящая из двух элементарных объемов, теплоизолирована. Тогда с использованием приведенного выше соотношения нетрудно получить.

Пусть температура верхнего «кирпичика» на dT выше температуры нижнего, тогда количество теплоты dQ передается сверху вниз против направления у. Изменение энтропии в процессе выравнивания температур можно рассчитать, заключив систему в адиабатную оболочку.

знак «-» появляется из-за того, что тепловой поток направлен против градиента температур. Используя закон Фурье, получим.

выражение для расчета диссипативной функции.

Из полученных соотношений следует, в частности, что Х>0, так как dS_jn. >0.

После того как в системе устанавливается равновесие, можно рассчитать энтропию системы, которая равна сумме энтропий тел, образующих систему.

Например, если одно тело имеет массу т_ь удельную теплоемкость с_{ и абсолютную температуру 7), а другое — массу га₂, удельную теплоемкость с₂ и абсолютную температуру Т₂, то равновесная температура равна.

а увеличение энтропии за счет протекания процесса при условии постоянства теплоемкостей равно.

Данное соотношение получено в предположении, что процесс выравнивания температур протекает квазистатически, т. е. каждое тело имеет одну температуру, градиенты температур отсутствуют. В действительности температура до установления равновесия характеризуется некоторым профилем (рис. 5.14).

Рис. 5.14. Мгновенное распределение температур при контакте двух тел А и В:

— квазистатическая модель;—реальная зависимость температуры от координаты В процессе установления равновесия температура тела А будет понижаться, температура тела В — повышаться. В равновесии зависимость температуры от координаты будет изображаться прямой линией.

Приведенное соотношение для расчета изменения энтропии не учитывает энтропию смешения различных веществ. В общем случае, когда смешиваются два и более веществ, нужно учитывать энтропию смешения.

Дросселирование. В процессе дросселирования происходит падение давления в потоке газа, которое обусловлено резким сужением канала. С помощью закона сохранения энергии было установлено, что сумма энтальпии и кинетической энергии потока до и после сужения в процессе адиабатного дросселирования является величиной постоянной:

Если пренебречь изменением кинетической энергии, что во многих случаях вполне оправдано, то процесс дросселирования можно полагать изоэнтальпийным, h_A —

Для идеального газа dh = c_pdT, поэтому Т ~ const. Для реального газа, как будет показано далее, температура после сужения, как правило, уменьшается.

Процесс дросселирования является, очевидно, необратимым, поскольку, чтобы направить поток в обратном направлении, нужно преодолеть конечную разницу давлений до и после сужения. В некотором смысле процесс дросселирования напоминает процесс трения.

Увеличение энтропии при прохождении потоком дросселя равно.

где? — диссипативная функция, увеличение которой приводит к росту внутренней энергии. В то же время, как было установлено ранее, если пренебречь изменением кинетической и потенциальной энергии потока.

• (т.е. механической работой), техническая работа равна работе нроталкива-
• 2

ния -]Vdp и работе диссипации 1

причем техническая работа в потоке равна нулю, поэтому.

отсюда Поскольку энтропия — функция состояния, значение интеграла в правой части зависит только от состояний 1 и 2. Поэтому величину изменения энтропии можно рассчитать, зная параметры газа в сечениях 1 и 2, не вдаваясь при этом в детали процесса дросселирования.

Для идеального газа V = mRT/p, поэтому.

Работу диссипации W_mcc можно рассчитать с помощью интеграла Vdp

только в том случае, если дросселирование происходит достаточно медленно и разница давлений в двух сечениях не слишком велика, так, чтобы состояние газа в каждой точке процесса можно было описать посредством зависимости V (p).

Если процесс дросселирования идеального газа происходит при постоянной температуре, то.

Рассмотренный ранее опыт Джоуля с перетеканием газа из баллона в вакуумированный контейнер без совершения работы можно рассматривать как процесс дросселирования. Работа, совершаемая в обратимом процессе расширения, в данном опыте превращается в кинетическую энергию турбулентного потока, а затем преобразуется во внутреннюю энергию. Энтальпия системы при этом остается неизменной. В случае идеального газа постоянство внутренней энергии и энтальпии означает постоянство температуры. Однако в деталях механизм этого процесса расширения довольно сложен, температура не остается неизменной на протяжении процесса, поэтому использовать формулу (5.9) для расчета работы диссипации нельзя. Однако изменение энтропии процесса можно рассчитать по формуле (5.8), поскольку энтропия — функция состояния.

Представим себе, что две емкости в эксперименте Джоуля теплоизолированы от окружающей среды и одна от другой. После открытия вентиля газ расширяется адиабатно в пустой контейнер, за счет расширения газ в исходном баллоне охлаждается. Газ «нс знает», что происходит в соседней емкости. Сразу после открытия газ поступает в пустую емкость. В процессе перетекания уже имеющийся газ адиабатно сжимается поступающим газом и за счет этого нагревается. В то же время температура втекающего газа все время понижается. Таким образом, происходит непрерывный процесс перемешивания потоков газа с разной температурой. В конечном счете, давления и температуры в двух контактирующих емкостях выравниваются, устанавливается равновесие. Причем, если газ ведет себя как идеальный, равновесная температура совпадает с начальной температурой газа.

Пример 5.6.

Сжатый воздух (идеальный газ, R = 287,2 ДжДкг-К)) при давлении 20 бар непрерывно протекает через адиабатный вентиль и расширяется до давления 1,5 бар. Скорость потока до и после вентиля примерно одинакова. Определить изменение энтропии.

Решение

Рассмотрим другой пример.

Пример 5.7.

Два баллона содержат воздух с параметрами.

Баллоны соединяются с помощью шланга, после чего в объединенной системе устанавливается равновесие. Определить параметры равновесного состояния, полагая, что система теплоизолирована, а воздух можно считать идеальным газом. Чему равно изменение энтропии в результате обратимого протекания процесса?

Решение.

Итоговое давление рассчитаем, но формуле.

Газ в первом баллоне сжимается от давления д, до р, газ во втором баллоне расширяется от давления р₂ до р. Изменение энтропии рассчитаем, но формуле (5.8).