Тепловые свойства твердых тел

Кристалл, состоящий из N атомов, является системой из 3N колебательных степеней свободы. Но классическим представлениям на каждую степень свободы движения атомов в узлах кристаллической решетки приходится энергия, равная кТ, включающая кинетическую (кТ/2) и потенциальную (кТ/2) энергию колебательного движения. Полная внутренняя энергия кристалла равна.

а для одного моля U = 3RT.

Для классической теплоемкости имеем (закон Дюлонга-Пти).

Это — верхний предел молярной теплоемкости идеального кристалла.

Квантовый гармонический осциллятор. Внутренняя энергия кристалла.

Каждый атом кристалла, взаимодействующий с соседними атомами, можно рассматривать как линейный гармонический осциллятор. Это — материальная точка, движущаяся в потенциале U (х) = кх2/2. Решение уравнения Шредингера с таким потенциалом (п. 7.3.3) имеет собственные числа.

где п, = 0,1,2,.а со = (к/т)¹'² — частота колебаний осциллятора, т — его масса. Таким образом, энергия атома в кристалле может принимать дискретный ряд значений ?,.

Вообще говоря, разные осцилляторы могут иметь различную собственную частоту со,. Внутренняя энергия кристалла — сумма энергий отдельных осцилляторов.

где Uq — энергия так называемых нулевых колебаний, не связанная с температурой и порождаемая «квантовой неопределенностью» микрочастиц (п. 7.3.3). При нагревании меняются числа л/, определяющие энергетические уровни осцилляторов.

Фонон — переносчик тепла в твердом теле. Понятие квазиимпульса.

Из предыдущего раздела видно, что внутренняя энергия кристалла ‘'дробится" на порции А??, = /ко,. Колебания связанных между собой атомов распространяются по кристаллу в виде волн с волновыми векторами kj и частотами соj (kj).

Следуя идеям Луи де Бройля (корпускулярно-волновой дуализм). каждой волне можно сопоставить частицу с энергией ? = Тт (к) и импульсом Р = hk. Эта частица (квазичастица) носит название «фонона^,?. Фонон — элементарная порция звуковой энергии с частотой (c)у, подобно тому, как фотон — элементарная порция световой (электромагнитной) энергии. При сопоставлении волны и частицы число и, приобретает простой и наглядный смысл: и, — это число фононов данного сорта с энергией ?,• = /?©,(?) и импульсом Р, = tikj.

Введение

фононов позволяет во многих случаях рассматривать любое твердое тело как резервуар с заключенным в нем газом фононов. Почему фонон все же квазичастица? Хотя он во многих отношениях ведет себя также, как и фотон, который является фундаментальной частицей, но основное отличие состоит в том, что фонон не может возникать в вакууме. Для своего возникновения и существования фонон нуждается в некоторой среде. Подобного рода частицы называются квазичастицами.

Наглядно фонон можно представить как волну, т. е. ‘‘движущуюся синусоиду'', проведенную по атомам, отклоненным от положения равновесия. Скорость фононов равна скорости звука. Ясно, что максимальная длина фонона совпадает с размером кристалла, а минимальная равна 2d — удвоенному межатомному расстоянию (сплошная кривая на рисунке).

Соответственно максимальная частота фонона.

а максимальный импульс.

Если мы попытаемся провести по тем же атомам синусоиду с меньшим периодом (штриховая кривая на рисунке), эта синусоида «пойдет по пустоте, а не по атомам». Это говорит о физической неотличимости такой волны от волны с A._mj_n. Когда в результате взаимодействия фонон получает импульс р > р_т9Х, например,.

соответствующий волне с длиной X = 2d/Ъ < A,_mj_n (штриховая кривая), говорят, что избыток импульса над р_тах

фонон передает кристаллической решетке. Именно поэтому его называют квазиимпульсом у а энергию фонона — квазиэнергией.

Сходство фононов и фотонов не случайно. Прежде всего оно обусловлено тем, что фононы, как и фотоны, имеют целый спин (в единицах /?) и потому подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна (раздел 7.6.6).