Математическое описание систем автоматического регулирования. 
Преобразование Лапласа

Системы автоматического регулирования и их составные части в динамическом режиме описываются, в основном, дифференциальными уравнениями.

Для облегчения анализа работы САР широко используется операционный метод Лапласа, который позволяет операции дифференцирования и интегрирования по времени заменить операциями умножения и деления на комплексную переменную, а дифференциальные уравнения — свести к алгебраическим [14,15].

Преобразование Лапласа применяется к широкому классу функций, удовлетворяющих следующим условиям:

• 1) 1/(0 I ^ |М| • exp (s₀0, t > 0; М и s₀ — постоянные;
• 2) ДО = 0, t < 0

и задается в виде.

Здесьр — комплексная переменная,; — мнимая единица. Функция ДО называется оригиналом, F (p) — ее изображением по Лапласу, их взаимное соответствие друг другу записывается в виде ДО F (p). Например, если ДО = 1, то F (p) = 1 /р; если ДО = ехр (р₀0, то F (p) = 1/(рр₀). Далее, если ДО ^ F (p), то.

Соотношения (3.4.2), (3.4.3) легко доказываются интегрированием по частям.

Динамические звенья и их характеристики

Системы автоматического регулирования часто представляют в виде комбинации динамических звеньев, описываемых передаточными функциями. Передаточной функцией W (p) звена называется отношение изображения по Лапласу переменной у (0, полученной на выходе звена, к изображению переменной x (t), поданной на вход звена, при нулевых начальных условиях:

Условно звено изображают в виде прямоугольника, вход и выход которого отмечают стрелками (рис. 3.4).

Рис. 3.4. Динамическое звено на структурной схеме.

Каждому звену соответствует своя, вполне определенная передаточная функция W (p).

Динамические свойства типовых звеньев и САР могут быть не только описаны уравнениями, но и отображены графически временными (переходной и импульсной) и частотными характеристиками. Эти характеристики могут быть построены по известному уравнению звена или сняты экспериментально. И наоборот, по известным характеристикам можно получить уравнение, описывающее динамические свойства звена.

Переходной характеристикой у = h (t) описывается изменение во времени выходной величины звена, обусловленное подачей на его вход единичного ступенчатого воздействия (единичного скачка):

Единичный скачок является распространенным на практике (мгновенный сброс или приложение нагрузки, скачок температуры и т. д.) и наиболее неблагоприятным. По виду переходной характеристики h (t) можно судить о динамических свойствах системы. Применяя преобразование Лапласа, получаем:

Таким образом, зная передаточную функцию системы, легко определить ее реакцию на единичный скачок. Для этого следует воспользоваться таблицами обратных преобразований Лапласа и отыскать в них функцию времени, соответствующую изображению W (p)/p.

В теории автоматического регулирования применяются также импульсные характеристики/ = g (t), представляющие собой реакцию звена на единичный импульс. Математически единичный импульс описывается с помощью 8-функции Дирака:

где/(t) — произвольная непрерывная функция. Используя преобразование Лапласа, получаем:

Для описания установившихся вынужденных колебаний на выходе звена, вызванных гармоническим воздействием на входе, применяются частотные характеристики (ЧХ). На практике для получения ЧХ вместо гармонических используют прямоугольные, трапецеидальные, треугольные формы импульсов. Однако при этом рассматривается разложение входного воздействия в ряд Фурье и анализируется реакция на гармонические составляющие этого разложения.

Если на вход звена подать гармоническое воздействие.

то по окончании переходного процесса на выходе звена установятся гармонические колебания.

где ф — фазовый сдвиг между входными и выходными колебаниями. Амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) звена называется функция А (со), задаваемая соотношением: А (со) = у_т(ю)/х_т(со). Зависимость Ф = ф (со) называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ).

Объединением АЧХ (рис. 3.6, а) и ФЧХ (рис. 3.6, б) в одну, получается амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) (рис. 3.6, е), у которой полярными координатами являются, А (со) и ф (со).

Аналитические выражения для ЧХ получаются по известной передаточной функции звена подстановкой р = jco. Получающаяся при этом комплексная величина WXjoo) как раз и является АФЧХ. Она записывается в виде.

где функции ц (со) и v (co) называются действительной и мнимой частотными характеристиками, соответственно. Отсюда следует, что.

Приведенные соотношения имеют смысл для произвольной совокупности звеньев, образующей линейную систему, т. е. систему, описывающуюся линейными дифференциальными уравнениями. Частотные характеристики позволяют исследовать устойчивость САР и характер протекания переходных процессов. По известной величине W (jcо) можно изучать реакцию системы на любое входное воздействие.