Малые колебания. 
Теоретическая механика

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ ОКОЛО ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ. НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ. СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ

Рассмотрим голономную механическую систему со стационарными идеальными связями и консервативными силами. Функция Лагранжа в этом случае равна.

Конфигурационное многообразие системы стационарно, а ее кинетическая энергия представляется квадратичной формой по обобщенным скоростям (см. § 4.9). Движение системы описывается уравнениями Лагранжа второго рода.

Напомним определение 12.1 (см. § 4.12): решение уравнений.

(1.2) q = q₀, где q₀ — постоянная, называется положением равновесия механической системы. Равновесные конфигурации системы удовлетворяют уравнениям.

Не нарушая общности, будем считать, что положению равновесия соответствует q₀ = 0, и разложим функцию Лагранжа в окрестности точки q = 0, q = 0 в ряд Тейлора. Имеем.

где точками обозначены члены порядка малости три и выше по отношению к переменным q, q. Заметим, что коэффициенты 8V (0)/dq, = 0, /= 1,п, а И (0) можно отбросить как несущественную константу. Если ограничиться в разложении (1.3) квадратичными членами, то полученный лагранжиан будет описывать по определению малые колебания системы в окрестности положения равновесия. Итак, в дальнейшем будем изучать движение системы с лагранжианом.

Матрицы А и В — симметричные. Уравнения Лагранжа, описывающие малые колебания,.

представляют собой систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и могут быть проинтегрированы в общем случае, в то время как исходные уравнения движения, вообще говоря, нелинейны и их интегрирование невозможно. Найдем общее решение уравнений (1.5).

Л. Квадратичная форма /2(Aq, q), определяющая кинетическую энергию системы, положительно определена, т. е. (/4q, q)> c (q, q), с > О V q? Rⁿ.

? В самом деле, если существуют q. *0 и (/4q., q.)<0, то.

N

= ½? т,г/ <0 для системы N материальных точек, но г, =.

/?I.

= dr,/dqq. Поскольку это отображение невырождено, то при q. * 0 найдутся г, * 0 и 7будет больше нуля. Таким образом, квадратичная форма (/4q, q)>0 на единичной сфере S" = {q:(q, q)= 1) и достигает на ней положительного минимума с>0, поскольку сфера S"  — компакт. ?

Согласно известной теореме высшей алгебры пара квадратичных форм, из которых одна положительно определена, может быть линейным невырожденным преобразованием приведена к каноническому виду, т. е. существует замена переменных.

и справедливы соотношения (А<, q) = (/>⁷APQ, Q) = (Q, Q), (Вq, q) = (P^TBPQ, Q) = (AQ, Q), где A = diag {X, …, X"}. Функция Лагранжа в новых переменных и уравнениях Лагранжа примут вид Величины С_и, С_2к — произвольные постоянные, определяемые по начальным условиям движения. В случае, когда все Х*>0, положение равновесия q = 0, q = 0 устойчиво по Ляпунову, так как согласно (1.8) Q_k(t) ограничены; потенциальная энергия K (q) имеет в нуле изолированный минимум и положение равновесия устойчиво по Ляпунову в силу точных нелинейных уравнений движения (см. теорему Лагранжа, § 4.12). В этом случае фазовая траектория (q®, q (/)) остается в окрестности положения равновесия, и аппроксимация лагранжиана квадратичными членами справедлива при всех / > 0.

В случаях б) и в) фазовая траектория покидает окрестность положения равновесия за конечный промежуток времени (в рамках теории малых колебаний положение равновесия неустойчиво), и аппроксимация лагранжиана квадратичными членами будет законна только на конечном интервале времени. В дальнейшем будем рассматривать случай, когда все _к > 0.

• 0.1.1. Величины ш_к ~ 'fik, к = 1, …, п, называются собственными частотами колебаний системы около устойчивого положения равновесия.
• 0.1.2. Векторы и* = PQ^W, к= 1, …, и, Q = (0, … 0,‘ 1, 0, 0)
• (единица на к-м месте) называются собственными формами.
• 0.1.3. Координаты (Q_h …, Q_n) называются нормальными координатами.

Остановимся на ряде свойств нормальных координат, собственных частот и форм.

имеет ненулевое решение, если определитель det ||Д — ю²Л|| = 0. Корни характеристического уравнения det ||Д-со²/1|| = 0 ш,²,…, ш_л²,.

Уравнения (1.7) имеют общее решение:

С. 1. Решение уравнения (1.5) согласно Эйлеру ищется в виде q = и ехр (коГ) — Далее, система однородных уравнений очевидно, совпадают с квадратами собственных частот, а векторы и, …, и" являются соответствующими решениями уравнения (1.9).

С. 2. Рассмотрим задачу о собственных векторах пары симметрических операторов А и В. Имеем ХЛи = Ли. Характеристическое уравнение det||Z>- ХЛ|| = 0 имеет п корней X, Х", и система собственных векторов (Uj, …, u"} совпадает с набором собственных форм.

С.З. Справедливы равенства.

где 8_(/ — символ Кронекера, равный единице при / =у и нулю при '*/?

П

Поскольку q =, то.

*.i

С другой стороны,.

Сравнение этих двух выражений доказывает утверждение следствия.

С. 4. Найдем экстремумы квадратичной формы {Bq, q) при условии (/4q, q) = 1. Стационарные точки определяются из уравнений.

Отсюда следует, что стационарные значения функции (/lq, q) равны Х*=ш*² и достигаются на собственных формах и*. Если собственные частоты расположить в порядке возрастания 0 < ю,? со₂ й

… ?<�о_л, то.

С. 5. Общее решение уравнений (1.5) представляется в виде.

и является суперпозицией гармонических колебаний вдоль линейно независимых собственных форм. Если в Rⁿ ввести скалярное произведение с помощью положительно определенного оператора А в виде (/4q, q), то собственные формы образуют в Rⁿ ортонормированный базис (см. С. З).

П. Изучим малые колебания двойного математического маятника, состоящего из двух материальных точек, соединенных с неподвижной точкой двумя невесомыми палочками (рис. 56).

Считаем, что массы материальных точек равны т и длины палочек одинаковы и равны I. Система имеет две степени свободы, и ее конфигурационное проР_ИС 56.

странство диффеоморфно тору.

Т² = {ф|, ф₂ ^: Ч>* ⁶ Л¹, mod 2л}. Точки перемещаются в вертикальной плоскости 0?,?₂ под действием силы тяжести. Функция Лагранжа равна.

Положения равновесия определяются из уравнений.

Существенно различны четыре положения равновесия.

По теореме Лагранжа первое положение, когда обе палочки направлены вниз по вертикали, устойчиво. Лагранжиан, описывающий малые колебания в окрестности этого положения равновесия,.

Собственные частоты и формы удовлетворяют уравнению (Лео- - w₀²5)u = 0. Характеристическое уравнение det Az — 5|| = 0, где z =.

= ш²а)₀'², имеет корни Z) = 2 — Д, z₂ =2 + Д. Соответствующие им ортонормированные собственные формы равны.

Справедливы соотношения (Ли, и,) = 6,. Общее решение уравнений Лагранжа второго рода имеет вид.