ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции

СОДЕРЖАНИЕ Введение

1. Постановка задачи

• 2. Математические и алгоритмические основы решения задачи
• 2.1 Понятие гамма-функции
• 2.2 Вычисление гамма функции
• 3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи
• 4. Программная реализация решения задачи
• 5. Пример выполнения программы
• Заключение

• Список использованных источников

  и литературы

Выделяют особый класс функций, представимых в виде собственного либо несобственного интеграла, который зависит не только от формальной переменной, а и от параметра.

Такие функции называются интегралами зависящими от параметра. К их числу относится гамма функции Эйлера.

Гамма функция представляется интегралом Эйлера второго рода:

.

Гамма-функция расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел. Обычно обозначается ?(z).

Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.

Через гамма-функции выражается большое число определённых интегралов, бесконечных произведений и сумм рядов.

1. Постановка задачи Требуется реализовать основные способы вычисления гамма-функции:

1. Гамма-функции для целых положительных n равна Г (n) = (n — 1)! = 1· 2… (n — 1). (1)

2. Для x>0 гамма-функция получается из ее логарифма взятием экспоненты.

. (2)

3. Гамма-функции для ряда точек:

(3)

Пример 1.

Вычислить гамма-функции Г (6).

Решение:

Так как 6 — положительное целое число, воспользуемся формулой (1):

Г (6) =(6−1)! = 5! = 120

Ответ: 120.

Пример 2.

Вычислить гамма-функции Г (0,5).

Решение:

Воспользуемся формулой (2):

.

.

Ответ: .

Пример 3.

Вычислить гамма-функции Г (1,5).

Решение:

Воспользуемся формулой (3):

y = 1.5 + 2 = 3.5.

.

Ответ: .

2. Математические и алгоритмические основы решения задачи

2.1 Понятие гамма-функции Гамма функцию определяет интеграл Эйлера второго рода

(a) = (2.1)

сходящийся при .

Рисунок 1. График гамма-функции действительного переменного Положим =ty, t > 0, имеем

(a) =

и после замены, через и t через 1+t, получим

Умножая это равенство и интегрируя по t и пределах от 0 до, имеем:

или после изменения в правой части порядка интегрирования, получаем:

откуда

(2.2)

заменяя в (2,1), на и интегрируем по частям получаем рекурентною формулу

(2.3)

так как Рисунок 2. График модуля гамма-функции на комплексной плоскости При целом имеем

(2.4)

то есть при целых значениях аргумента гамма-функция превращается в факториал, порядок которого на единицу меньше взятого значения аргумента. При n=1 в (2.4) имеем

2.2 Вычисление гамма функции Для вычисления гамма-функции используется аппроксимация логарифма гамма-функции. Сама же гамма вычисляется через него.

Для аппроксимации гамма-функции на интервале x>0 используется формула (для комплексных z) такого вида:

.

Она похожа на аппроксимацию Стирлинга, но в ней имеется корректирующая серия. Для значений g=5 и n=6, проверено, что величина погрешности eps не превышает. Кроме того, погрешность не превышает этой величины на всей правой половине комплексной плоскости: Re z > 0.

Для получения действительной гамма-функции на интервале x>0 используется рекуррентная формула Gam (z+1)=z*Gam (z) и вышеприведенная аппроксимация Gam (z+1). Также можно заметить, что удобнее аппроксимировать логарифм гамма-функции, чем ее саму.

Во-первых, при этом потребуется вызов только одной математической функции — логарифма, а не двух — экспоненты и степени (последняя все равно использует вызов логарифма), во-вторых, гамма-функция — быстро растущая для больших x, и аппроксимация ее логарифмом снимает вопросы переполнения.

Для аппроксимации LnGam () — логарифма гамма-функции — получается формула:

Значения коэффициентов C_k являются табличными данными (Таблица 1).

Таблица 1. Значения коэффициентов C_k

Сама гамма-функция получается из ее логарифма взятием экспоненты. .

3 Функциональные модели и блок-схемы решения задачи Функциональные модели и блок-схемы решения задачи представлены на рисунке 3, 4, 5, 6.

Условные обозначения:

§ X — параметр функции;

§ RS — инкремент;

§ GN — список коэффициентов;

§ Y — вспомогательная переменная;

§ RES — результат вычисления гамма-функции;

§ GAM — временная переменная, содержащая вычисление гамма-функции.

Рисунок 3 — Функциональная модель решения задачи для функции GAMMA

Рисунок 4 — Функциональная модель решения задачи для функции GAMMA_ WHOLE

Рисунок 5 — Блок-схема решения задачи для поиска логарифма гамма-функции GAMMA_LN

Рисунок 6 — Блок-схема решения задачи для поиска логарифма гамма-функции GAMMA_POINT

4. Программная реализация решения задачи

;СПИСОК КОЭФФИЦИЕНТОВ

(SETQ CN '(2.5 066 282 746 310 005 1.190 015 76.18 009 172 947 146 -86.50 532 032 941 677 24.1 409 824 083 091

— 1.231 739 572 450 155 0.120 865 097 386 6179e-2 -0.539 523 938 4953e-5))

;ЛОГАРИФМ ГАММА ФУНКЦИИ

(DEFUN GAMMA_LN (X)

(SETQ SER (CADR CN))

(SETQ L (CDDR CN))

(SETQ Y X)

(DO

((J 2))

((>= J 8))

(SETQ Y (+ Y 1))

(SETQ CO (CAR L))

(SETQ SER (+ SER (/ CO Y)))

(SETQ L (CDR L))

(SETQ J (+ J 1))

)

(SETQ Y (+ X 5.5))

(SETQ Y (- Y (* (+ X 0.5) (LOG Y))))

(SETQ Y (+ (* -1 Y) (LOG (* (CAR CN) (/ SER X)))))

)

;ВЫЧИСЛЕНИЕ ГАММА-ФУНКЦИИ ЧЕРЕЗ ЕЕ ЛОГАРИФМ

;ГАММА ДЛЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ АРГУМЕНТОВ

(DEFUN GAMMA (X)

(EXP (GAMMA_LN X))

)

;ГАММА ДЛЯ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

(DEFUN GAMMA_WHOLE (X)

(SETQ X (- X 1))

(DO

((RES 1) (RS 1))

((EQL X 0) RS)

(SETQ RS (* RES RS))

(SETQ X (- X 1))

(SETQ RES (+ RES 1))

)

)

;ГАММА ДЛЯ МНОЖЕСТВА ТОЧЕК

(DEFUN GAMMA_POINT (X)

(IF (> X 0)

(PROGN

(SETQ Y (+ X 2))

(SETQ GAM (* (SQRT (* 2 (/ PI Y))) (EXP (+ (* Y (LOG Y)) (- (/ (- 1 (/ 1 (* 30 Y Y))) (* 12 Y)) Y)))))

(SETQ RES (/ GAM (* X (+ X 1))))

)

;ИНАЧЕ

(PROGN

(SETQ J 0)

(SETQ Y X)

(DO

(())

((>= Y 0))

(SETQ J (+ J 1))

(SETQ Y (+ Y 1))

)

(SETQ GAM (GAMMA_POINT Y))

(DO

((I 0))

((>= I (- J 1)))

(SETQ GAM (/ GAM (+ X I)))

(SETQ I (+ I 1))

)

(SETQ RES GAM)

)

)

RES)

;ПОЛУЧАЕМ ЭЛЕМЕНТ ФУНКЦИИ

(SETQ FUNC 0)

(SETQ INPUT_STREAM (OPEN «D:GAMMA.TXT» :DIRECTION :INPUT))

(SETQ FUNC (READ INPUT_STREAM))

(CLOSE INPUT_STREAM)

;РЕЗУЛЬТАТ ГАММА-ФУНКЦИИ

(SETQ OUTPUT_STREAM (OPEN «D:RESULT.TXT» :DIRECTION :OUTPUT))

(PRINT 'RESULT_OF_GAMMA_FUNCTION OUTPUT_STREAM)

;ПРИМЕНЯЕМ ДЛЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

(PRINT (MAPCAR 'GAMMA FUNC) OUTPUT_STREAM)

;ПРИМЕНЯЕМ ДЛЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

(PRINT (MAPCAR 'GAMMA_WHOLE FUNC) OUTPUT_STREAM)

;ПРИМЕНЯЕМ ДЛЯ ЛЮБЫХ ЧИСЕЛ

(PRINT (MAPCAR 'GAMMA_POINT FUNC) OUTPUT_STREAM)

(TERPRI OUTPUT_STREAM)

(CLOSE OUTPUT_STREAM)

;END

5 Пример выполнения программы Пример 1.

Рисунок 7 — Входные данные. Вычисление гамма-функции для положительных целых чисел Рисунок 8 — Выходные данные. Вычисление гамма-функции для положительных целых чисел Пример 2.

Рисунок 9 — Входные данные. Вычисление гамма-функции для положительных чисел Рисунок 10 — Выходные данные. Вычисление гамма-функции для положительных чисел Пример 3.

Рисунок 11 — Входные данные. Вычисление гамма-функции для множества чисел Рисунок 12 — Выходные данные. Вычисление гамма-функции для множества чисел

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Гамма функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях. Благодаря этому они широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки.

Итогом работы можно считать созданную функциональную модель реализации основных способов вычисления гамма функции. Данная модель применима к гамма-функции с положительным целым параметром, гамма-функции с положительным параметром, гамма-функции для множества точек. Созданная функциональная модель реализации основных способов вычисления гамма функции и ее программная реализация могут служить органической частью решения более сложных задач.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ и литературы

Бронштейн, И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов [Текст] / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. — М.: Наука, 2007. — 708 с.

Вычисление гамма-функции и бета-функции [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://www.cyberguru.ru/cpp-sources/algorithms/vytchislenie-gamma-funktsii-i-beta-funktsii.html

Гамма-функция — Википедия [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Гамма_функция

Кремер, Н. Ш. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов. [Текст] / Н. Ш. Кремер, 3-е издание — М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2006. C. 412.

Семакин, И. Г. Основы программирования. [Текст] / И. Г. Семакин, А. П. Шестаков. — М.: Мир, 2006. C. 346.

Симанков, В. С. Основы функционального программирования [Текст] / В. С. Симанков, Т. Т. Зангиев, И. В. Зайцев. — Краснодар: КубГТУ, 2002. — 160 с.

Степанов, П. А. Функциональное программирование на языке Lisp. [Электронный ресурс] / П. А. Степанов, А. В. Бржезовский. — М.: ГУАП, 2003. С. 79.

Хювенен Э. Мир Лиспа [Текст] / Э. Хювенен, Й.Сеппянен. — М.: Мир, 1990. — 460 с.