Компьютерные системы ANSYS CFX

Введение

4

Постановка задачи 6

Цели работы 7

1. Основные уравнения газовой динамики 8

Выводы 12

2. Численные методы решения дифференциальных уравнений газовой динамики 14

2.1 Структура численного решения основных дифференциальных уравнений газовой динамики 14

2.2 Метод контрольного объема 16

2.1.1 Метод контрольного объема, центрированного по узлу 22

2.1.2 Метод контрольного объема, центрированного по ячейке 23

2.1.3 Разнесенные и совмещенные сетки 23

2.3 Компьютерные пакеты для численного решения задач газовой динамики 25

Выводы 27

3. Программное решение ANSYS для вычислительной газовой динамики: комплексы ANSYS ICEM CFD и ANSYS CFX 29

3.1 Сеточный генератор ANSYS ICEM CFD 29

3.2 Комплекс численного моделирования задач газовой динамики ANSYS CFX 31

3.3 Особенности метода контрольного объема в ANSYS CFX 33

3.3.1 Решение МКО на совмещенной сетке 33

3.3.2 Порядок точности схем дискретизации 35

3.3.3 Нелинейный учет сжимаемости 38

3.3.4 Система линеаризованных уравнений и ее решение 39

Выводы 47

4. Анализ исходных данных для численного эксперимента. Выбор параметров расчетной сетки и модели турбулентности 48

4.1 Данные физического эксперимента для тела вращения «оживальная головная часть-цилиндр» 50

4.2 Построение расчетной модели 53

4.3.1 Характеристики вычислительной системы, использованной для проведения расчетов 55

4.3.2 Расчетная модель турбулентности 55

4.3.3 Построение сеточной модели расчетной области 58

Выводы 64

5. Проведение численного моделирования стационарного обтекания тела вращения типа «оживальная головная часть-цилиндр» в пакете ANSYS-CFX. Результаты и их анализ 66

5.1 Предварительные замечания 66

5.2 Особенности моделирования нестационарного обтекания 68

5.3 Анализ влияния параметров расчета на сходимость численного решения 69

5.4 Сравнение результатов численного и физического экспериментов 73

Выводы 85

6. БЕЗОПАСНОСТЬ ЖИЗНЕДЕЯТЕЛЬНОСТИ 86

6.1 Потенциально-опасные и вредные производственные факторы при работе на ПЭВМ 86

6.2 Требования к ПЭВМ 87

6.3 Требования к помещениям для работы с ПЭВМ 89

6.4 Требования к микроклимату, содержанию аэроионов и вредных химических веществ в воздухе на рабочих местах, оборудованных ПЭВМ 91

6.5 Требования к уровням шума и вибрации на рабочих местах, оборудованных ПЭВМ 92

6.6 Требования к освещению на рабочих местах, оборудованных ПЭВМ 93

6.7 Требования к визуальным параметрам ВДТ, контролируемым на рабочих местах 96

6.8 Требования к уровням электромагнитных полей на рабочих местах, оборудованных ПЭВМ 96

6.9 Анализ пожарной безопасности помещения 97

6.10 Общие требования к организации рабочих мест пользователей ПЭВМ 97

6.11 Требования к организации и оборудованию рабочих мест с ПЭВМ 99

4.12 Требования к проведению государственного санитарно-эпидемиологического надзора и производственного контроля 101

4.13 Режим труда и отдыха 101

6.14 Мероприятия и средства, применяемые для выполнения электробезопасности ЭВМ 102

6.15 Режим труда и отдыха 104

6.16 Предложения по организации работы с ПЭВМ 105

Выводы 107

7. ОРГАНИЗАЦИОННО-ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 108

7.1 Планирование НИР 108

7.2. Расчет трудоемкости и заработной платы 110

7.3. Расчет стоимости машинного часа 110

7.4. Затраты на НИР 115

Выводы 116

Заключение

117

Библиографический список 118

Приложение 120

Возникнув три десятилетия тому назад на стыке вычислительной математики и теоретической гидромеханики, вычислительная гидродинамика (англ. Computational Fluid Dynamic — CFD) прошла большой путь и к настоящему времени оформилась как обособленный раздел науки, предметом которого является численное моделирование различных течений жидкости и газа и решение возникающих при этом задач при помощи методов, основанных на использовании компьютерных систем. Этот раздел науки, имеющий большое прикладное значение, продолжает свое интенсивное развитие.

Современная вычислительная гидродинамика занимается разработкой таких актуальных направлений, как расчет движений вязкой жидкости, численное исследование течений газа с физико-химическими превращениями, изучение распространения ударных волн в различных средах, решение газодинамических задач при наличии излучения, связанные задачи типа «прочность — газовая динамика», «акустика — газовая динамика» и пр.

Бурному росту CFD-расчетов, безусловно, способствуют совершенствование компьютерных технологий, создание универсальных, удобных в использовании и доступных широкому кругу исследователей программных CFD-комплексов, уверенно справляющихся с разнообразными типами задач. Подобные программы не только уверенно составляют конкуренцию реальному физическому эксперименту, но иногда являются единственной возможность ответить на интересующие исследователя вопросы. Среди несомненных достоинств компьютерного моделирования можно отметить следующие:

а) Сокращение времени при проектировании и отработке модели.

б) Численный эксперимент позволяет моделировать условия, не воспроизводимые при натурных испытаниях.

в) Использование методов вычислительной газовой динамики обеспечивает исследователя более полной и широкой информацией.

г) Экономическая эффективность компьютерных расчетов на порядок выше проведения эксперимента.

д) Возможность быстрой корректировки расчетной модели за счет чего достигается эффективное использование времени исследователя.

С каждым днем список достоинств методов вычислительной газовой динамики увеличивается, а сами методы совершенствуются, становясь обязательным инструментом решения широчайшего класса задач в руках любого исследователя.

Постановка задачи

Вместе с идеей привлекательности использования средств компьютерного анализа возникает проблема освоения быстроразвивающихся методов, осуществления грамотного и обоснованного выбора инструментов численного моделирования, отработки численных моделей с целью выявления их сильных и слабых сторон.

Основным способом решения обозначенной проблемы становится проведение тестовых задач для простых расчетных случаев, либо численное моделирование на основе данных физического эксперимента. Второй вариант предпочтителен, так как всегда имеется возможность оценить адекватность решения, его точность.

На основе указанных соображений была поставлена задача для выполнения рамках данной работы:

· На основе расчета нестационарного обтекания тела вращения рассмотреть вопросы оптимизации расчетной области с учетом имеющихся экспериментальных данных.

· Исследовать параметры вычислительных процессов, их влияние на численное решение.

Цели работы

а) Провести в комплексе ANSYS-CFX численное моделировании стационарного обтекания тела вращения типа «оживальная головная часть-цилиндр» на основе экспериментальных данных приведенных в AGARD Advisory Report No. 138 (AGARD-AR-138). Experimental Data Base for Computer Program Assessment. Report of the Fluid Dynamics Panel Working Group 04.

б) На основе стационарной задачи провести расчет обтекания тела вращения типа «оживальная головная часть-цилиндр» в нестационарной постановке.

в) Провести сравнительный анализ результатов численного и физического эксперимента.

г) Исследовать влияние основных параметров численного расчета на решение.

1. Основные уравнения газовой динамики

Газовая динамика — это раздел механики сплошных сред, описывающий движение жидкостей и газов в рамках модели сплошной среды. Последнее означает, что рассматриваются масштабы явлений, значительно превосходящие длину свободного пробега молекул. В рамках данного подхода все физические законы, а также свойства являются общими как для макрообъектов, так и бесконечно малых объемов.

В наиболее общем случае для задачи газовой динамики требуется решить систему из четырех независимых уравнений, которая носит название системы уравнений Навье-Стокса:

1. Уравнение неразрывности (сохранения массы)

.

2. Уравнение количества движения (сохранения импульса)

где

— тензор напряжений, записываемый в виде

;

— дельта-функция Кронекера

.

3. Уравнение энергии (сохранения энергии)

где

.

4. Уравнение состояния

.

Для записи соотношений — использованы следующие обозначения: — давление; - плотность; - скорость; - температура; - время; - полная энтальпия; - статическая энтальпия; _ источниковый член для импульса; - источниковый член для энергии; - коэффициент динамической вязкости; - коэффициент теплопроводности; - оператор Гамильтона (набла); - обозначает векторную величину.

Система уравнений Навье-Стокса образуют законченную математическую модель поведения жидкости (газа), детально и строго описывающую практически весь спектр течений. Однако на практике к ней необходимо добавить уравнения (совокупность эмпирических и иных соотношений) для модели турбулентности, чтобы система в целом могла быть решена.

При рассмотрении некоторых основных дифференциальных уравнений гидродинамики -, можно сделать вывод, что основные переменные подчиняются обобщенному закону сохранения [4, 8]. Если обозначить зависимую переменную, то обобщенное дифференциальное уравнение можно записать в следующем виде:

где

— коэффициент диффузии;

— источниковый член.

В обобщенное дифференциальное уравнение входят четыре члена: нестационарный, конвективный, диффузионный, источниковый. Зависимая переменная обозначает различные величины, такие, как температура, составляющая скорости и т. д. При этом коэффициенту диффузии и источниковому член необходимо придать соответствующий каждой из этих переменных смысл.

Анализируя обобщенное дифференциальное уравнение сохранения и саму систему Навье-Стокса, записанную для наиболее общего случая трехмерного нестационарного движения вязкой жидкости, можно видеть, что среди данных выражений присутствуют дифференциальные уравнения в частных производных как первого, так и второго порядка. Дополнительный важный аспект — наличие нелинейной зависимости членов уравнений от переменных.

При историческом развитии динамики жидкости в рассмотрение был введен ряд классов течений, описываемых значительно более простыми системами, чем указанная выше -. Эти различные классы возникают при пренебрежении или ограничении некоторых свойств течений. Для течений, представляющих практический интерес, соответствующая классификация приведена в таблице 1. Классификация проведена по двум параметрам — вязкости и плотности. Несжимаемые течения, как правило, ассоциируются с течениями, скорость которых мала по сравнению со скоростью звука (). Наоборот, для сжимаемых течений (, либо разница температур в потоке велика) требуется рассмотреть полное уравнение неразрывности и учитывать полное уравнение энергии.

При рассмотрении влияния вязкости возникают три основных класса течений. В случае течений у хорошо обтекаемых тел свойства большей части потока и, в частности, распределение давления по телу довольно точно могут быть получены в предположении, что вязкость жидкости равна нулю. Для сжимаемых невязких течений имеет смысл дальнейшее подразделение на классы (не указанное в таблице 1), зависящее от того, больше или меньше единицы число Маха .

Таблица 1

Классификация течений

Для течений у хорошо обтекаемых тел эффекты вязкости существенны лишь в тонких пограничных слоях, расположенных в непосредственной близости к поверхности тела. Сила трения (сопротивление поверхностного трения) на теле определяется лишь вязкостью в пограничном слое. При ненулевой теплопроводности перенос тепла также определяется лишь течением в (тепловом) пограничном слое. Для течений с большими числами Рейнольдса вязкость не способна подавить возмущения, которые могут возникать внутри пограничного слоя. Следовательно, чтобы получить осредненные по времени параметры течения, требуется ввести некоторые эмпирические параметры, учитывающие турбулентность потока.

У плохо обтекаемых тел (например, автомобиля) на подветренной стороне возникают области отрывных течений, в которых существенны эффекты вязкости. Если числа Рейнольдса не слишком малы, течения в таких зонах являются турбулентными и часто нестационарными. Обычно для описания отрывных течений необходимо решать полную систему уравнений Навье-Стокса для сжимаемой и несжимаемой жидкостей.

Приведенные выше соображения позволяют сильно упростить решение задачи при соответствующих обоснованных допущениях. Однако даже в подобных идеализированных случаях точное математическое решение существует только для простых тел (пластина, сфера, цилиндр, клин).

Прямым следствием невозможности точно разрешить систему уравнений Навье-Стокса становится попытка найти инструмент отыскания приближенного решения задач газовой динамики даже в самой общей постановке. Подобным инструментом выступают численные методы решения, предлагающие гибкий и достаточно прозрачный математический аппарат. Кроме того, существует возможность создать метод приближенных вычислений с заранее оговоренными свойствами и границами применимости.

Выводы

В данной главе приведено описание основных дифференциальных законов газовой динамики. Приведена классификация течений в зависимости от учета вязкости и сжимаемости. Наряду с этим поставлена проблема, состоящая в крайней сложности получения точного математического решения для системы уравнений Навье-Стокса. Возможным способом ее преодоления становятся численные методы.

2. Численные методы решения дифференциальных уравнений газовой динамики

2.1 Структура численного решения основных дифференциальных уравнений газовой динамики

Определяющие уравнения для течений, представляющих практический интерес, оказываются обычно столь сложными, что получить их точное решение невозможно и необходимо строить численное решение (что тоже, численное моделирование). Схематично процесс построения численного решения представлен на рисунке 1.

Рис. 1. Структура численного решения

На первом этапе — дискретизации — дифференциальные уравнения в частных производных, описывающие непрерывный процесс, а также вспомогательные (граничные и начальные) условия преобразуются в систему дискретных алгебраических уравнений. Чтобы преобразовать исходное уравнение в частных производных (или систему таких уравнений) в систему алгебраических уравнений (или обыкновенных дифференциальных уравнений), можно выбрать один из нескольких вариантов. Способ осуществления дискретизации зависит также от того, рассматриваются ли производные по времени (в применении к задачам с зависимостью от времени), или же уравнения, содержащие только пространственные производные.

На практике дискретизация производных по времени осуществляется почти исключительно с использованием разностных методов. При дискретизации пространственных производных используется, как правило, метод конечных разностей, конечных элементов, конечных объемов [5, 7, 11, 12].

При применении данных методов алгебраические уравнения связывают между собой значения искомых переменных в группе соседних узловых точек (сеточных узлов) [4, 7]. Также подразумевается, что сетка, состоящая из дискретных точек, распределена по всей вычислительной области во времени и в пространстве.

В процессе замены отдельных членов исходных уравнений, представляющих собой частные производные, алгебраическими выражениями, связывающими узловые значения на конечной сетке, вносится некоторая ошибка аппроксимации [5, 7]. Суть ее заключается в том, что при переходе от непрерывных функций к их дискретным аналогам используется разложение в ряды с удержанием определенного числа значимых членов и отбрасыванием малых высокого порядка, а также замене дифференциалов переменных их приращениями.

Говорят, что система алгебраических уравнений, полученная в результате процесса дискретизации, согласуется с первоначальным дифференциальным уравнением в частных производных, если в пределе, когда размеры ячеек сетки и величина шага по времени стремятся к нулю, система алгебраических уравнений эквивалентна дифференциальному уравнению в частных производных в каждой из узловых точек сетки. Таким образом, величина ошибки аппроксимации характеризует свойство согласованности численного метода дискретизации.

Решение алгебраических уравнений, аппроксимирующих заданное дифференциальное уравнение в частных производных, называют сходящимся, если это приближенное решение приближается к точному решению дифференциального уравнения в частных производных для любого значения независимой переменной, по мере того как размеры ячеек сетки и шаг по времени приближаются к нулю. На основании этого определения может быть рассмотрена ошибка решения, которая определяется как разница между точным решением дифференциального алгебраических уравнений и характеризует свойство сходимости.

Если учесть, что для большинства задач газовой динамики определяющие уравнения являются нелинейными, процесс построения численного решения обычно ведется посредством итераций (используются методы Ньютона, многосеточные методы, метод сопряженных градиентов). Иначе говоря, решение для каждого искомого переменного в каждой узловой точке последовательно корректируется посредством обращения к дискретизованным уравнениям [5, 6, 7, 11, 12, 13].

В заключение необходимо отметить, что наиболее востребованным численным методам решения уравнений газовой динамики является метод контрольного объема, обладающий значительными преимуществами в сравнении с остальными.

2.2 Метод контрольного объема

Основная идея метода контрольного объема (МКО) легко понятна и поддается прямой физической интерпретации. Расчетную область разбивают па некоторое число непересекающихся контрольных объемов. Дифференциальное уравнение интегрируют по каждому контрольному объему. Для вычисления интегралов внутри контрольного объема используют функции формы, которые описывают изменение некоторой интересующей переменной между расчетными узловыми точками. В результате находят дискретный аналог дифференциального уравнения, в который входят значения в нескольких расчетных узловых точках. В качестве расчетного узла в МКО принимается центр контрольного объема [4, 5, 7, 11, 12, 13].

Полученный подобным образом дискретный аналог выражает закон сохранения для конечного контрольного объема точно так же, как дифференциальное уравнение выражает закон сохранения для бесконечно малого контрольного объема.

Для получения математической формулировки МКО необходимо обратиться к основным дифференциальным зависимостям -. Уравнение неразрывности, количества движения и обобщенное дифференциальное уравнение, записанные в координатной форме примут следующий вид [15]:

.

Далее, руководствуясь указанными выше соображениями, каждое из выражений — следует проинтегрировать по контрольному объему. При этом, некоторые объемные интегралы удобно преобразовать в поверхностные, используя теорему Остроградского-Гаусса. Можно заметить, что при отсутствии деформации контрольного в течение времени (расчетная сетка не меняется с течением времени), соответствующие производные могут быть вынесены за знак интеграла:

где

— контрольный объем;

— контрольная поверхность, ограничивающая контрольный объем;

— дифференциал декартовой составляющей вектора внешней нормали к поверхности.

В интегральных соотношениях объемные интегралы характеризуют собой количественный уровень переменных внутри контрольного объема, а поверхностные представляют собой потоки переменных.

Затем необходимо перевести точные интегральные уравнения — в дискретную форму, для чего используются схемы дискретизации различного порядка точности. Следовательно, МКО сводится к дискретизации основных дифференциальных уравнений в интегральной форме. Объемные составляющие преобразуются путем аппроксимации переменных внутри отдельных сегментов ячейки (рис. 2) и их последующего интегрирования по каждому из объемных сегментов, которые в сумме составляют контрольный объем. Поверхностные составляющие (потоки) сначала вычисляются для точек интегрирования, расположенных в центре сегмента поверхности, в которую заключен контрольный объем, а затем полное изменение вычисляется интегрированием полученных потоков через отдельные грани.

Рис. 2. Формирование контрольных объемов на основе сеточной модели Дискретная форма интегральных соотношений может иметь вид (использована Эйлерова схема аппроксимации c разностью назад первого порядка):

где

— шаг по времени;

— приращение декартовой составляющей вектора внешней нормали к поверхности;

индекс «» означает вычисление для точки интегрирования и суммирование по всем точкам интегрирования данного контрольного объема;

индекс «» указывает, что величина соответствует предыдущему значению времени.

Изменение массы (массовый расход) через поверхность элемента объема получено как

.

Величины, полученные при решении, приводятся к центрам контрольного объема. Несмотря на это некоторые члены уравнений требуют решения для точек интегрирования. Для нахождения величин внутри элемента сетки используются аппроксимирующие функции (функции формы) конечных элементов.

Изменение некоторой переменной внутри объема можно записать как

где

— аппроксимирующая функция дляго узла;

— значение переменной вм узле;

— число узлов элемента.

Суммирование происходит по всем узлам элемента. При этом аппроксимирующая функция обладает следующими свойствами:

дляго узла

Одним из важных свойств МКО является то, что в нем заложено точное интегральное сохранение таких величин, как масса, количество движения и энергия на любой группе контрольных объемов и, следовательно, на всей расчетной области. Это свойство проявляется при любом числе узловых точек, а не только в предельном случае очень большого их числа. Таким образом, даже решение на грубой сетке удовлетворяет точным интегральным балансам [4, 5, 7].

Существует две основных разновидности МКО, характеризуемые расположением контрольного объема по отношению к элементам исходной (геометрической) сетки (рис.3): МКО, центрированного по узлу и МКО, центрированного по ячейке [4, 11, 12, 13].

Рис. 3. Схема контрольного объема, центрированного по узлу (слева) и центрированного по ячейке (справа)

Также в вычислительных алгоритмах могут использоваться так называемые разнесенные (шахматные) либо совмещенные сетки. Это связано с различными подходами в расчете поля давления.

Примечание. Понятие «геометрическая сетка» использовано по отношению к сетке, с помощью которой происходит дискретизация расчетной области, представляющую собой некоторую геометрическую модель (двумерную или трехмерную). Тогда как под словами «расчетная сетка» следует понимать совокупность контрольных объемов, узлы, ребра и грани которых также образуют некоторую сеточную модель. При этом расчетным узлом, как указано выше, является центр контрольного объема.

2.1.1 Метод контрольного объема, центрированного по узлу

Грани расположены посередине между узловыми точками сетки, узел геометрической сетки является центром контрольного объема. Таким образом, базовым является положение узлов, вокруг которых располагаются контрольные объемы. Указанный подход удобен при использовании структурированных (регулярных) сеток при дискретизации расчетной области.

Тем не менее, при использовании МКО, центрованного по узлу, возникает ряд затруднений. Расчетная сетка и исходная геометрическая не совпадают. Расположение центров контрольного объема (или узлов геометрической сетки) прослеживается без затруднений, однако формирование ячеек контрольных объемов представить гораздо сложнее. Контрольные объемы могут иметь форму значительно сложнее, чем элементы геометрической сетки. Кроме того, расположение контрольных объемов на границах требует отдельного рассмотрения (рис. 3, слева).

Преимуществом расположения контрольного объема вокруг узла геометрической сетки является высокая точность нахождения градиентов и производных, поскольку грани, на которых они вычисляются, расположены точно посередине между двумя соседними узлами геометрической сетки. При этом точность величин, полученных для расчетного узла интегрированием по контрольному объему, оказывается ниже.

2.1.2 Метод контрольного объема, центрированного по ячейке

Для построения расчетной сетки используется уже имеющаяся геометрическая сетка. Грани контрольного объема совпадают с гранями ячейки исходной сетки, расчетным узлом является центр геометрической ячейки [12, 13].

Указанная формулировка позволяет использовать уже готовые ячейки, созданные на этапе дискретизации расчетной области, в качестве контрольных, что хорошо реализуется на основе дискретизации неструктурированными сетками.

Эта разновидность МКО избавлена от необходимости введения дополнительных условий при рассмотрении граничных областей (рис. 3, справа). С другой стороны, контроль за формированием расчетных узлов, их распределением по расчетной области становится весьма затруднительным.

Наибольшую точность при использовании ячеек геометрической сетки в качестве контрольных объемов имеют величины, полученные интегрированием по объему. Градиенты и производные, вычисляемые на гранях, будут иметь меньший порядок точности.

2.1.3 Разнесенные и совмещенные сетки

Для расчета поля давления и скоростей МКО в указанной выше постановке используется общая расчетная сетка, состоящая из контрольных объемов и расчетных узлов (центров контрольного объема). Без дополнительных модификаций метода в этом случае может возникнуть ряд проблем [4, 12, 13].

Во-первых, при аппроксимации градиента давления для уравнения количества движения дискретный аналог будет содержать разность давлений между двумя не соседними точками. Это означает, что давление берется с сетки более грубой, чем основная расчетная, и это должно вести к снижению точности решения. Подобные рассуждения справедливы также построения градиента скоростей из уравнения неразрывности для случая несжимаемой жидкости.

Во-вторых, возможным ошибочным следствием аппроксимации может стать возникновения неоднородных (волнистого, шахматообразного) полей давления и скоростей, которые, тем не менее, будут восприниматься как однородные. Появление осцилляций в решении для давления и скорости может возникнуть, если центральные разности используются для аппроксимации всех производных на совмещенной сетке. Осциллирующее решение появляется из-за двух несвязанных на различных точках сетки решений для давления, которое возможно, если центральные разности используются совмещенной сетке. Осцилляции, как правило, возрастают при увеличении числа Рейнольдса, поскольку диссипативные члены посредством которых осуществляется связь значений, и в соседних точках, в этом случае малы.

Избежать неоднородного представления распределения давления и скоростей можно избежать при использовании разнесенных (шахматных) сеток для расчета полей давления и скоростей либо модификацией МКО [4, 15].

Первый способ означает, что для каждой зависимой переменной можно использовать свою сетку. При расчете составляющих скорости значительную выгоду дает определение их на сетке, отличной от сетки, которая используется для всех других переменных. Использование такой сетки лежит в основе процедур SIVA и SIMPLE, а также алгоритмов на их основе [4, 11].

При расположенной в шахматном порядке сетке составляющие скорости рассчитываются для точек, лежащих на гранях контрольных объемов. Таким образом, составляющая скорости вдоль оси рассчитывается на гранях, перпендикулярных направлению оси. Следует отметить, что по отношению к узловым точкам основной сетки точки, в которых определяется, смещены только в направлении оси. Другими словами, эти точки лежат на отрезках, соединяющих две соседние (вдоль оси) расчетные точки. Расчетная точка для должна лежать на грани контрольного объема.

Использование разнесенных сеток не является единственным решением. Путем некоторой модификации Хи (Rhie) и Чоу (Chow) предложили альтернативную схему дискретизации переноса массы, чтобы избежать шахматной картины полей давления и скоростей; затем Маджумдар (Majumdar) модифицировал данную схему, что позволило устранить зависимость уравнений стационарного течения от шага по времени. Подобная стратегия использована в решателе программного комплекса ANSYS-CFX.

2.3 Компьютерные пакеты для численного решения задач газовой динамики

Численные методы, применяемые для решения задач газовой динамики, по сути, являются инструментом, позволяющим использовать имеющуюся математическую модель — систему Навье-Стокса. Их использование в известном смысле расширило возможности исследователей, для которых стало возможным моделировать поведение жидкости или газа при самых разнообразных условиях, подчас невыполнимых в реальном мире. С этой целью создавались программные алгоритмы, которые затем непосредственно использовались для расчетов на компьютерах. Однако число пользователей ограничивалось узким кругом специалистов, непосредственно занимающихся вычислительной газовой динамикой.

Естественным шагом в эволюции численного моделирования динамики жидкости и газа стало создание расчетных пакетов (CFD-пакетов или комплексов), ориентированных на широкую аудиторию пользователей — научных работников, студентов, инженеров и т. д. В таком виде математический аппарат, заключенный в численные методы, стал действительно универсальным, а с учетом стремительного развития вычислительной техники и мощным средством в проведении численных расчетов по газовой динамике. Кроме того, при использовании CFD-пакетов становится необязательным обладать глубокими знаниями по численным методам, способам дискретизации и т. п.

Вычислительные комплексы для проведения расчетов по газовой динамике принято характеризовать по уровню сложности решаемых задач (поддерживаемое число узлов расчетной сетки, степень учета нелинейностей), по количеству моделей поведения жидкостей и газов. На сегодняшний день CFD-пакеты условно делятся на следующие классы:

1. «Тяжелые» — комплексы высокого класса, подходящие как для научных, так и инженерных расчетов, способные решать самые сложные задачи с учетом большого количества эффектов и использованием широкого набора математических подходов, в том числе специфических. К классу «тяжелых» относятся лидеры среди коммерческих CFD-пакетов — ANSYS CFX (ANSYS, Inc.), Star-CD (CD-adapco), FLUENT (ANSYS, Inc. совместно с Fluent, Inc.). Все они содержат большое число моделей турбулентности, способны решать задачи различной сложности с учетом горения, химических реакций, многофазных потоков, поддерживают различные типы сеток и т. д.

2. Среднего класса. Предназначены, главным образом, для расчетов инженерного уровня сложности. Набор используемых моделей также может быть достаточно широким. К этому разряду можно отнести COSMOSFloWorks (Solid Works Co.), STAR-CCM+ (CD-adapco), ANSYS FLOTRAN (ANSYS, Inc.).

3. «Легкие» — CFD-комплексы, использующие алгоритмы невысокой точности (используются, например, в качестве учебно-методических), либо имеющие узкую направленность расчета (специально созданные под определенную проблематику).

Следует отметить тот факт, что подавляющее большинство CFD-кодов, реализованных в программах, основано на использовании МКО в различных вариациях.

Несмотря на разницу в возможностях программ разных классов, принципиальный порядок проведения расчета в них одинаков и представляет собой следующие действия:

1. Подготовка расчетной модели. В этот этап входят:

а) Создание геометрической модели, описывающую расчетную область.

б) Генерация сеточной модели на основе созданной геометрии.

в) Задание граничных и начальных условий, выбор физической модели расчета (например, модели турбулентности, теплопроводности, горения и т. д.) — препроцессинг.

2. Решение задачи в решателе.

3. Просмотр и оценка результатов — постпроцессинг.

4. При необходимости, коррекция расчетной модели (изменение геометрии, сеточной, физической модели). Проведение решения с учетом изменений.

Как правило, коррекция расчетной модели производится из-за неудовлетворительных результатов, полученных в конце решения. Однако, изменения могут быть продиктованы, например, желанием проследить влияние качества сеточной модели (количества ячеек, их параметров) на результат, вычислительные затраты, сходимость расчета или же выявить адекватность применения той или иной физической модели, используемой в ходе моделирования.

Выводы

В этой главе предложена схема построения численного решения задач газовой динамики, рассмотрены некоторые математические аспекты данной проблемы. Кроме того, был формулирован метод контрольного объема, как один из самых эффективных и удобных методов численного моделирования. Прозрачная физическая интерпретация метода сделала его одним из самых востребованных при создании компьютерных пакетов по вычислительной газовой динамике. Следующим шагом должно стать построение стратегии компьютерного моделирования в одной подобных программ.

3. Программное решение ANSYS для вычислительной газовой динамики: комплексы ANSYS ICEM CFD и ANSYS CFX

Для проведения численного моделирования были выбраны следующие программные пакеты:

· Сеточный генератор ANSYS ICEM CFD — создание и редактирование сеточной модели

· Пакет численного моделирования задач газовой динамики ANSYS CFX — препроцессинг, решение и обработка результатов Выбор был продиктован, главным образом, большими возможностями, заложенными в данные программные продукты и наличием информации о практике их применения. Пакеты ANSYS ICEM CFD и ANSYS CFX представляют собой интегрированную систему для проведения CFD-расчетов, что обеспечивает максимальное удобство при передаче данных из одной программы в другую. Оба пакета относятся к классу «тяжелых», следовательно, возможно использование большого набора инструментов и подходов при генерации и редактировании сеточной модели, а также при моделировании условий численного эксперимента (модели газа, турбулентности).

3.1 Сеточный генератор ANSYS ICEM CFD

Программный пакет ANSYS ICEM CFD представляет собой сеточный генератор, предназначенный для построения сеточных моделей на основе геометрических. Исходная геометрическая модель может быть подготовлена как в отдельной CAD-системе, так и с помощью средств ANSYS ICEM CFD.

Данный сеточный построитель имеет блочную структуру. Каждый из блоков ICEM имеет свое назначение, а именно:

· Геометрический построитель. Содержит инструменты построения несложных геометрических моделей (поверхностей, линий), а также средства обработки импортированных CAD-моделей.

· Модуль Shell Meshing. Предназначен для генерации поверхностной сетки на основе прямоугольных или треугольных элементов.

· Модуль TETRA. Назначение данного модуля — создание тетраэдрических объемных сеток на основе алгоритма Octree.

Рис. 4. Пример описания тела тетраэдрической сеткой

· Модуль PRISM. Используется для генерации призматического подслоя в тетраэдрических сетках для детального описания пристеночных течений.

· Модуль HEXA. Является мощным средством для построения структурированных многоблочных или неструктурированных гексагональных сеток на основе геометрических моделей любой сложности (рис. 4). Отдельно решена задача для моделей с O-, C, L-топологией. Модуль HEXA поддерживает интерактивное редактирование сетки при изменении геометрической модели.

· Модуль Hybrid Meshes. При помощи этого средства могут разных типов могут быть объединены в одну гибридную сетку.

Рис. 5. Пример описания тела гексаэдричсекой сеткой

· Препроцессор. Служит для задания граничных условий перед передачей сеточной модели в соответствующий решатель, что является финальной стадией в создании расчетной модели для численного моделирования.

· Постпроцессор. ICEM может быть использован для обработки полученных в решателе результатов.

В каждом из модулей сеточной генерации содержится достаточной набор средств редактирования, оценки качества полученных элементов, конвертирования элементов одного типа в другой.

Построенная сетка может быть использована в вычислительных приложениях, как на основе МКО, так и на основе метода конечных элементов.

3.2 Комплекс численного моделирования задач газовой динамики ANSYS CFX

Программный комплекс ANSYS CFX ориентирован на решение наиболее сложных задач вычислительной газовой динамики. В число решаемых проблем входят:

· Задачи внешнего и внутреннего обтекания с подключением различных моделей турбулентности

· Расчет горения

· Многофазные течения

· Исследование реагирующих потоков

· Теплообмен, в том числе радиационный Также возможно проводить моделирование с учетом движения (деформации) сеток, что позволяет описывать явления максимально адекватно. Технология движущихся сеток легла в основу концепции связанных расчетов типа «газовая динамика-прочность» или «теплообмен-прочность». Данная концепция была реализована на основе комплексов ANSYS (прочностной анализ) и ANSYS CFX.

Среди доступных в ANSYS CFX моделей турбулентности имеются:

а) Модели вихревой вязкости:

· Однопараметрическая модель Колмогорова-Прандтля

· Стандартная модель

· модель

· Стандартная модель

· Зонная модель

· Зонная модель

· Модель

б) Модели напряжений Рейнольдса:

· Изотропная модель Launder-Reece-Rodi (LRR Reynolds Stress)

· Квазиизотропная модель Launder-Reece-Rodi (QI Reynolds Stress)

· Модель Speziale-Sarka-Gatski (SSG Reynolds Stress)

· Модель SMC (Omega Reynolds Stress)

· Модель BSL-RSS

· Переходная модель ANSYS CFX Transition Model

в) Вихревые модели:

· Модель крупных вихрей LES

· Модель дискретных вихрей DES

· Модель адаптивного масштаба SAS

Одной из отличительных особенностей ANSYS CFX является возможность подключать дополнительные зависимости и функции при помощи специального параметрического языка CCL.

Отдельно в пакет включены специализированные модули для создания геометрии, расчетной сетки, преи постпроцессинга для насосов, вентиляторов, турбин, компрессоров и других вращающихся машин.

Структурно в пакет ANSYS CFX входят следующие модули:

· препроцессор CFX-Pre;

· решатель CFX-Solver;

· постпроцессор CFX-Post.

Следует отметить, что при проведении расчетов на многопроцессорных станциях или кластерах (как гомогенных, так и гетерогенных) решатель CFX-Solver может работать в режиме распараллеливания, что существенно снижает время расчета при сохранении сходимости.

3.3 Особенности метода контрольного объема в ANSYS CFX

Метод контрольного объема, реализованный в ANSYS CFX, а также оригинальный алгоритм решения линеаризованных уравнений Coupled Algebraic Multigrid (AMG) имеют ряд особенностей, выделяющих данный CFD-пакет из общего ряда подобных программ.

3.3.1 Решение МКО на совмещенной сетке

Как уже отмечалось, МКО может быть реализован, как на разнесенных, так и на совмещенных сетках с модификацией самого метода. Последний подход применен в ANSYS-CFX. Используя для каждой точки интегрирования уравнения, сходные по виду с уравнением импульса, можно получить следующие зависимости для переноса массы [15]:

где

;

;

— коэффициент, соответствующий центральному коэффициенту в уравнении импульса, исключая нестационарные члены;

;

«» означает осреднение величины в точке интегрирования по значениям, взятым для смежных вершин сетки;

индекс «» указывает, что величина соответствует предыдущему значению времени.

Простая дискретизация, получаемая путем осреднения величин для точек интегрирования по значениям, взятым из смежных вершин сетки, дополнена зависимостью высокого порядка для давления, которая может масштабироваться в зависимости от шага сетки. В частности, выражение

будучи внесенным в уравнение неразрывности будет содержать производную четвертого порядка для давления, которая имеет порядок, т. е. данное слагаемое (иногда называемое перераспределяющим давление) представляет члены, обеспечивающие третий порядок точности. Обычно значение составляющие высокого порядка значительно меньше величин, осредненных по вершинам, особенно там, где сетка имеет адаптивное измельчение.

В некоторых случаях перераспределение давления может приводить к появлению ложного поля скоростей. Это возможно при наличии больших градиентов давления, уравновешивающих массовые силы, например, при учете плавучести или для пористых структур. В этом случае, схема Хи-Чоу приводит к колебаниям скорости на тех участках, где массовые силы имеют разрывы (свободная поверхность). Путем перераспределения сил осцилляции могут быть снижены в значительной степени или устранены:

.

3.3.2 Порядок точности схем дискретизации

Особенностью вычислительного алгоритма является наличие схем разного порядка точности, возникающих при различном способе дискретизации конвективных составляющих из общего уравнения сохранения. Для этого необходимо записать переменную через узловые значения. Схема, использованная в ANSYS-CFX для конвективных составляющих, записывается в следующей форме:

где

— коэффициент смешивания, ;

— значение в узле, расположенном против потока;

— вектор из узла, расположенного против потока, к точке интегрирования.

В зависимости от значений коэффициента смешивания и способа вычисления можно получить схемы различного порядка точности.

а) Схема с разностями против потока первого порядка (First Order Upwind Differencing Scheme)

В случае выражение соответствует схеме с разностями против потока первого порядка точности. Данная схема обладает большой устойчивостью, однако, привносит сильную схемную вязкость (численную диффузию), что приводит к «размытию» больших градиентов, скачков (рис. 6).

Рис. 6. Сглаживание функции при численном решении б) Схема с численной конвективной коррекцией (Numerical Advection Correction Scheme)

При использовании и определении параметра как среднего между значениями градиентов, вычисленных в узлах, ошибки, связанные с высокой схемной вязкостью, уменьшаются. Величина, называемая численной конвективной поправкой, может рассматриваться в качестве антидиффузионного члена для схемы с разностями против потока. Таким образом, варьируя значения коэффициента смешивания, можно добиваться повышения точности численного эксперимента.

При использовании выражение формально становится схемой второго порядка точности. Тем не менее, это приводит к возникновению ошибочной численной дисперсии, что вызывает появление нефизичных осцилляций в областях с резкоменяющимся решением (рис. 7). Кроме того, данная схема при не будет обладать такой же устойчивостью как схема с разностями против потока.

Рис. 7. Возникновение осцилляций в решении в) Схема с центрированными разностями В данной схеме, значение принимается равным локальному градиенту для элемента, или, используя альтернативную интерпретацию, аппроксимация с центрованными разностями использует трилинейные функции формы для вычисления значения :

.

Обозначенный способ аппроксимации является также схемой второго порядка точности и сохраняет как положительные, так и отрицательные стороны схемы с численной конвективной коррекцией. К недостаткам следует отнести то, что использование центрированных разностей может давать рассогласованные результаты. В целом, данная схема рекомендована к использованию только для моделей турбулентностей, основанных на LES-формулировке.

г) Схема высокой точности (High Resolution Scheme)

Схема высокой точности вычисляет коэффициент смешивания локально, по возможности максимально приближая значение к 1, не внося местных осцилляций. Параметр принимается равным значению градиента для контрольного объема, найденному в узле против потока. Данная схема с одной стороны как точная, так и ограниченная, поскольку она снижает точно до первого порядка только в областях с нарушенной непрерывностью. Особенностью также является то, что коэффициент для векторных величин, таких как скорость, вычисляется по отдельности для каждой составляющей вектора.

Приведенные схемы позволяют получать численные расчеты с различным порядком точности, что особенно важно при плохой сходимости задачи. Получая решение в первом приближении с использованием схемы низкого порядка точности, можно затем использовать эти расчетные в качестве начальных условий во втором приближении. Тем самым можно существенно улучшить сходимость.

3.3.3 Нелинейный учет сжимаемости

Учет сжимаемости в МКО ANSYS-CFX происходит на основе уравнения неразрывности, где составляющие массового переноса включают зависимость от плотности, которая в свою очередь определяется через давление и конвективную скорость. Для сжимаемых течений дискретизация данных составляющих выполняется по возможности неявно на каждом временном шаге с использованием линеаризации Ньютона-Рафсона (Newton-Raphson):

.

Индексы и соответственно указывают на значения, полученные на предыдущем и текущем временных шагах. Как видно из выражения, линеаризация включает новые значения и для скорости, и для плотности. Подобный подход используется для расчета течений при любых чисел Маха.

3.3.4 Система линеаризованных уравнений и ее решение

Линейные уравнения, получаемые при применении метода контрольного объема для всех элементов расчетной области, являются дискретной консервативной системой, которая может быть записана в следующем виде:

где

— неизвестное решение;

— коэффициенты при неизвестных;

— свободные члены (правая часть);

— индекс, указывающий на номер соответствующего контрольного объема или узла, для которого записывается уравнение;

— индекс, означающий «соседний» (от англ. «neighbor») номер соответствующего контрольного объема или узла, для которого записывается уравнение.

Узел может иметь различное число «соседей», что дает возможность методу быть использованным как для структурированных сеток, так и для неструктурированных. С учетом этого, для всех контрольных объемов определяется система линейных уравнений. Для скалярных выражений (например, энтальпии или кинетической энергии турбулентности) значения, и являются некоторым числом, а для полного уравнения импульса в трехмерной постановке задачи величины, и представляют собой либо матрицы, размером, либо векторами, размером, которые могут быть представлены как

.

При подобном способе вычислений полнота решения сохраняется, строки матриц преобразовываются одинаково (в отличие от использования различных алгоритмов для вычисления импульса и массы). Подобная постановка в сравнении с несвязанными (обособленными) схемами имеет несколько преимуществ: устойчивость, эффективность, обобщенность и простота, что делает решатель, построенный на таком принципе, исключительно мощным средством в отношении различных CFD схем.

В обособленных схемах изначально решается уравнение количества движения с использованием приближенного поля давления, после чего производится коррекция приближенных значений. Из-за последовательности «приближение-коррекция» при решении системы уравнений к большому количеству итераций дополнительно требуется грамотный подбор параметров релаксации для переменных.

Связанный линейный решатель обеспечивает решение уравнений (для каждой составляющей скорости и давления) одну систему. Данный подход использует полностью неявную дискретизацию уравнений для каждого временного шага. В случае стационарной постановки задачи шаг по времени ведет себя как «параметр ускорения», «приводящий» приближенное решение к стационарному. Это уменьшает число итераций, необходимых для достижения сходимости стационарного решения или для вычисления зависящих от времени переменных.

Решение каждого набора уравнений для поля переменных содержит две вычислительные операции. Для каждого временного шага:

1. Генерация коэффициентов: нелинейные уравнения линеаризуются и добавляются в матрицу решения.

2. Решение уравнений: система линейных уравнений решается при помощи (алгебраического) многосеточного метода.

Когда решение передается в решатель, внешние итерации или итерационный процесс по временным шагам контролируется по масштабу физического времени или по временному шагу для стационарных и нестационарных задач соответственно. Также для стационарного расчета на одну внешнюю итерацию приходится только одна внутренняя (линеаризация), в то время как для нестационарной задачи на одном временном шаге производится несколько внутренних итераций.

Линеаризованная система уравнений может быть переписана в общей векторной форме:

где

— матрица коэффициентов;

— вектор решения (или вектор неизвестных);

— вектор свободных членов системы.

Система может быть решена итеративно с использованием начального приближения для неизвестных, которое затем, корректируется поправкой для достижения более точного значения :

где — решение выражения

содержащего величины невязок, получаемые из

.

При повторении указанных действий решение достигает требуемого уровня точности.

Сами по себе итеративные алгоритмы, подобные ILU, понижают производительность (эффективность) с увеличением числа обрабатываемых элементов. Также наблюдается падение скорости вычислений для сеток с неудовлетворительным соотношением геометрических характеристик ячеек. Для повышения эффективности могут быть использованы многосеточные методы.

Связанный линейный решатель (Coupled Solver) пакета ANSYS CFX реализует такой подход. В нем использованы:

· Полный алгебраический многосеточный метод с суммирующей коррекцией (Coupled Algebraic Multigrid Method AMG Additive Correction).