Риски облигаций. 
Рынок ценных бумаг

При приобретении облигации инвестор принимает следующие связанные с ней риски:

• 1) процентный риск, или риск изменения процентной ставки. Из формулы (5.1) очевидно, что цена облигации и уровень процентных ставок связаны между собой обратной зависимостью: при увеличении процентных ставок цена падает и наоборот. Изменение стоимости облигации при изменении процентных ставок представляет собой процентный риск;
• 2) риск реинвестирования. Существенной частью дохода по облигации являются проценты от реинвестирования купонов. Инвестор, получающий купоны по облигации, заинтересован в том, чтобы их реинвестировать под наиболее высокий процент. Таким образом, риск реинвестирования является обратной стороной процентного риска: при снижении ставок стоимость облигаций увеличивается, а сумма процентов от реинвестирования купонов снижается;
• 3) кредитный риск, под которым понимается риск неисполнения эмитентом своих обязательств или падение стоимости ценной бумаги вследствие снижения уровня финансовой устойчивости эмитента. Об этом риске в значительной мере уже было сказано выше;
• 4) риск ликвидности — возможность быстрой продажи инструмента на рынке без существенной потери в его стоимости. Чем менее ликвидной является облигация, тем больше потеряет инвестор при ее продаже;
• 5) валютный риск — в случае приобретения облигации, выраженной в валюте, отличной от основной валюты инвестора, инвестор становится подвержен риску изменения валютных курсов, что в существенной мере может сказаться на доходности такой облигации.

Часто возникает необходимость определить, сколько рынок готов платить за принятие инвестором отдельных рисков. Для определения этой «стоимости» используется спред.

¦ Спредом называется разница между доходностями к погашению двух разных облигаций, отличающихся одной характеристикой.

Например, разница между доходностями к погашению облигаций с одинаковым кредитным качеством и разным сроком до погашения — это временной спред (term spread), отражающий дополнительную плату за предоставление денежных средств на больший срок. Разница между доходностями к погашению облигаций с одинаковым сроком и разным кредитным качеством — номинальный кредитный спред (nominal credit spread), отражает плату за принятие инвестором большего кредитного риска. Обычно кредитный спред рассчитывают относительно доходности к погашению государственных ценных бумаг.

Кредитным спредом является также Z-спред (Z-spread) — величина, которую следует добавить ко всем ставкам государственной кривой процентных ставок для того, чтобы рассчитываемая с использованием таких ставок цена облигации совпала с ее рыночной ценой. Z-спред является решением следующего уравнения:

где - процентная ставка по государственным ценным бумагам.

Таким образом, можно выделить две основные компоненты доходности к погашению облигации (или спот-ставки):

• 1) безрисковая спот-ставка (нет кредитного риска и минимальный риск ликвидности);
• 2) кредитный спред, состоящий преимущественно из премий за кредитный риск и риск ликвидности.

Однако вне зависимости от величины спредов все облигации в различной степени подвержены риску изменения процентных ставок, что сочетает в себе влияние описанных выше процентного риска и риска реинвестирования.

Дюрация и выпуклость

Для анализа процентного риска и риска реинвестирования инвестор должен иметь возможность ответить на вопрос: насколько чувствительна цена облигации к изменению процентных ставок?

Мерой чувствительности цены облигации к изменению процентных ставок служит дюрация (duration). Существует множество определений, однако все они сводятся к следующему.

¦ Дюрация показывает, на сколько процентов изменится цена облигации при изменении процентных ставок на один процентный пункт. Математически дюрация может быть представлена выражением , где ?r — изменение уровня процентных ставок.

В зависимости от того, как считается изменение цены и изменение каких ставок анализируется, выделяют следующие основные показатели дюрации:

• 1) модифицированная дюрация;
• 2) эффективная дюрация;
• 3) дюрация ключевой ставки.

Рассмотрим каждый из указанных показателей более подробно.

Одним из самых распространенных показателей является модифицированная дюрация, которая описывается следующим выражением:

(5.3).

Второй множитель в формуле (5.3) представляет собой средневзвешенный срок до погашения облигации и называется макалеевской дюрацией, рассчитываемой по следующей формуле:

(5.4).

где wi — вес приведенной стоимости денежного потока i в цене облигации.

Понятие дюрации родилось именно применительно к средневзвешенному сроку до погашения, однако к определению дюрации в качестве меры процентного риска макалеевская дюрация имеет лишь опосредованное отношение (через модифицированную дюрацию). Макалеевская дюрация чаще всего измеряется в годах. Для бескупонных облигаций макалеевская дюрация равна сроку до погашения. Для классических купонных облигаций макалеевская дюрация меньше срока до погашения.

Представление макалеевской дюрации в виде средневзвешенного срока до погашения облигации дает возможность более наглядной иллюстрации зависимости величины дюрации от параметров облигации. Денежные потоки по облигации можно представить в виде грузиков на доске, а дюрацию — в виде центра весов, на котором лежит эта доска. Положение центра весов должно быть таково, чтобы поддерживать доску в равновесии (рис. 5.5).

Представленная графическая интерпретация дюрации в виде точки равновесия позволяет определить влияние различных параметров облигации на величину макалеевской дюрации и модифицированной дюрации без использования математических выкладок. В частности, увеличение купонной ставки для уравновешивания системы потребует сдвинуть дюрацию влево, т. е. снизить ее. Увеличение частоты купонных выплат также приведет к снижению дюрации. Вместе с тем, увеличение срока до погашения облигации приведет к удлинению доски и увеличению дюрации. В принципе, зависимость величины дюрации от параметров облигации можно суммировать следующим выражением:

где С — ставка купона; у -доходность к погашению или процентная ставка; Т — срок до погашения облигации; m — частота купонных выплат.

Рис. 5.5. Графическая интерпретации дюрации Все указанные зависимости можно вывести математически путем взятия производных по соответствующим параметрам. Рекомендуется, чтобы читатель сам проделал это несложное математическое упражнение.

Пример 5.4

Рассмотрим пример расчета модифицированной и макалеевской дюраций по государственной облигации номиналом 1000 руб. и купонной ставкой 5% с выплатой купона один раз в год, до даты погашения которой осталось ровно три года. Также предположим, что кривая спот-ставок плоская, а спот-ставки равны 5%. Рассчитаем сначала модифицированную дюрацию по формуле (5.3), вычислив одновременно цену облигации:

При этом цена облигации (знаменатель второго множителя) составила 1000 руб., что неудивительно, так как купонная ставка совпадает со ставкой дисконтирования. При этом макалеевская дюрация (второй множитель) составила 2,86 года, т. е. средневзвешенный срок до погашения составил чуть меньше трех лет. Теперь допустим, что купонная ставка по облигации составляет не 5%, как ранее, а 10%. Запишем формулу расчета модифицированной дюрации в этом случае:

Макалеевская дюрация составила 2,75 года, что отражает более быстрое получение дохода инвестором. Таким образом, модифицированная и макалеевская дюрации снизились, что также соответствует приведенной выше логике рис. 5.5.

Не случайно в рассмотренном примере у модифицированной дюрации отсутствовала размерность, так как в отличие от макалеевской дюрации она представляет собой не срок, а чувствительность изменения цены облигации к изменению процентной ставки. По своей сути модифицированная дюрация — это член первого порядка в разложении функции изменения цены в ряд Тейлора:

(5.5).

Чем выше дюрация, тем выше зависимость цены от процентной ставки и тем выше подверженность процентному риску.

Если на графике зависимости цены облигации от доходности к погашению попытаться отобразить влияние модифицированной дюрации, то получим зависимость, приведенную на рис. 5.6, где тангенс угла наклона касательной (к горизонтальной оси) равен модифицированной дюрации, умноженной на цену облигации. Данную величину называют долларовой дюрацией, представляющей собой чувствительность, выраженную в деньгах (не обязательно в долларах).

Рис. 5.6. Графическая интерпретации долларовой дюрации Снижение доходности к погашению приводит к увеличению угла наклона, а значит увеличению дюрации облигации и ее подверженности процентному риску. Из рис. 5.6 также очевидно, что дюрация не очень хорошо описывает функцию цены. Причем, чем больше величина изменения ставки, тем выше разница между реальным изменением цены и расчетным изменением на основе дюрации. При снижении ставки дюрация недооценивает увеличение цены, а при увеличении ставки дюрация переоценивает снижение цены. Данная неточность заложена в самом способе вывода дюрации, так как разложение функции цены в ряд Тейлора только до члена первого порядка явно недостаточно для описания нелинейной функции. По сути дюрация предполагает незначительное изменение ставки. Для снятия данной предпосылки и уточнения расчетного изменения цены при значительных колебаниях ставки было введено понятие выпуклости, представляющей собой член второго порядка в ряде Тейлора:

(5.6).

Таким образом, выпуклость представляет собой поправку на кривизну функции цены облигации от доходности к погашению:

Величина выпуклости тем выше, чем ниже купонная ставка. Наибольшая выпуклость характерна для бескупонных облигаций. Выпуклость для облигаций, не имеющих встроенных опционов, всегда является положительной величиной. Соответственно, для инвестора наибольшая выпуклость должна являться желаемой, так как это снижает подверженность процентному риску. Однако это справедливо лишь при параллельном смещении кривой.

Пример 5.5

Проиллюстрируем использование дюрации и выпуклости на числовом примере. Предположим, что инвестор обладает облигацией, модифицированная дюрация которой равна шести, а выпуклость составляет 25. Текущая цена облигации составляет 102. Номинал облигации составляет 1000 руб. Инвестор ожидает увеличения в ближайшее время ставок на рынке на 25 базисных пунктов. Какую сумму он может потерять в случае реализации данного события? Для ответа на этот вопрос воспользуемся сначала формулой (5.5), учитывающей только дюрацию. Изменение цены облигации составит в этом случае: — 6 • 0,0025 = - 0,015 или -1,5%. Таким образом, инвестор потеряет на одной облигации: Однако этот результат не учитывает влияние выпуклости. Если рассчитать изменение цены с учетом выпуклости по формуле (5.6), то цена облигации снизится не на 1,5%, а лишь на раза или -1,484%, что эквивалентно потере инвестором на одной облигации, что незначительно меньше суммы потерь в случае учета только эффекта дюрации. Значение выпуклости невелико, но оно может значительно увеличиться при более значительном изменении процентных ставок на рынке.

Формула (5.3) остается верной только в том случае, если кривая процентных ставок является плоской и все спот-ставки равны между собой и равны доходности к погашению. Только в этом случае модифицированную дюрацию можно связать со средневзвешенным сроком до погашения и выразить через макалеевскую дюрацию.

Для устранения данной нереалистичной предпосылки о плоской форме кривой спот-ставок на практике используют дюрацию, которая может быть рассчитана по следующей формуле:

(5.7).

Соответствующее изменение может быть сделано и для формулы выпуклости:

Данные показатели также предполагают небольшой параллельный сдвиг кривой процентных ставок, но уже не предполагают плоской кривой спот-ставок. Определение дюрации в этом случае уже никаким образом не связано со средневзвешенным сроком до погашения и отражает только процентное изменение цены при параллельном сдвиге кривой спот-ставок.

Теперь рассмотрим эффективную дюрацию. Ее основное преимущество заключается в том, что она может быть определена не только для классической облигации, но и для всех финансовых инструментов. Если модифицированная дюрация предполагает отсутствие зависимости величины денежных потоков по облигации от процентной ставки, то эффективная дюрация эту предпосылку снимает, что важно для облигации со встроенными опционами. Формула эффективной дюрации основана на численном взятии производной, указанной выше в определении понятия дюрации. Эффективная дюрация и эффективная выпуклость соответственно, рассчитываются по следующим формулам:

где Р- - цена облигации при снижении всех спот-ставок на величину ?х; Р+ - цена облигации при одновременном увеличении всех спот-ставок на ?х; Р0 — текущая «грязная» цена облигации. Данное представление позволяет вычислить дюрацию и выпуклость по любому инструменту, цена которого зависит от уровня процентных ставок. В принципе, эффективную дюрацию и эффективную выпуклость можно рассчитать исходя из изменения доходности к погашению. Все зависит от того, какой эффект наиболее интересен инвестору.

Пример 5.6

Предположим, инвестор имеет в портфеле облигацию со встроенным опционом, цена которой составляет на текущий момент 100. Анализ опциона показывает, что в случае роста спот-ставок на один базисный пункт цена опустится до 99,974, а в случае падения спот-ставок на один базисный пункт цена облигации составит 100,026. Эффективная дюрация и эффективная выпуклость для такой облигации соответственно составят

На основе этих данных инвестор может рассчитать изменение стоимости облигации при различных изменениях спот-ставок, не прибегая каждый раз к модели расчета встроенного опциона. К тому же эффективная дюрация и выпуклость рассчитываются информационными системами (например, Bloomberg).

Формулы (5.5) и (5.6) для расчета изменения цены остаются верными при использовании любого типа дюрации и выпуклости, из перечисленных выше, кроме макалеевской дюрации, которая в чистом виде представляет собой срок, а не чувствительность.

Все перечисленные выше меры риска предполагают параллельное смещение кривой спот-ставок. Однако это противоречит выводам большинства эмпирических исследований, посвященных изучению поведения процентных ставок. В соответствии сданными исследованиями все исторические изменения кривой спот-ставок могут быть разложены по методу главных компонент на три составляющие (параллельный сдвиг, изменение наклона кривой и изменение вогнутости кривой). Указанные факторы объясняют от 95 до 99% всех изменений кривой. Причем наиболее весомый вклад принадлежит первой компоненте, т. е. параллельному сдвигу. В 2006 г. Ходжес и Парех рассмотрели влияние каждого из этих факторов на цену облигации и более точно определили роль дюрации и выпуклости. Они предположили следующий вид цены облигации при бесконечном начислении процентов: и выявили влияние трех указанных факторов:

1) изменение уровня процентных ставок (параллельный сдвиг):

;

2) изменение наклона (вращение кривой вокруг точки):

;

3) изменение кривизны:

Поэтому дюрация и выпуклость действительно могут являться мерами процентного риска, но адекватно объясняют лишь ту его часть, которая относится к параллельному сдвигу кривой. Причем в данном случае необходимо обратить внимание на значение выпуклости, которая является фактором, снижающим подверженность процентному риску, при параллельном сдвиге, но в то же время увеличивает его при изменении наклона кривой. Поэтому высокую выпуклость не стоит рассматривать в качестве подарка для инвестора.

Одним из способов моделирования непараллельных сдвигов кривой спот-ставок является использование концепции дюрации ключевой ставки, введенное Хо в 1992 г. Под дюрацией ключевой ставки понимается эффективная дюрация, рассчитанная исходя из изменения спот-ставок в сегменте кривой вокруг определенной временно? й ключевой точки (три месяца, шесть месяцев, один год, пять лет, 10 лет и т. д.). В результате получается чувствительность изменения цены облигации относительно изменений спот-ставок в различных сегментах кривой. Основными предпосылками являются:

• 1) независимость движения процентных ставок в разных временны? х интервалах кривой;
• 2) линейная интерполяция между точками. Предполагается, что при изменении спот-ставки в одной ключевой точке спот-ставки в соседних ключевых точках не меняются, а спот-ставки, лежащие в сегменте между данной ключевой точкой и соседними ключевыми точками, меняются прямо пропорционально (по методу линейной интерполяции) их удалению от данной ключевой точки.

Для использования метода инвестор должен разбить всю кривую спот-ставок на сегменты путем выбора ключевых точек. Увеличение количества ключевых точек повышает точность, но в то же время расширяет объем расчетов. Затем рассчитываются значения эффективной дюрации в каждой ключевой точке путем изменения спот-ставки на 1 б.п.

На рис. 5.7 представлена графическая интерпретация изменения спот-ставок.

Рис. 5.7. Метод расчета дюраций ключевых ставок В результате использования данного метода для каждой облигации и портфеля облигаций получается набор дюраций ключевых ставок (key rate duration, KRD), позволяющий инвестору моделировать любые сдвиги кривой. При этом изменение цены облигации при моделировании процентного шока составит:

Если инвестор захочет смоделировать одинаковое и одновременное изменение всех спот-ставок, что также отражено на рис. 5.7, то по сути получится параллельный сдвиг и в этом случае результат совпадет с эффективной дюрацией:

Данный подход имеет ряд недостатков:

¦ предполагается изменение ключевой ставки на незначительную величину, так как значительный шок одной из ключевых ставок наряду с линейной интерполяцией может привести к нереалистичной форме кривой спот-ставок;

¦ частота и количество расположения ключевых точек зависят от выбора инвестора, который при определении точек может пропустить какой-то важный сегмент кривой;

¦ линейная интерполяция не всегда может быть эффективным методом, особенно если ключевые точки сильно разнесены друг от друга.

Подход на основе дюраций ключевых ставок получил значительное распространение на практике благодаря своей гибкости. Более того, если задать корреляции между изменением процентных ставок при моделировании процентного шока, то с помощью данного метода можно рассчитать величину value at risk по процентному риску облигации или портфеля (концепция value at risk относится к теории управления рисками, а не только к облигациям, и поэтому не будет изложена в данной главе). Также данный метод дает возможность расчета эффективных выпуклостей в каждой из ключевых ставок, но на практике они широко не используются.

Если говорить в целом о рассмотренных выше методах дюрации и выпуклости, то, несмотря на наличие некоторых недостатков и ограничений использования, они пользуются популярностью на практике, так как позволяют линейно связать изменение цены и изменение процентной ставки. Свойство аддитивности дюрации и выпуклости по портфелю ценных бумаг также сыграло не последнюю роль в популяризации данных методов. Дюрация портфеля ценных бумаг, состоящего из N облигаций, представляет собой средневзвешенную величину дюраций этих облигаций. То же характерно и для выпуклости:

где wi — вес стоимости бумаги i в стоимости портфеля.

При этом необходимо добавить, что использовать данные формулы также надо с умом. Если сложить взвешенную дюрацию облигации в евро со взвешенной дюрацией облигации в долларах США, то полученная величина вряд ли будет отражать чувствительность портфеля из двух облигаций к процентной ставке, так как ставки процента или факторы процентного риска в данном случае будут разными для двух облигаций. Поэтому свойство аддитивности характерно только для дюраций и выпуклостей облигаций, имеющих одинаковый фактор процентного риска. Если данное правило применить к дюрациям ключевых ставок, то складывать между собой можно только дюрации облигаций относительно одной и той же ключевой ставки, так как разные ключевые ставки представляют собой разные факторы процентного риска.

Инвестор при приобретении облигации обязательно должен проанализировать, каким образом данное приобретение отразиться на дюрации его портфеля в целом. У инвестора может наблюдаться желание каким-то образом снизить подверженность его портфеля процентному риску, чтобы непредвиденные колебания процентных ставок оказывали минимальное влияние на его стоимость, или наоборот — повысить подверженность процентному риску, рассчитывая в будущем на снижение процентных ставок и повышение цен облигаций.

Пример 5.7

Пенсионный фонд в соответствии с внутренними правилами может иметь портфель с дюрацией от 10 до 15. В настоящее время портфель на 100% состоит из государственных облигаций с дюрацией 14, а его стоимость составляет 1 млрд долл. Менеджер фонда считает, что в перспективе ближайшего года ставки на рынке будут повышаться, что приведет к снижению стоимости портфеля. Поэтому он заинтересован в снижении дюрации портфеля. Каким образом следует изменить структуру портфеля, если помимо государственных облигаций с дюрацией 14 фонд также может инвестировать в краткосрочные трехмесячные облигации с дюрацией 0,25?

Дюрация портфеля может быть снижена посредством продажи части облигаций с высокой дюрацией и приобретения облигаций с низкой дюрацией. Минимально возможная дюрация фонда составляет 10. Для решения задачи следует выписать уравнение дюрации портфеля с новой структурой:

где w1 — доля облигаций с высокой дюрацией в портфеле.

Так как портфель будет состоять всего из двух типов облигаций, то сумма их долей равна единице. При решении данного уравнения относительно w1 получим, что доля долгосрочных облигаций в портфеле должна составлять 70,91%, а доля краткосрочных — 29,09%. Это означает, что долгосрочные облигации должны быть проданы на сумму 290,9 млн долл, и на такую же сумму приобретены краткосрочные облигации.

Таким образом, инвестор может выбирать желаемый уровень дюрации портфеля, исходя из своих взглядов на дальнейшее движение кривой процентных ставок.

Приведенные в данной главе методы анализа облигаций позволяют инвестору выявить на рынке недооцененные и переоцененные бумаги, оценить их рисковую структуру, а также рассчитать влияние приобретения данных бумаг на рисковую структуру портфеля инвестора. Вместе с тем необходимо понимать, что при анализе облигаций на рынке речь идет не столько об оценке их стоимости и структуры, сколько об оценки их факторов риска и кривой процентных ставок, что собственно и определяет их цену на рынке.