Математическое моделирование в географии

Внедрение системной парадигмы в географию в 1960;х гг. способствовало широкому распространению методов моделирования при изучении территориальных систем. Термин «модель» используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. В широком смысле под моделью понимается абстрактное описание (образец) того или иного явления реального мира, позволяющее делать предсказания относительно этого явления. В логике под моделью понимается такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об исследуемом объекте. В соответствии с данным определением моделирование представляет собой процесс построения, изучения и применения моделей.

Процесс моделирования включает три элемента: 1) субъект (исследователь), 2) объект исследования, 3) модель, опосредствующую отношения познающего субъекта и познаваемого объекта. Этап построения модели предполагает наличие некоторых знаний об объекте-оригинале. Познавательные возможности модели обусловливаются тем, что она отражает какие-либо существенные черты объекта-оригинала. Вопрос о необходимости и достаточной мере сходства оригинала и модели требует конкретного анализа. Очевидно, модель утрачивает свой смысл как в случае тождества с оригиналом (тогда она перестает быть оригиналом), так и в случае чрезмерного во всех существенных отношениях отличия от оригинала.

Математико-географическое моделирование — это метод формализации географических представлений на основе создания логико-математических конструкций, отражающих количественные отношения реальных географических объектов.

Модели в географии выполняют разнообразные функции: 1) психологическую (возможность изучения тех объектов и явлений, которые чрезвычайно трудно исследовать иными методами); 2) собирательную (определение необходимой информации, ее сбор и систематизация); 3) логическую (выявление и объяснение механизма развития конкретного явления); 4) систематизирующую (рассмотрение действительности как совокупности взаимосвязанных систем); 5) конструктивную (создание теорий и познание законов); 6) познавательную (содействие в распространении научных идей).

Множественность определения моделей и их функций приводит к появлению большого количества подходов к их классификации и типологии. По форме представления информации модели делятся на материальные и идеальные. Материальные модели (субстратно подобные, геометрические, аналоговые, изоморфные) традиционны в географии. Это различные карты и макеты, воспроизводящие природные и социально-экономические объекты. Идеальные модели в зависимости от степени формализации делятся на неформализированные (концептуальные), частично формализированные и вполне формализированные (математические и информационные). Концептуальные модели составляют фундамент любой науки. В географии наибольшее значение имеют такие концептуальные модели, как теория зональности, учение о биосфере В. И. Вернадского, концепция геосистемы В. Б. Сочавы и др. В частично формализованных моделях формализация информации осуществляется с помощью графических средств, рекомендаций, нормативных актов и т. п. Полностью формализованные модели отличаются высокой степенью абстракции и использованием богатейшего аппарата прикладной математики.

Различают также описательные модели, которые описывают реальные объекты с помощью определенной терминологии, и нормативные, которые используются для прогнозирования развития систем. Если описательные модели направлены на исследование структур равновесия, их называют статическими, если же упор делается на изучение процессов формирования и развития систем, модели являются динамическими. Рассмотрение явлений в различные временны? е моменты проводится в рамках исторических моделей. Если модель выполняет функцию упорядочения и систематизации информации, она называется классификационной (таксономической).

В зависимости от соотношений, используемых в моделях, они делятся на детерминистические и стохастические. Первые позволяют полностью предсказать развитие моделируемой системы во времени и пространстве, основываясь на известных условиях и соотношениях. Стохастические (вероятностные) модели, напротив, основаны на случайных величинах. Они используются для обобщения событий, которые детерминированы различными факторами, а также для описания событий, на которые влияют случайные условия.

В соответствии с общей классификацией математических моделей они подразделяются на функциональные и структурные, а также включают промежуточные формы (структурно-функциональные). В исследованиях на макроуровне чаще применяются структурные модели, поскольку для планирования и управления большое значение имеют взаимосвязи подсистем. Типичными структурными моделями являются модели межотраслевых связей. Функциональные модели широко применяются в решении задач управления, когда на поведение объекта (выход) воздействуют путем изменения входа. Один и тот же объект может описываться одновременно и структурной, и функциональной моделью.

Различают модели дескриптивные и нормативные. Первые объясняют наблюдаемые факты или дают вероятный прогноз, вторые — предполагают целенаправленную деятельность. По форме математических зависимостей различают линейные и нелинейные модели. Класс линейных моделей наиболее удобен для анализа и вычислений, вследствие этого линейные модели получили большое распространение. Различия между линейными и нелинейными моделями существенны не только с математической точки зрения, но и в теоретико-географическом отношении, поскольку многие зависимости в природе и экономике носят принципиально нелинейный характер. По соотношению экзогенных и эндогенных переменных, включаемых в модель, они могут разделяться на открытые и закрытые. Полностью открытых моделей не существует; модель должна содержать хотя бы одну эндогенную переменную. Подавляющее большинство экономико-математических моделей занимает промежуточное положение и различается по степени открытости (закрытости). В зависимости от того, включают ли математико-географические модели пространственные факторы и условия или не включают, различают модели пространственные (континуальные) и точечные (дискретные).

В середине XX в. под влиянием успехов научно-технического прогресса в географию активно проникают математические методы исследования, что получило название «количественная революция». Проникновение математических методов в географию было связано с тем, что традиционные способы исследования уже не могли обеспечить решение важнейших задач географии. «Математизации» географии способствовало и появление новых технических приемов прикладной математики, которые развивались в соответствии с потребностями частных наук, в том числе и географии, а также применение ЭВМ, позволившее существенно сократить время на обработку огромных объемов информации. В то же время проникновение математики в географию было связано с преодолением значительных трудностей, что отчасти обусловлено особенностью самой математики, которая развивалась на протяжении многих столетий в основном в связи с потребностями физики и техники, хотя и в малой степени учитывались потребности географической науки и специфика изучаемых ею объектов и процессов. Объект изучения географии — территориальные природные и социально-экономические системы, которые с точки зрения кибернетики относятся к сложным системам. Важным свойством любых систем, в том числе территориальных, как отмечалось выше, является эмерджентность, т. е. наличие таких качеств, которые не присущи ни одному из элементов, входящих в систему. Поэтому для понимания особенностей функционирования этих систем недостаточно рассмотрения только отдельных элементов.

Сложность территориальных систем рассматривалась как обоснование невозможности их моделирования, изучения средствами математики. Однако моделировать можно объект любой природы и любой сложности. И как раз сложные объекты представляют наибольший интерес для моделирования; именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими способами исследования. Потенциальная возможность математического моделирования любых географических объектов и процессов не означает успешного осуществления исследования, результаты зависят от уровня развития географических и математических знаний, от имеющейся конкретной информации и вычислительной техники. Кроме того, всегда останутся проблемы, которые не поддаются формализации, и в этом случае математическое моделирование недостаточно эффективно.

Длительное время главной трудностью практического применения математического моделирования в географии было наполнение разработанных моделей конкретной и качественной информацией. Точность и полнота первичной информации, реальные возможности ее сбора и обработки во многом определяют выбор типов прикладных моделей. В то же время исследования по моделированию территориальных систем выдвигают новые требования к системе информации. В зависимости от моделируемых объектов и назначения моделей используемая в них исходная информация имеет существенно различный характер и происхождение. Она может быть разделена на две категории: 1) о прошлом развитии и современном состоянии объектов; 2) о будущем развитии объектов, включая данные об ожидаемых изменениях их внутренних параметров и внешних условий (прогнозы). Вторая категория информации является результатом самостоятельных исследований, которые могут выполняться также посредством моделирования. Для многих географических процессов выявление закономерностей возможно только на основе достаточно большого количества наблюдений.

Другая проблема порождается динамичностью географических процессов, изменчивостью их параметров и структурных отношений, которые должны постоянно находиться под наблюдением, обеспечивающим устойчивый поток обновляемых данных. Поскольку наблюдения за географическими процессами и обработка эмпирических данных обычно занимают довольно много времени, то при построении математических моделей экономики требуется корректировать исходную информацию с учетом ее запаздывания.

Познание количественных отношений географических процессов и явлений опирается на соответствующие измерения. Точность измерений в значительной степени предопределяет и точность конечных результатов количественного анализа посредством моделирования. Поэтому необходимым условием эффективного использования математического моделирования является совершенствование системы географических показателей. Применение математического моделирования заострило проблему измерений и количественных сопоставлений различных аспектов и явлений социально-экономического развития, достоверности и полноты получаемых данных, их защиты от намеренных и технических искажений.

Математические модели географических процессов и явлений называют математико-географическими. Для классификации этих моделей используются разные основания. По целевому назначению математико-географические модели делятся на теоретико-аналитические, используемые в исследованиях общих свойств и закономерностей географических процессов, и прикладные, применяемые в решении конкретных задач (модели пространственного анализа, прогнозирования, управления).

Математико-географические модели могут предназначаться для исследования разных сторон народного хозяйства (в частности, его производственно-технологической, социальной, территориальной структур) и его отдельных частей. При классификации моделей по исследуемым процессам и содержательной проблематике можно выделить модели народного хозяйства в целом и его подсистем, отраслей, регионов и т. д., комплексы моделей производства, потребления, формирования и распределения доходов, трудовых ресурсов и пр. Схема, отражающая этапы математического моделирования географических объектов, представлена на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Схема математического моделирования географического объекта (по А. М. Трофимову).

На первом подготовительном этапе моделирования ставится цель и определяются задачи исследования. Этот этап включает выделение важнейших черт и свойств моделируемого объекта и абстрагирование от второстепенных; изучение структуры объекта и основных зависимостей, связывающих его элементы; формулирование гипотез (хотя бы предварительных), объясняющих поведение и развитие объекта. Второй этап включает согласование задач исследования, установление логической последовательности их решения и подготовку исходной информации. Моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации. В то же время реальные возможности получения информации ограничивают выбор моделей, предназначаемых для практического использования. При этом принимается во внимание не только принципиальная возможность подготовки информации (за определенные сроки), но и затраты на подготовку соответствующих информационных массивов. Эти затраты не должны превышать эффект от использования дополнительной информации. В процессе подготовки информации применяются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики.

На третьем этапе осуществляется построение математической модели. Это этап формализации географической проблемы, выражения ее в виде конкретных математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств и т. д.). Обычно сначала определяется основная конструкция (тип) математической модели, а затем уточняются детали этой конструкции (конкретный перечень переменных и параметров, форма связей).

Построение модели имеет несколько стадий. Неправильно полагать, что чем больше фактов учитывает модель, тем она лучше работает и дает лучшие результаты. То же можно сказать о таких характеристиках сложности модели, как используемые формы математических зависимостей (линейные и нелинейные), учет факторов случайности и неопределенности и т. д. Излишняя сложность и громоздкость модели затрудняют процесс исследования. Нужно учитывать не только реальные возможности информационного и математического обеспечения, но и сопоставлять затраты на моделирование с получаемым эффектом (при возрастании сложности модели затраты могут превысить результат).

После построения модели выясняются ее общие свойства. Здесь применяются чисто математические приемы исследования. Наиболее важный момент — доказательство существования решений в сформулированной модели (теорема существования). Если удастся доказать, что математическая задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по первоначальному варианту модели отпадает; следует скорректировать либо постановку экономической задачи, либо способы ее математической формализации. Решение задачи включает разработку алгоритмов для численного решения задачи, составления программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов. Трудности этого этапа обусловлены прежде всего большой размерностью географических задач, необходимостью обработки значительных массивов информации. Обычно расчеты по математико-географической модели носят многовариантный характер. Благодаря высокой эффективности современных ЭВМ удается проводить многочисленные «модельные» эксперименты, изучая поведение модели при различных изменениях некоторых условий. Исследование, проводимое численными методами, может существенно дополнить результаты аналитического исследования, а для многих моделей оно является единственно осуществимым. Класс географических задач, которые можно решать численными методами, значительно шире, чем класс задач, доступных аналитическому исследованию.

На заключительном этапе (анализ результатов) встает вопрос об адекватности полученных данных реальному объекту и о степени их практической применимости. Математические методы проверки могут выявлять некорректные построения модели и тем самым сужать класс потенциально правильных моделей. Неформальный анализ теоретических выводов и численных результатов, получаемых посредством модели, сопоставление их с имеющимися данными также позволяют обнаруживать недостатки постановки социально-экономической задачи, сконструированной математической модели, ее информационного и математического обеспечения.

Большой интерес для анализа населения и хозяйства представляют диффузионные модели. Первым географом, разработавшим модель пространственной диффузии нововведений, был Хагерстранд. Он исследовал восприятие различных сельскохозяйственных (агротехнических) нововведений в центральной Швеции и показал, как они распространяются по территории. Хагерстранд выделил четыре стадии диффузии: 1) первоначальную, которая характеризуется резким контрастом между источником нововведений и периферийными районами; 2) вторую стадию, когда образуются новые быстро развивающиеся центры в отдаленных районах, откуда распространяются нововведения; 3) стадию конденсации, на которой происходит одинаковое распространение нововведений во всех местах; 4) стадию насыщения, характеризующуюся медленным подъемом до максимума.

Одним из наиболее перспективных методов моделирования территориальных систем является имитационное моделирование. По словам известного в этой области ученого Р. Шеннона, «идея имитационного моделирования проста и интуитивно привлекательна, позволяет экспериментировать с системами, когда на реальном объекте этого сделать нельзя». В основе этого метода — теория вычислительных систем, статистика, теория вероятностей, математика.

Имитационное моделирование представляет собой формализацию эмпирических знаний о рассматриваемом объекте с использованием современных ЭВМ. Все имитационные модели построены по типу «черного ящика», т. е. сама система (ее элементы, структура) представлена в виде входа в него, который описывается экзогенными переменными (возникает вне системы, под воздействием внешних причин), и выхода (описывается выходными переменными), который характеризует результат действия системы.

Имитационные эксперименты состоят из многократных расчетов по заданной модели при изменении входных параметров и предполагают целенаправленный поиск оптимальных решений, в частности касающихся рациональности взаимодействия природных и хозяйственных территориальных систем. Использование этих моделей позволяет качественно и количественно оценить варианты функционирования геосистем при различных уровнях антропогенного воздействия с учетом естественной способности к самоочищению и самовосстановлению.

В имитационном исследовании большое значение имеет этап оценки модели, который включает в себя следующие шаги: 1) верификация модели (модель ведет себя так, как это было задумано исследователем); 2) оценка адекватности (проверка соответствия модели реальной системе); 3) проблемный анализ (формирование статистически значимых выводов на основе данных, полученных в результате экспериментов с моделью).

Большой интерес представляет концепция системной динамики в имитационном моделировании, разработанная одним из крупнейших специалистов в теории управления профессором Дж. Форрестером. Его первая книга в этой области «Основы кибернетики предприятия» (1961) вызвала огромный интерес мировой науки к этому методу. Начало глобальному моделированию положил другой труд Форрестера — «Мировая динамика» (1970), в котором он рассматривает мир как единое целое, как единую систему различных взаимодействующих процессов: демографических, промышленных, исчерпания природных ресурсов и загрязнения окружающей среды, производства продуктов питания. Расчеты показали, что при сохранении современных тенденций развития общества неизбежен серьезный кризис во взаимодействии человека и окружающей среды, он объясняется противоречием между ограниченностью природных ресурсов, конечностью пригодных для сельскохозяйственной обработки площадей и все растущими темпами потребления увеличивающегося населения. Рост промышленного и сельскохозяйственного производства приводит к быстрому загрязнению окружающей среды, истощению природных ресурсов, упадку производства и повышению смертности. На основании анализа этих результатов делается вывод о необходимости стабилизации промышленного роста и материального потребления.