Передаточные функции линейных систем автоматического регулирования и их элементов. 
Структурные схемы

Преобразование Лапласа-Карсона. Передаточная функция

Преобразованием Лапласа называется преобразование функции /(/) переменной t в другую функцию Ф (.у) переменной s при помощи интегралов:

где /(/) — оригинал функции; Ф ($) — изображение функции по Лапласу; X — символ взятия по Лапласу; s — лапласова переменная (оператор Лапласа).

Преобразование Карсона представляется формулой:

где F (s) — изображение по Карсону; L — символ взятия преобразования по Карсону.

Связь изображения с оригиналом может быть записана в другой форме:

Ф (я) ч- /(/) — берется изображение по Лапласу;

F (s) = /(/) — берется изображение по Карсону.

Пример. Пусть оригинал /(/) представляет ступенчатую функцию высотой U (рис. 1.13): /(/) = СЧ (/), где 1 (/) — единичная функция. Изображение такой функции по Лапласу и Карсону:

Рис. ИЗ. Ступенчатая функция

Изображения некоторых функций (без вывода):

• экспоненциальная функция f (t) = e ^а :

• тригонометрические функции:

Изображение линейного дифференциального уравнения Дифференциальное уравнение может быть записано в следующем виде:

где х — выходная величина системы; / - входное воздействие; при этом п > т, т. с. п определяет порядок всего дифференциального уравнения.

Это же дифференциальное уравнение (1.46) в операторной форме запишется:

где

Полиномы D{p) и К (р) называются операторами левой и правой частей дифференциального уравнения.

Обозначим L[x (t)] = X (s), L[f (t)] = F (s), найдем изображение от левой и правой части и приравняем их. При нулевых начальных условиях (для конкретности решения дифференциального уравнения), т. е. при *о = *о' ⁼ V' =…= О, /₀= U = /о" =•.= О изображение дифференциального уравнения запишется:

Изображение выходной величины: и.

называется собственной передаточной функцией системы. В соответствии с этим можно дать два определения:

• 1) передаточная функция системы есть отношение оператора правой части дифференциального уравнения к оператору левой части дифференциального уравнения, если вместо оператора р в эти операторы подставить s;
• 2) передаточная функция системы есть отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях.

В качестве примера рассмотрим передаточную функцию ЭМУ поперечного поля fV_3My(s). В дифференциальном уравнении ЭМУ (1.41).

при замене р на s получим:

Собственная передаточная функция определяется только структурой системы. При 5 = 0 tV (0) = — = К, т. е. передаточная функция ста;

^ан

новится равной коэффициенту передачи системы.

Часто система находится под действием нескольких независимых возмущений, приложенных в различных местах, тогда уравнение ее приводится к виду:

Соответственно изображение *(/) при нулевых начальных условиях будет представлено:

В этом случае система характеризуется не одной, а несколькими собственными передаточными функциями: W₂(s) ит. д.

Полином D (s) всех передаточных функций постоянен. Этот полином степени п от переменной s называется характеристическим полиномом системы.

При D (s) = 0 имеем характеристическое уравнение системы: