Использование программы Mathematica в учебном процессе

Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Татарский государственный гуманитарно-педагогический университет»

Институт повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования Факультет физико-математического образования Кафедра вычислительной математики и информатики Выпускная квалификационная работа слушателя курсов профессиональной переподготовки по специальности «Информатика»

Использование программы Mathematica в учебном процессе Альмеевой Гульсины Минвалиевны Казань — 2011

Содержание Введение

Глава I. Общая характеристика программы «Mathematica»

1.1 Интерфейс

1.2 Численные методы

1.3 Графика и звук

1.4 Программирование

1.5 Стандартные дополнения Глава II. Освоение среды пакета Mathematica

2.1 Решение примеров с помощью программы Mathematica

2.2 Графические функции

2.3 Календарно-тематический план по информатике для 10 класса Заключение Список литературы Приложение

Введение

Универсальные математические пакеты предоставляют новые широкие возможности для совершенствования образования на всех, без исключения, его этапах от целенаправленного обучения и образования до комплексной подготовки обучаемого к профессиональной деятельности и самореализации. Велика роль пакетов прикладных программ в образовании, в том числе, при изучении математики. Облегчая решение сложных задач, они снимают психологический барьер в изучении математики и делают этот процесс интересным и более простым. При грамотном применении их в учебном процессе пакеты обеспечивают повышение уровня фундаментальности математического образования. Математические программы дают возможность реализовать стандартными средствами важнейшие с дидактической точки зрения принципы «От простого к сложному» и «Максимальная наглядность и удобство работы». Эти принципы развивают и формируют у учащихся навыки самостоятельной познавательной деятельности, необходимые при дальнейшем обучении в вузе. Использование математических программ дает возможность учащимся применять для решения текущей образовательной задачи различные способы, схематическое описание которых можно дать следующим образом:

1-стандартное решение задачи (использование программы в качестве своеобразного «сверхмощного калькулятора» для выполнения расчетов по алгоритмам, предложенным преподавателем);

2-углублённое решение задачи (стандартное решение задачи, сопровождающееся самостоятельным анализом и разработкой алгоритма решения задачи);

3- углубленное изучение сущности исследуемых закономерностей (углубленное решение задачи, сопровождающееся «виртуальными экспериментами»).

Реализация принципа «Наглядность и удобство» в определённой мере также обеспечивается стандартными возможностями, предоставляемыми большинством математических пакетов. При этом следует заметить, что общим недостатком этих пакетов является ограниченная возможность визуализации процесса решения.

При выборе того или иного программного средства для использования его в своей работе преподаватель неизбежно встаёт перед необходимостью предпочтения того или иного из них. Особое место среди систем компьютерной математики занимает «Mathematica» — признанный мировой лидер в области программного обеспечения математических исследований за совершенство технологии.

Пакет задуман и выполнен с целью максимального упрощения для пользователя компьютерной реализации математических алгоритмов и методов. Это упрощение достигается тем, что приемы программирования не являются чем-то специфическим и внешним по отношению к традиционным методам решения математических задач, а совершенно однородны с обычным математическим творчеством. Огромное преимущество системы Mathematica состоит в том, что множество ее операторов и способы записи алгоритмов просты и естественны. Как правило, здесь не надо особенным образом заранее объявлять тип переменных, не надо специально распределять память для хранения той или иной информации. По простоте работы Mathematica превосходит Basic. Это происходит за счет укрупнения команд, которое делает написание программ в Mathematica более коротким и удобным. Это значит, что научиться работать в системе Mathematica довольно просто. Во многих видах вычислений система Mathematica является мировым рекордсменом по скорости вычислений и объему обрабатываемой информации.

Система Mathematica имеет одной из своих главных целей именно обучение (студентов, школьников и др.) Целью разработчиков программы Mathematica было создание универсальной математической системы, которая представляет собой базу данных по всем существующим математическим понятиям, методам, доказательствам, решениям и алгоритмам, максимально упрощает компьютерную реализацию математических алгоритмов и методов, которая умеет для каждой конкретной задачи выбрать оптимальный метод решения, аналитический или численный и функционирует на любой вычислительной платформе. Таким образом, появляется возможность решать различные математические задачи, обращаясь к одной и той же системе. При этом отпадает необходимость в поиске и освоении новых программ. Если в будущем большинство специалистов, исходя из универсальности Mathematica, будут в основном применять именно эту систему, а высшие учебные заведения и школы — преподавать математику на ее основе, то очень скоро появится универсальный язык современной математики и программирования, что будет способствовать взаимопониманию специалистов.

Система успешно применяется в физике, химии, экономике, социологии, биологии, искусствоведении и других областях, вследствие чего приходит осознание того, что хотя математика имеет свой предмет исследования, наибольшую ценность она представляет в приложении к другим наукам. Сотни тысяч профессионалов и студентов регулярно используют Mathematica. В настоящее время сферы использования Mathematica условно можно разделить на следующие категории:

Разработка и конструирование 32% Физические дисциплины 21% Математические дисциплины 16% Вычислительная техника 13% Бизнес/общественные науки 6% Практические науки 5% Образование 7%

Система Mathematica — одна из самых мощных компьютерных систем, над усовершенствованием системы, наряду с головной фирмой работает ряд других фирм и сотни специалистов высокой квалификации. Процесс обновления Mathematica очень быстр. Mathematica была впервые выпущена 23 июня 1988 года и незамедлительно получила высочайшую оценку как научных и технических кругов. В 1991 году фирма Wolfram Research представила вторую версию Mathematica, включающую в себя усовершенствованный язык программирования, компилятор и возможность использования готовых звуковых схем. Третья версия, выпущенная в 1996 году, представила Mathematica как пакет с новым, простым в использовании интерфейсом с кнопками и палитрами. Mathematica 4 (1999 год) предлагает намного ускоренные численные вычисления, расширенное взаимодействие с другими программными продуктами, и множество улучшений в пользовательском интерфейсе, что облегчает программирование и техническую публикацию. Пятая версия Mathematica появилась в 2005, а в 2007 году появилась Mathematica 6, а в 2009 году — Mathematica 7. Все последующие версии Mathematica имеет высокую степень совмещения с предыдущими версиями; все основные документы Mathematica можно открывать без каких-либо изменений. На самом деле, Mathematica 6 позволяет работать практически с любой программой для Mathematica, написанной с момента выпуска первой версии. Использование компьютерной системы Mathematica обеспечивает целостную подготовку специалистов всевозможных уровней, умеющих использовать достижения математики и вычислительной техники, а в области образования — владеющих современными информационными технологиями. Mathematica удовлетворяет всем техническим и эстетическим требованиям, предъявляемым к программному средству педагогического назначения, создаваемые на ее основе новые педагогические технологии обеспечивают развитие творческой активности обучаемых и вводят методические инновации в процесс учебной деятельности. В результате приобретенных в процессе обучения математических знаний у учащегося появляется то, что обычно называют математической культурой.

Mathematica открывает обучающимся доступ к нетрадиционным источникам информации, повышает эффективность самостоятельной работы, предоставляет новые возможности для творчества, приобретения и закрепления различных профессиональных навыков, позволяют реализовать новые формы и методы обучения с применением средств компьютерного моделирования явлений и процессов.

Mathematica ориентирована на развитие интеллектуального потенциала обучаемого, на формирование умений самостоятельно приобретать знания. Таким образом, компьютерная система «Mathematica» является инструментом познания, она даёт возможность визуализации сложных объектов, их конструирования и моделирования, исследования их свойств и отношений; способствует развитию творческих способностей, нестандартного мышления, навыков исследовательской деятельности обучаемого.

Mathematica ориентирована на пользователя, не являющегося профессионалом в области программирования, а имеющего только начальную подготовку по основам информатики и вычислительной техники. Пользователь, обладающий хотя бы минимальным опытом работы с операционной системой Windows (или другой, подходящей для Mathematica) и её стандартными приложениями, будет легко ориентироваться в главном меню, тем более что всегда есть возможность обращения к справочному разделу Help системы, который содержит все необходимые сведения по её эксплуатации. Справочная база системы вмещает в себя объем информации, эквивалентной десяткам толстых справочников и при этом отличается очень быстрым поиском нужной информации по ряду критериев. Справочные данные сопровождаются «живыми» примерами, которые можно изменять в ходе просмотра. Принцип открытости системы позволяет расширять ее далее, приспосабливая к конкретным исследовательским и педагогическим задачам. Систему Mathematica можно применять на целом ряде операционных системWindows 95, Windows NT, Macintoch, Power Macintoch, SunOS, Solaris, HP-UX, SGI, Linux и др. Это позволяет пользоваться системой самым различным категориям пользователей и распределять решение математических задач любой сложности по оптимальным для этого компьютерным платформам. Пользователь может вводить в употребление новые функции, конструируя их на базе имеющихся функций системы. Более того, можно создавать свои пакеты, подобно уже имеющимся в стандартных дополнениях. Это позволяет готовить высококачественные и наглядные уроки не только по любым разделам математики, но и по многим дисциплинам, базирующимся на применении математического аппарата.

Для работы с Mathematica необходимы общие навыки для работы с компьютером — использование мыши и т. п. — вот и всё, что нужно, чтобы использовать Mathematica как интерактивный калькулятор. Если цели более серьёзны, как, например, решение систем линейных уравнений, то требуется изучить только вид основных команд. Если же задачи ещё более сложные — например, теория графов, — то необходимо будет разобраться с теми аспектами системы, которые другие пользователи могут безбоязненно опустить. Пользовательский интерфейс и язык Mathematica был тщательно сконструирован так, чтобы позволить легко и быстро в нём разобраться, вне зависимости от уровня математических знаний.

Использование системы «Mathematica» в процессе обучения должно быть целесообразным, и, во всяком случае, не должно являться самоцелью. Применение системы полезно там, где оно наилучшим образом реализует функции педагогического воздействия, в том числе, по сравнению с другими средствами обучения (учебниками, техническими средствами обучения, и т. д.). Вся мощь системы Mathematica может быть эффективно использована только тогда, когда обучающемуся привиты навыки «ручных» символьных преобразований: алгебраических, тригонометрических, векторных и других. Если учащиеся понимают алгоритмы «ручных» вычислений, владеют навыками классических методов математических преобразований и вычислений, и когда скорость и точность выполнения громоздких вычислений начинают серьёзно влиять на понимание процессов решения задач более высокого уровня сложности, тогда Mathematica просто неоценима. И главное — использование системы Mathematica окажет более интенсивное влияние на развитие творческого мышления учащихся.

Система Mathematica позволяет осуществлять широкий спектр символьных преобразований, включающих операции математического анализа, такие как дифференцирование, интегрирование, разложение в ряды, решение дифференциальных уравнений и другие. Для визуализации математических объектов система Mathematica имеет развитую двуи трехмерную графику. Возможности применения различных численных методов, комбинирования символьных, графических и численных вычислений превращают эту систему в чрезвычайно мощный и удобный инструмент математических исследований.

Сегодня Mathematica используется в различных областях науки — математике, физике, биологии, социологии, экономике и других.

В технике Mathematica стала стандартным инструментом для развития и совершенствования производства, и уже сейчас немало новой современной продукции по всему миру в той или иной мере выпущено благодаря использованию Mathematica, конструированию дизайна в ней.

В коммерческой области Mathematica играет большую роль в развитии финансового моделирования, а также используется в генеральном планировании и анализе.

Технология использования системы Mathematica в качестве символьного, численного, графического калькулятора и языка программирования высокого уровня описано в справочных руководствах С. Вольфрама, В. П. Дьяконова, Е. Г. Давыдова, Т. В. Капустиной, В. А. Муравьевой, Д. К. Бурланкова и др.

В работе Т. В. Капустиной система Mathematica рассматривается как средство обучения применительно к курсу дифференциальной геометрии в педагогических вузах, В работе С. А. Дьяченко рассматривается вопрос использования системы Mathematica в вузах естественно-технического профиля.

Математические пакеты — инструмент учебной деятельности. Использование инструментальных программ упрощает подготовку отчетов по лабораторным работам, помогает преодолеть технические математические трудности при обработке результатов эксперимента, помогает представить результаты измерений и вычислений в наглядной графической форме.

Курс алгебры и начал математического анализа является важной составляющей содержания школьного математического образования, в котором в настоящее время происходят существенные изменения, а именно: появление новых образовательных стандартов, новой содержательной линии, переход к профильному обучению, информатизация образования и др.

В содержание курса алгебры и начал математического анализа включены важные на современном этапе развития математического образования разделы «Числовые и буквенные выражения», «Тригонометрия», «Функции», «Начала математического анализа», «Уравнения и неравенства», «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» .

Внедрение этой компьютерной системы в процесс обучения алгебре и началам математического анализа позволит значительно уменьшить время решения задач с громоздкими вычислениями и преобразованиями или проверить решение этих задач. Специфика функционирования СКМ «Mathematica» позволяет предположить, что ее использование позволит повысить эффективность обучения школьников алгебре и началам математического анализа на профильном уровне. Более того, применение компьютерных систем в перспективе может способствовать постепенному переходу к решению нестандартных задач творческого характера и приближению школьной математики к вузовской, а вузовской — к современной. Однако обоснование этих утверждений требует детального педагогического исследования.

Актуальность выбранной темы заключается в том, что использование методической системы обучения школьников математике на основе пакета СКМ Mathematica, способствует развитию познавательной активности учащихся, становлению критического и аналитического мышления, развитию креативности и интеграции математических знаний.

Основной целью выпускной квалификационной работы является разработка методики применения, обучения и внедрения СКМ Mathematica при изучении математики и физики в школе.

Задачи исследования:

1. изучить методы работы с СКМ Mathematica.

2. разработка теоретического материала, направленного на активизацию познавательных навыков учащихся;

3. разработка практических и лабораторных заданий для освоения материала по теме.

Структура и объем работы.

Выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы, приложения.

В первой главе «Общая характеристика программы Mathematica» приведены исторические сведения, определения, физические характеристики. Структура первой главы отражает рекомендации по методике обучения работе с программой Mathematica. В этой главе имеются модульная структура, как по теоретической, так и по практической составляющей. Эту главу можно использовать при разработке учебного материала к урокам.

Во второй главе «Освоение среды пакета Mathematica» мною разработаны решения примеров из различных разделов математики с помощью СКМ Mathematica, разработан календарно-тематический план по Информатике для 10 класса.

В заключении даны основные выводы по проведенному исследованию.

Список цитируемой литературы по теме выпускной квалификационной работы состоит из 10 источников.

В выпускной квалификационной работе предоставлено разработанное мною приложение. Оно содержит следующие пункты: «Примеры заданий к элективному курсу по СКМ Mathematica», «Лабораторный практикум по построению графиков», «Разработки решения примеров по разделам высшей математики» .

Преподаватель, опираясь на предлагаемую методику обучения, может достаточно просто модифицировать ее с учетом своих возможностей и реализовать ее на практике.

Методика применения СКМ ориентирована на индивидуализацию обучения и интенсификацию учебного процесса.

Глава I. Общая характеристика программы «Mathematica»

1.1 Интерфейс

Программа состоит из двух частей — ядра, которое, собственно, и производит вычисления, выполняя заданные команды, и интерфейсного процессора, который определяет внешнее оформление и характер взаимодействия с пользователем и системой. Основной рабочий документ программы — тетрадь, в которой пользователь записывает все выкладки. Вид рабочей тетради на экране монитора зависит от интерфейсного процессора, реализация которого для разных платформ несколько отличается. В пакет Mathematica встроено подробное описание (Help). Чтобы в него попасть, нажмите F1 или войдите через меню Help/Documentation Center.

После запуска программы на экране появляется несколько независимых окон. Вдоль верхней части экрана расположено меню. Слева — рабочее окно. Можно открыть много рабочих окон, выполнив в меню команду File/New/Notebook (.nb). Как видно из названия команды, рабочее окно называется Notebook.

Если в рабочее окно ввести произвольный символ, то этот символ отобразится в окне, а справа появится вертикальная скобка, ограничивающая текущее рабочее поле. При дальнейшем вводе новые символы будут также отображаться в рабочем поле. Если произойдет переход на следующую строку, правая скобка расширится. Эта скобка указывает на независимую область, в которой можно расположить команды языка Mathematica и одновременно их выполнить. Область, ограниченная скобкой, называется клеткой (Cell). Если стать на последней строке клетки и нажать на стрелочку вниз, или же стать на первой строке клетки и нажать на стрелочку вверх, то курсор превратится в горизонтальную линию, расположенную рядом с клеткой. Если опять ввести символ, то появится новая клетка, в которую также можно вводить текст. Кроме того, переходить от клетки к клетки, а также позиционировать курсор между клетками можно с помощью мышки.

Список использованных возможностей пакета MATHEMATICA.

Пользовательский интерфейс программы Mathematica сначала кажется несколько примитивным: инструментальная панель — это просто строка меню, а отдельное окно документа выглядит как бы подвешенным. Кроме того, на инструментальной панели отсутствуют кнопки для выполнения часто повторяемых операций, которые были в предыдущей версии.

Однако впечатление примитивности интерфейса сразу же исчезает, когда выясняется, что можно подключать настраиваемые кнопочные палитры, которых в программе имеется больше десятка. С их помощью можно выполнять различные функции, а часть кнопок соответствует специальным символам. Всего в программе более 700 математических, языковых и других символов. При нажатии на кнопки с символом последний переносится в рабочий документ на указанное курсором место. Другие кнопки палитры соответствуют наименованиям ряда функций программы, которые при выборе вводятся в командную строку. При нажатии кнопки алгебраических преобразований предварительно выделенное алгебраическое выражение трансформируется в соответствии с названием выбранной команды, например упрощается командой simplify.

Программа позволяет применять различные стили для оформления документа на экране и вывода его на печать, причем в новой версии стилей может быть значительно больше, чем в предыдущей. Для их изменения предусмотрена специальная палитра.

Программа дает возможность отображать математические символы с достаточно высоким полиграфическим качеством в тексте на экране, в командах, а также при выводе на печать. Увеличено количество опций. Возможно создание гипертекстовых связей.

Рабочую тетрадь можно сохранять в HTML-формате, а также в формате полиграфического языка LaTex и некоторых других.

Усовершенствована и расширена система подсказок, имеется интерактивный доступ к полному тексту электронной версии документации, которая состоит из инструкции пользователя, справочника по стандартным дополнениям, учебника для начинающих и демонстрационных файлов.

Меню окна справки очень хорошо продумано, что позволяет получить информацию различными путями. Можно получить справку по интересующей теме или функции, а также просмотреть текст всех документов, содержащих введенное ключевое слово.

Умение проводить аналитические расчеты — одно из главных достоинств этой программы, автоматизирующей математические расчеты. Mathematica умеет преобразовывать и упрощать алгебраические выражения, дифференцировать и вычислять определенные и неопределенные интегралы, вычислять конечные и бесконечные суммы и произведения, решать алгебраические и дифференциальные уравнения и системы, а также разлагать функции в ряды и находить пределы. Кроме того, Mathematica имеет стандартные дополнения для аналитических расчетов, которые будут рассмотрены ниже.

Следует заметить, что возможности каждой новой версии программы качественно возрастают. В версии 3.0 программы команда упрощения алгебраических выражений Simplify дополнена значительно более мощной командой FullSimplify, которая позволяет обрабатывать математические выражения, включающие специальные функции.

Расширен спектр математических выражений, для которых аналитически находятся неопределенные и определенные интегралы. Появилась также возможность задавать область изменения параметров в подынтегральных выражениях, что позволяет интегрировать многие выражения, которые в общем случае не имеют первообразной. Значительно возросло число различных (конечных и бесконечных) сумм и произведений, вычисляемых аналитически, а также аналитически решаемых обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных .

Из числа других улучшений можно выделить повышение скорости решения задач линейной алгебры.

1.2 Численные методы

Для тех задач, которые невозможно решить аналитически, Mathematica предлагает большое количество эффективных алгоритмов для проведения численных расчетов. Она позволяет находить конечные и бесконечные суммы и произведения, вычислять интегралы, решать алгебраические и дифференциальные уравнения и системы, задачи оптимизации (линейного программирования, нахождения экстремумов функций), а также задачи математической статистики.

При численном решении математических задач наряду с правильностью алгоритмов расчета особую роль играет точность вычислений. В Mathematica 3.0 реализован адаптивный контроль точности, основанный на выборе внутренних алгоритмов, позволяющих ее максимизировать. В этой версии программы повышена эффективность одно и многомерной интерполяции, оптимизированы алгоритмы численного решения дифференциальных уравнений Добавлены многократное численное интегрирование, а также численное дифференцирование. Оптимизированы алгоритмы нахождения экстремумов. Осуществлен независимый от конкретной компьютерной платформы механизм ввода и вывода числовых данных без потери точности.

Мathematica 3.0 позволяет включать в расчеты все известные элементарные функции, а также сотни специальных встроенных функций .

Разумеется, пользователь программы может вводить и свои функции как для применения в течение одного сеанса работы так и для постоянного использования.

1.3 Графика и звук

Mathematica позволяет строить двух и трехмерные графики различных типов: в виде точек и линии на плоскости, поверхностей, а также контурные, градиентные (dencity plot), параметрические. Имеется большое количество опций оформления и настройки, например изменение подсветки, цвета, размеров и точки наблюдения. Mathematica выполняет построение графика в три этапа. На первом создается множество графических примитивов, на втором они преобразуются в независимое от вычислительной платформы описание на языке PostScript, а на третьем это описание переводится в графический формат для той системы, на которой установлена Mathematiса. Если первые два этапа осуществляет ядро программы, то последний — интерфейсный процессор. Mathematica позволяет также строить серии картинок, которые могут быть воспроизведены как анимация.

Программа содержит функции, позволяющие создавать и воспроизводить различные звуки, а также воспринимает и может анализировать некоторые типы стандартных звуковых файлов.

После выполнения команды в рабочей тетради появляется картинка, представляющая собой график синусоид, входящих в аргумент команды, а звуковой файл (так же как и файл анимации) запоминается в документе. Это позволяет сразу после открытия документа воспроизвести их без повторного вычисления. В новой версии 3.0 программы заметно улучшено текстовое оформление графиков. Теперь заголовки и текст меток на графиках могут быть представлены с достаточно высоким полиграфическим качеством (правильное изображение математических символов). Возможно также включение в сам график форматированных текстовых строк. Ячейки рабочего документа теперь автоматически конвертируются в EPS, TIFF, GIF и другие графические форматы.

1.4 Программирование

Входной язык Mathematica содержит большое количество конструкций, позволяющих для каждой конкретной задачи выбрать оптимальный метод программирования. Помимо обычного процедурного программирования с применением условных переходов и операторов цикла, имеется еще несколько методов:

* основанный на операциях со списками, этот метод использует особенности универсального объекта программы — списка выражений, с которыми можно производить математические операции, как с алгебраическими выражениями, при этом заданные операции выполняются всеми элементами списка,

* основанный на операциях над строками (string-based),

* функционального программирования (functional programming), позволяющий создавать сложные функции и последовательности вложенных функций;

* на базе правил преобразования выражений (rule-based);

* объектно-ориентированный (object-oriented) .

В каждой конкретной программе пользователь может одновременно применять несколько методов или даже все перечисленные.

1.5 Стандартные дополнения

Mathematica 3.0 содержит 11 стандартных дополнений, включающих подпрограммы (пакеты), значительно расширяющие функциональные возможности в таких областях, как алгебра, аналитические и численные расчеты, графика, дискретная математика, теория чисел и статистика. Стандартные дополнения могут загружаться по мере надобности. Для загрузки пакета используется соответствующее название, включающее имя дополнения и имя пакета из данного дополнения. Рассмотрим подробнее стандартные дополнения.

Алгебра.

В это дополнение входят пакеты, позволяющие задавать различные алгебраические поля и оперировать в них, а также несколько пакетов, расширяющих функциональность программы при оперировании с полиномами и нахождении их корней. В новой версии оно пополнилось пакетами для решения некоторых типов алгебраических неравенств и симметричных полиномов и, кроме того, добавлена Гамильтонова алгебра кватернионов и элементы полей Пигуа.

Вычисления.

Это дополнение содержит пакеты, позволяющие расширять возможности программы при вычислении интегралов, нахождении пределов, решении дифференциальных уравнений и задач линейной алгебры в различных системах координат, а также включает команды преобразования Фурье и Лапласа, обобщенные функции, вариационные методы. В новой версии оно пополнилось пакетом для нахождения полных интегралов и дифференциальных инвариантов нелинейных уравнений в частных производных.

Дискретная математика.

Дополнение предлагает примерно 200 функций для проведения исследований в области комбинаторики и теории графов; вычислительную геометрию, которая содержит несколько геометрических функций для непараметрического анализа данных; пакеты для оперирования с функциями от целых чисел, в частности для решения рекуррентных уравнений, выполнения преобразований.

Графика.

Дополнение включает 21 пакет. Оно значительно расширяет возможности программы при построении графиков и анимаций. Введены новые типы: логарифмические графики, графики тел вращения, полярные, контурные, матричные графики, трехмерные параметрические, двухи трехмерные графики векторных полей, графики неявнозаданных функций и др. Появилась возможность отображать ортогональные проекции трехмерных графических объектов на координатные плоскости. Добавлены также функции для графического представления комплексных функций.

Геометрия.

Геометрическое дополнение содержит пакеты, включающие функции для задания параметров правильных многоугольников и многогранников, а также функции, обеспечивающие вращение на плоскости и в пространстве.

Линейная алгебра.

В это дополнение входят функции для создания ортогональных векторных базисов, решения матричных уравнений, разложения матриц и выполнения других операций с матрицами. Оно включает пакеты Cholcsky, GaussianElimmatlon, MatrixManipulation, Orthogonalizaltion, Tridiagonal.

Теория чисел.

Функции, относящиеся к теории чисел, широко представлены в ядре программы Mathematica, например PrimePi, EulerPhi, MoebiusMu и DivisorSigma. Дополнение теории чисел расширяет этот список функций. В нее включены пакеты для доказательства простоты чисел, разложения целых чисел на множители. Имеются функции для аппроксимации действительных чисел рациональными и полиномов с действительными корнями полиномами с целыми коэффициентами. Пользуясь дополнениями, можно найти разложение действительного числа в бесконечную дробь или произвольное разложение действительного числа разбить на непериодическую и периодическую части.

Поддерживаются также такие функции теории чисел, как Ramujan и Siegel.

В новой версии появились возможности для нахождения базисных элементов для произвольных алгебраических расширений рациональных чисел.

Приближенные вычисления.

Это дополнение расширяет список встроенных функций программы Mathematica для приближенных численных расчетов. Оно содержит средства подгонки функциями (полиномом, сплайнами, тригонометрическими), численные версии некоторых аналитических функций ядра (ND, NLiunit, NResldue, NSencs), функции численного интегрирования (CauchyPrincipalValue, Listintegrate, IntegrateInterpolationFunction), аппроксимации отношением полиномов, поддержки численного решения дифференциальных уравнений (BesscIZeros, Butcher, Order-Star), а также альтернативный способ нахождения корней (FindRout) с использованием методов интервалов или интерполяции. В последнюю версию введены пакеты для численного нахождения вычетов и разложений комплексных функций.

Статистика.

Это дополнение включает методы статистической обработки данных. В нем содержатся функции известных непрерывных и дискретных статистических распределений. В новую версию добавлены пакеты подгонки и сглаживания данных, классической и робастной описательной статистики, линейной и нелинейной регрессии с диагностикой.

Утилиты и разное.

Дополнение «утилиты» содержит команды для контроля времени вычислений, оптимизации использования памяти и др. К «разному» относятся те функции, которые трудно классифицировать, в частности функции, расширяющие аудиовозможности системы, — модуляция звуковых волн и музыкальные гаммы. В «разное» входят также календарные данные, физические постоянные, единицы измерения физических величин, свойства химических элементов и, кроме того, различные географические данные и даже функции для построения географических карт. Пакеты и отдельные функции из них могут загружаться по мере необходимости. Если же какой-либо пакет часто используется, то его можно инициализировать при загрузке ядра программы. В новой версии доступна полная документация по стандартным дополнениям в интерактивном режиме.

Профессиональные приложения.

Для программы Mathematica помимо стандартных дополнений разработано большое количество профессиональных приложений — пакетов расширяющих возможности программы в специальных областях. Библиотека приложений в настоящее время содержит 23 различных пакета, из которых 18 разработано корпорацией, а остальные — другими разработчиками. Причем эта библиотека очень быстро пополняется.

Перечислим только некоторые из профессиональных приложений, демонстрирующих их разнообразие: Structural Mechanics, Experimental Data Analyst, Time Series, Finance Essentials, Fuzzy logic и т. д.

Глава II. Освоение среды пакета Mathematica

2.1 Решение примеров с помощью программы Mathematica

На примерах применения нескольких функций Mathematica покажем, каким доступным и удобным для пользователя является этот программный продукт.

Пример 1. Выполним пробное упражнение: вычислить сумму 59+73.

Напечатаем с помощью клавиатуры 59+73, затем нажмем Shift+Enter (или Insert); загрузится ядро, и на экране появится ответ 132. Одновременно строка ввода и вывода будут помечены, и все это будет выглядеть так:

In[1]: =59+73 (Inобозначает ввод)

Out[1]=132(Outвывод)

[1]-номер нашего обращения к системе.

Нумерация вводов и выводов позволяет удобно использовать полученные результаты в дальнейших расчётах.

Пример2. Найти значение

In[2]: =N[Sqrt[17]]

Out[2]=4.12 311

Sqrtупотребляемое в Mathematica обозначение квадратного корня. N сообщает программе Mathematica, что нам нужен числовой результат; по умолчанию Mathematica даёт его с шестью значащими цифрами.

In[3]: =N[Sqrt[17], 16]

Out[3]=4.123 105 625 617 661

Отличие программы Mathematica от обычного калькулятора в том, что она может дать ответ с любым количеством десятичных знаков. Здесь вычислен с 16 десятичными знаками.

Пример 3. Вычислить произведение 47*629.

In[4]: =47 629

Out[4]=29 563

Вместо умножения Mathematica использует пробел или *.

Пример 4. Вычислить

In[4]: =571³

Out[4]=186 169 411

Знак возведения в степень в программе Mathematicaэто ^.

Пример 5. Разложить на простые множители число 333 718.

In[5]: =FactorInteger[333 718]

Out[5]={{2,1},{7,1},{11,2},{197,1}}

В каждой из пар, стоящих в фигурных скобках, на первом месте указан простой множитель, а на втором — показатель степени, в которой этот множитель входит в разложение. В данном примере ответ в обычной записи будет выглядеть так:

2*7**197

Пример 6. Решить уравнение -5−10x+8=0

In[6]: =Solve[x³−5x²−10x+8==0,x]

Out[6]={{x->-2},{x->(7-}, {x->(7+}}

Solveоператор, служащий для решения алгебраических уравнений и систем уравнений. В выводной строке даётся список корней уравнения.

Пример 7. Найти интеграл

In[7]: =x²/(x-1)^5

Out[7]=

В строке In[8] записан вид подынтегрального выражения, принятый в Mathematica.

In[8]: =Integrate[%, x]

Эта команда обозначает: проинтегрировать предыдущую функцию (%-означает «предыдущее выражение»)

Out[10]=

В выводной строке содержится выражение неопределенного интеграла; постоянная интегрирования не ставится, но подразумевается.

Способность иметь дело с символьными формулами, а не только с числовыми выражениями, является одной из наиболее сильных черт программы Mathematica. Появляется возможность использовать эту программу при занятиях математикой, дифференциальным и интегральным исчислением.

Mathematica делает многие алгебраические преобразования: раскрывает скобки в алгебраических выражениях, разлагает на множители, упрощает выражения, решает рациональные уравнения или системы уравнений. Она также может получать алгебраические результаты для многих видов матричных операций.

Пример 8. In[11]: =7²⁵

Out[11]: =1 341 068 619 663 964 897 280

Система Mathematica дает точный результат, представленный в стандартном виде.

N[%]

1,34 106

Имеющаяся функция N используется для получения приближенного результата. % ставится вместо выражения введённого в предыдущей входной ячейке.

%//N

1,34 106

Это другая форма применения функции N; она равноценна предыдущей.

N[7²⁵, 15]

1,34 106 861 966 396

Числовой результат можно получить с любой степенью точности. В этом примере вычислено с разрядностью 15 знаков.

Пример 9. Factor Integer [2 350 806 750]

{{2,1},{3,2},{5,3},{17,1},{41,1},{1499,1}}

Число2 350 806 750 разложено на простые множители; ответ .

Если нужно вычислить несколько арифметических выражений по шаблону, то удобно использовать СПИСКИ. Список можно задать с клавиатуры, печатая его элементы в фигурных скобках через запятую.

Пример 10. In[11]: =({3,4,5}+{2,1,8})*{7,2,4}

Out={35,10,52}

В этом примере вычислены такие выражения: (3+2)*7; (4+1)*2 и (5+8)*4.

Mathematica содержит очень обширный набор математических функций.

Аргументы всех функций в программе Mathematica заключаются в квадратные скобки. Наименования встроенных функций в программе Mathematica начинаются с заглавных букв.

Круглые скобки используют для того чтобы указать группировку членов в выражениях.

Пример 11.

In[12]: = Log[3,6561]

Out[12]=8

Найдено значение 6561=8

Пример 12.

In[13]: = N[Log[2Pi], 30]

Out[13]=1.83 787 706 640 934 550 697 377 005 568

Вычислено приближенное значение ln (2р) с точностью до 30 десятичных знаков.

Пример 13.

t=(x+1)^4-x⁴−2 x-1

— 1−2x;

Несмотря на то, что мы нажали Shift+Enter, Mathematica не стала выполнять никаких математических действий, а лишь переставила члены, чтобы выражение приняло стандартный для выходных ячеек вид.

Чтобы преобразовать выражение, содержащие переменные. Необходимо использовать специальные функции Mathematica.

Expand[t]

2x+6

С помощью функции Expand раскрыты скобки в выражении t, одновременно приведены подобные члены.

Factor[%]

2x (1+x)(1+2x)

Предыдущее выражение разложено на множители при помощи функции Factor.

В программе Mathematica предлагается альтернативная технология использования функций преобразования математических выражений. Мы можем не набирать функцию Mathematica вручную с клавиатуры, а вместо этого сделать следующее.

Подключите кнопочную палитру ALGEBRAICMANIPULATION. Затем, набрав выражение, выделите ячейку, в которой оно находится, щелкнув левой кнопкой мыши по квадратной скобке этой ячейки (скобка окрашивается в желтый цвет).Выделив ячейку. нажмите на кнопку с нужной функцией на палитре. Выделенное выражение исчезает, а вместо него появляется преобразованное выражение.

Пример 14

p=12 y²+6xy-6xz-12yz+30y-30z

30y+6xy+12−30z-6xz-12yz

FactorTerms[p]

6(5y+xy+2−5z-xz-2yz)

FactorTerms[p, x]

6(5+x+2y)(y-z)

В многочлене вынесен множитель не зависящий от x.

Collect[p, y]

12+y (30+6x-12z)-30z-6xz

Многочлен представлен как сумма степеней переменного y, т. е. сгруппированы члены с одной и то же степенью y.

Collect[p,{y, z}]

12+y (30+6 x-12 z)+(-30−6 x) z

Сначала перечислены слагаемые, содержащие различные степени у, а затем оставшиеся слагаемые сгруппированы по степеням z.

Эти функции имеют довольно много модификаций; с ними можно ознакомиться используя Help.

Пример 15.

q=Expand[(1+x-2y)^3+(1-z) (1+x+2y)^3]

Задан многочлен q, причем в развернутом виде.

PolynominalQ[q, x]

False

Проведен тест: является ли q многочленом относительно х?

Ответ: нет.

PolynominalQ[q,{x, y, z}]

True

Проведен тест: является ли q многочленом от x, y, z? Ответ: да (истина)

Variables[q]

{x, y, z}

Дан список всех переменных многочлена q.

Length[q]

Определено число всех многочленов q.

Exponents[q, x]

Определена наивысшая степень переменной х в многочлене q.

Coefficient[q, x y²]

24−12z

Выписан множитель при в многочлене q.

Пример 16.

программа mathematica интерфейс информатика

f=x⁶+2yx⁴−4x³−3x²+8x-5

— 5+8x-3

g=x³+x²-x+1

1-x+

Введены многочлены f и g.

PolynominalQuotient[f, g, x]

— 8-±2y+x (2+2y)

Найдено частное от деления f на g.

PolynominalRemainder[f, g, x]

3+x (-2−4y)+2y+(8+4y)

Найден остаток от деления f на g.

С помощью Mathematica можно производить преобразования рациональных выражений.

Пример 17.

p=(x+y)^2/(x-y)+8x³/(x+y)^2+(1−2y)^2

Введено рациональное выражение р.

ExpandNumerator[p]

1−4y+4

Раскрыты скобки в числителях всех дробей (в том числе и у целой части).

ExpandDenominator[р]

+ +

Раскрыты скобки в знаменателях дробей.

Expand[p]

1+

Раскрыты скобки в числителях, причём числители почленно поделены на знаменатели.

ExpandAll[p]

1+

Сделано то же, что в предыдущем примере, но раскрыты скобки в знаменателях.

Пример 18.

In[19]: =Sqrt[-25]

Out[19]=5 I

Извлечение квадратного корня из отрицательного числа дает чисто мнимое число. В данном случае = 5i .

Пример19.

In[22]: =Solve[2x³−3x²+6x+4==0,x]

Out[22]={{x —>-},{x—>},{x—>}}

Решено кубическое уравнение; его точные корни даны в виде списка правил подстановок.

Функция Solve служит для решения уравнений и систем уравнений.

Пример 20.

In[23]: =Solve[Abs[2-x]-Abs[5−2x]==0,x]

Out[23]={{x->-3},{x->}}

Решено уравнение |2-x|-|5 -2x|=0, содержащее неизвестное под знаком модуля.

Пример 21.

In[24]: =Solve[{2 x-y-z==4,3 x +4 y-2 z==11,3 x-2 y +4 z==11},{x, y, z}}

Out[24]={{x—>3},{y—>1},{z—>1}}

С помощью функции Solve решена система уравнений:

Для решения систем линейных уравнений существует специальная функция LinearSolve[m, b], где m-матрица коэффициентов при неизвестных в левой части системы, а b-список элементов столбца свободных членов в правой части.

m={{2,-1,-1},{3,4,-2},{3,-2,4}}

{{2,-1,-1},{3,4,-2},{3,-2,4}}

введена матрица коэффициентов при неизвестных.

b={4,11,11} - введён столбец свободных членов.

LinearSolve[m, b]

{3,1,1} -получено решение системы.

Вычисление пределов, дифференцирование и интегрирование функций.

Для вычисления пределов последовательностей и функций служит функция Limit .

Limit[expr, x—>]

Пример 22.

In[25]: = Limit[(3 x⁴−2)/Sqrt[x⁸+3 x+4], x—>Infinity]

Out[25]=3.

В этом примере взят предел =3

Операции дифференцирования осуществляют две функции: D (частного дифференцирования) и Dt (полного дифференцирования), имеющие несколько различных форматов кодирования.

Пример 23.

In[26]: =D[Sqrt[x], x]

Out[26]= 1/.

Найдена производная .

Пример 24.

In[27]: = Dt[x^2Cos[x],{x, 3}]

Out[27]=-6 x Cos[x]-6 Sin[x]+Sin[x]

Вычислена третья производная функции cos x.

Пример 25.

In[28]: =

Out[28]= ;

Вычислен неопределенный интеграл

Наряду с этим способом набора входной ячейки можно применить функцию Integrate (символьное интегрирование) и NIntegrate (численное интегрирование).

Списки являются эффективным средством работы с выражениями Mathematica в процессе численных и символьных вычислений, также они необходимы для овладения языком программирования высокого уровня.

Список (List) является выражением Mathematica, имеющим вид

List[или {

Где элементами могут быть любые выражения Mathematica, в том числе и списки. Примерами списков являются матрицы.

Существуют четыре функции, порождающие списки: List, Range, Table, Array.

Пример 26.

In[29]: =Range[5]

Out[29]={1, 2, 3, 4, 5}- получен список первых пяти натуральных чисел.

In[30]: =Table[a,{5}]

Out[30]={a, a, a, a, a} -задан список пяти одинаковых элементов а.

In[31]: =Table[2^i, {I, 6}]

Out[31]={2, 4, 8, 16, 32, 64}-задан список первых шести натуральных степеней числа 2.

Арифметические операции над списками — покомпонентные Пример 27.

In[32]: = {1,2,3}+{x, y, z}

Out[32]={1+x, 2+y, 3+z}

In[33]: = {1,2,3}x}

Out[33]={x, 2x, 3x}

In[34]: = {1,2,3}{x, y, z}

Out[34]={x, 2y, 3z}

Пример 28.

In[35]: ={1,2,3} * {x, y, z}

Out[35}=x+2y+3z

In[36]: = {{a, b},{c, d}}* {x, y}

Out[36]={ax+by, cx+dy}

Список {{a, b}, {c, d}} представляет собой матрицу и может быть визуализирован в привычной форме с использованием палетки (Palette): чтобы вывести список в матричной форме, можно использовать команду MatrixForm

2.2 Графические функции Графика, как важнейшее средство визуализации вычислений, всегда была козырной картой системы Mathematica и во многом способствовала ее высокой репутации как мирового лидера среди систем компьютерной математики. Обширные графические возможности достигаются при небольшом числе встроенных функций графики за счет их модификации с помощью опций и директив. Благодаря этому Mathematica позволяет строить практически любые виды графиков. Для просмотра и изменения опций графика можно (выделив ячейку с графиком) воспользоваться описанным ранее инспектором опций, в котором есть соответствующий раздел. Однако в этом уроке мы инспектором опций пользоваться не будем — все необходимые опции будут вводиться в соответствующие функции так, как это принято делать при программировании задач графики.

Двумерная графика Графическая функция Plot

Концептуально графики в системе Mathematica являются графическими объектами, которые создаются (возвращаются) соответствующими графическими функциями. Их немного, около десятка, и они охватывают построение практически всех типов математических графиков. Как уже отмечалось, достигается это за счет применения опций и директив.

Поскольку графики являются объектами, то они могут быть значениями переменных. Поэтому Mathematica допускает следующие конструкции:

· Plot[Sin[x],{x, 0,20}] — построение графика синусоиды;

· g:=Plot [Sin [x], {х, 0, 20} ] — задание объекта — графика синусоиды — с отложенным выводом;

· g=Plot [Sin [x], {х, 0, 20} ] — задание объекта — графика синусоиды — с немедленным выводом.

Начнем рассмотрение графических возможностей системы с построения простейших графиков функций одной переменной вида у =f (x) или просто f (x). График таких функций строится на плоскости, то есть в двумерном пространстве. При этом используется прямоугольная (декартова) система координат. График представляет собой геометрическое положение точек (х, у) при изменении независимой переменной (абсциссы) в заданных пределах.

Для построения двумерных графиков функций вида f (x) используется встроенная в ядро функция Plot:

· Plot [f, {x, xmin, xmax}] — возвращает объект, представляющий собой график функции f аргумента х в интервале от xmin до xmax;

· Plot[{f1, f2,…}, {x, xmin, xmax}]— возвращает объект в виде графиков ряда функций fi.

Функция Plot используется для построения одной или нескольких линий, дающих графическое представление для указанных функций f, f1, f2 и т. д. На рис. 2.1 показано построение графика функции sin (x)/x без использования каких-либо опций (точнее, с набором опций по умолчанию).

Рис. 2.1. Построение двумерного графика Тут виден как раз тот случай, когда масштаб графика по вертикали выбран системой неудачно — часть графика сверху просто отсекается. В большинстве же случаев применение функции Plot позволяет получить вполне «удобоваримый» график.

Опции функции Plot

По мере усложнения задач, решаемых пользователем, его рано или поздно перестанут устраивать графики, получаемые при автоматическом выборе их стиля и иных параметров. Для точной настройки графиков Mathematica использует специальные опции графических функций Для вывода их списка надо использовать команду Options [Plot].

Опции внутри. графических функций задаются своим именем name и значением value в виде name -> value

Наиболее распространённые символьные значения опций:

· Automatic — используется автоматический выбор;

· None — опция не используется;

· All — используется в любом случае;

· True — используется;

· False — не используется.

Многие опции могут иметь числовые значения. В сомнительных случаях рекомендуется уточнять форму записи опций и их значений по оперативной справочной системе. Рассмотрим примеры применения опций двумерной графики. Мы уже отметили неудачный выбор масштаба в случае, представленном на рис. 2.1. Очевидно, этот недостаток графика легко исправить, введя коррекцию масштаба по оси у. Это и сделано в примере, показанном на рис. 2.2. Для изменения масштаба использована опция PlotRange->{ -.25,1.2}. Нетрудно догадаться, что эта опция задает пределы отображения графика по вертикали от -0.25 до 1.2.

Рис. 2.2. График функции sin (x)/x с масштабом, дающим его отображение в полном виде.