Исследование динамической модели сгорания топлива в дизельном двигателе

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королева (национальный исследовательский университет)»

Факультет информатики Кафедра технической кибернетики Выпускная квалификационная работа специалиста на тему Исследование динамической модели сгорания топлива в дизельном двигателе Выпускник Калимуллов А.А.

Руководитель работы Соболев В.А.

Нормоконтролёр Суханов С.В.

САМАРА 2013

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королева (национальный исследовательский университет)»

Факультет информатики Кафедра технической кибернетики

«УТВЕРЖДАЮ»

Заведующий кафедрой

____________________________

«___"_______________ 20____ г.

ЗАДАНИЕ НА ВЫПУСКНУЮ КВАЛИФИКАЦИОННУЮ РАБОТУ СПЕЦИАЛИСТА студенту 6507 группы Калимуллову Асхату Анвяровичу

1. Тема работы Исследование динамической модели сгорания топлива в дизельном двигателе утверждена приказом по университету от 19 марта 2013 г. № 113-ст.

2. Исходные данные к работе:

Динамическая модель процесса горения топлива в дизельном двигателе.

3. Перечень вопросов, подлежащих разработке:

3.1. Изучение материала о регулярных и сингулярных возмущениях;

3.2. Выбор корректного метода анализа исследуемой модели;

3.3. Исследование динамической модели процесса горения топлива в дизельном двигателе;

3.4. Численное решение задачи, построение фазовых портретов и графиков зависимостей, анализ получившихся результатов.

Срок представления законченной работы «___» __________ 20___ г.

Руководитель работы Соболев В.А.

(подпись) Задание принял к исполнению «___» __________ 20___ г.

Калимуллов А.А.

(подпись)

РЕФЕРАТ Выпускная квалификационная работа специалиста: 33 c., 2 рисунка, 5 источников, 1 приложение.

Презентация: 10 слайдов Microsoft PowerPoint.

НЕЛИПШИЦЕВЫ НЕЛИНЕЙНОСТИ, ТЕОРЕМА ТИХОНОВА, СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ СИСТЕМЫ, РЕДУКЦИЯ, ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ.

Объектом исследования является динамическая модель сгорания топлива в дизельном двигателе, основанная на законе Аррениуса.

Цель работы — изучение имеющихся публикаций, в которых исследуется модель горения топлива и проведение исследования модели на основе модификации метода интегральных многообразий.

Построена редукционная модель горения и проведен сравнительный анализ результатов аналитических и численных исследований.

Численное моделирование системы, а также построение фазовых портретов модели были произведены с использованием математического пакета Wolfram Mathematica.

• ВВЕДЕНИЕ
• 1. Сведения из теории сингулярно возмущенных систем
• 1.1 Интегральные многообразия сингулярно возмущенных систем
• 1.2 Теоремы существования и единственности рения задачи Коши
• 1.3 Теорема Тихонова
• 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
• 2.1 Модель воспламенения в дизельном двигателе
• 2.2 Редукция системы
• 2.4 Процесс испарения
• 2.5 Процесс горения
• 3 Интерпретация результатов
• ЗАКЛЮЧЕНИЕ
• СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
• ПРИЛОЖЕНИЕ, А Текст программы

В дипломной работе проведен анализ динамической модели горения топлива в дизельном двигателе. Сама модель представляет собой сингулярно возмущенную систему дифференциальных уравнений, является стандартной и достаточно часто встречается в различных источниках. Главной особенностью рассматриваемой системы является наличие нелинейностей в правой части, которые не удовлетворяют условию Липшица.

В последние годы появились статьи, посвященные исследованию моделей химической кинетики с нелипшицевыми нелинейностями. В одной из статей к модели дизельного двигателя применяется метод интегральных многообразий, который, к сожалению, не работает, т.к. не выполняются условия теоремы существования. Поэтому для исследования нашей задачи был найден другой, корректный метод.

В настоящей работе объясняется возможность редукции модели исследования. Для этого используется теорема Тихонова о предельном переходе в сингулярно возмущенных системах.

Работа состоит из двух глав, приложения и списка использованных источников. В первой главе приводятся необходимые сведения из теории сингулярных возмущений. Вводятся понятия интегрального многообразия, его устойчивости, приводятся необходимые теоремы. Во второй главе проводится численный анализ математической модели горения. Производится разбиение процесса на две взаимосвязанные фазы. Результаты, полученные аналитически, сравниваются с численным исследованием системы. Работа проиллюстрирована графиками, показывающими состояние модели при различных начальных условиях, свойственных моделируемому процессу. Для построения графиков и получения численных результатов использовался математический пакет Wolfram Mathematica.

1. Сведения из теории сингулярно возмущенных систем

1.1 Интегральные многообразия сингулярно возмущенных систем

В этой главе вводятся основные понятия и теоремы из теории сингулярно возмущенных систем.

Определение 1. Сингулярно возмущенными называются системы дифференциальных уравнений, содержащие малый параметр при части производных, вида

(1.1)

(1.2)

где малый параметр , — медленная переменная, а — быстрая переменная, т.к. скорости их изменения пропорциональны O (1) и O (1/е) соответственно, и непрерывные функции, а точкой обозначается дифференцирование по независимой переменной. Систему уравнений (1.1) будем называть медленной подсистемой, систему уравнений (1.2) — быстрой подсистемой.

Сингулярно возмущенные системы широко используются для моделирования процессов различной природы, т.к. в любом реальном процессе есть разномасштабные переменные.

Определение 2. Гладкая поверхность в называется интегральным многообразием системы, если для любой точки траектория, такая что

целиком принадлежит для всех .

Если

только на конечном интервале, то поверхность называют локальным интегральным многообразием.

Для автономной системы

интегральное многообразие имеет вид, где — поверхность в фазовом пространстве. Поэтому естественно рассматривать для автономных систем интегральное многообразие как поверхность. В этом случае вместо термина интегральное многообразие часто используется термин «инвариантное многообразие» .

Простейшим примером интегрального многообразия является фазовая траектория системы.

Определение 3. Интегральное многообразие системы (1.1)-(1.2) устойчиво, если существует :

и с начальными условиями

имеет представление

где? решение уравнения

а функции, удовлетворяют условию:

.

Если же это соотношение имеет место при, то интегральное многообразие является неустойчивым.

Положив в (1.1), (1.2), получим систему

(1.3)

(1.4)

которая называется вырожденной.

Поверхность, задаваемая уравнением (1.4), называется медленной поверхностью.

Если в некоторой точке медленной поверхности выполняется условие

то в окрестности этой точки существует вектор-функция

,

являющаяся решением уравнения (1.4).

Пересечение с поверхностью

является поверхностью (кривой, точкой), размерность которой на единицу меньше размерности. При этом делит поверхность на так называемые листы медленной поверхности. На листе медленной поверхности выполняются все условия теоремы о неявной функции, следовательно, лист медленной поверхности может быть представлен графиком однозначно определенной вектор-функции

.

Границы листов — это либо части, либо пересечения медленной поверхности с границей области, в которой изучается система (1.1), (1.2). Медленная поверхность может иметь несколько листов, задаваемых различными функциями

области определения которых могут пересекаться (этому случаю соответствуют складки медленной поверхности и самопересечение медленной поверхности). Среди интегральных многообразий системы (1.1), (1.2) особый интерес представляют многообразия размерности медленной переменной, которые описываются уравнением

.

Предполагается, что функция достаточно гладко зависит от и удовлетворяет условию

где? функция, задающая лист медленной поверхности.

Такие многообразия называются интегральными многообразиями медленных движений.

Интегральное многообразие медленных движений можно представить как поверхность, лежащую в окрестности медленной поверхности.

Движение по интегральному многообразию осуществляется в соответствии с уравнением

. (1.5)

Если, где, является решением исходной системы (1.1), (1.2), т.к. эта пара задает траекторию на интегральном многообразии.

1.2 Теоремы существования и единственности рения задачи Коши

Рассмотрим задачу Коши

(1.6)

(1.7)

состоящую из нормальной системы (1.6) и начального условия (1.7). Рассмотрим стандартный параллелепипед

.

Теорема 1.1 (Коши-Пикара) Пусть функция непрерывна по совокупности переменных в области П, следовательно ограничена на П:

и удовлетворяет по условию Липшица с некоторой константой :

.

Тогда задача (1.6), (1.7) имеет единственное решение на промежутке, где

.

Теорема 1.2 (Коши-Пеано) Пусть функция непрерывна по совокупности переменных в П. Тогда задача (1.6), (1.7) имеет на отрезке, где

(1.8)

хотя бы одно решение.

1.3 Теорема Тихонова

Теорема Тихонова [3,4], в которой дано обоснование допустимости предельного перехода в сингулярно возмущенной дифференциальной системе при стремлении малого положительного параметра к нулю, является важным инструментом исследования сингулярно возмущенных систем. Ограничивая рассмотрение случаем автономных дифференциальных систем с одним малым параметром, приведем упрощенный вариант этой теоремы. Рассмотрим начальную задачу вида

, (1.9)

,

где и непрерывные векторные функции, открытое подмножество в, и .

Напомним, что векторное дифференциальное уравнение

(1.10)

в котором играет роль параметра, называется присоединенным уравнением. Будем предполагать, что выполнены следующие условия.

Н1. Для всех, присоединенное уравнение (1.10) имеет единственное решение при заданном начальном условии.

Будем называть m-мерную поверхность, задаваемую уравнением

(1.11)

медленной поверхностью, она состоит из положений равновесия присоединенного уравнения (1.10).

Эта поверхность задана как график функции, следовательно, существует непрерывное отображение, некоторой компактной области в, такое, что для всех и .

Н2. Для всех, является изолированным корнем уравнения (1.11), т. е., и существует такое число, что соотношения, и влекут за собой .

Изолированность корня не означает, что уравнение (1.11) не может иметь решений, кроме .

Приведем некоторые понятия теории устойчивости положений равновесия для систем, зависящих от параметров.

Определение. Положение равновесия уравнения (1.10) называется:

1. Устойчивым (по Ляпунову), если для любого существует такое, что любое решение присоединенного уравнения (1.10), для которого может быть продолжено при всех и подчиняется неравенству .

Положение равновесия асимптотически устойчиво, если оно устойчиво, и, кроме того, для всех решений, для которых выполняется условие .

2. Притягивающим, если существует область притяжения (область влияния), т. е. окрестность поверхности, обладающая тем свойством, что любое решение уравнения (1.10), для которого может быть продолжено при всех и .

Будем говорить, что область притяжения положения равновесия равномерна по, если существует такое, что для всех, шар, с центром в и радиусом a, является областью притяжения .

Ясно, что устойчивое и притягивающее положение равновесия являются асимптотически устойчивыми.

Н3. Для любого, точка является асимптотически устойчивым положением равновесия уравнения (1.10) и область притяжения равномерна по .

Н4. Система уравнений

(1.12)

имеет единственное решение с заданными выше условиями.

Н5. Точка является внутренней точкой. Точка принадлежит области притяжения положения равновесия .

Рассмотрим начальную задачу для присоединенного уравнения

, (1.13)

Пусть будет решением присоединенного уравнения. В соответствии с предположением (Н5), функция определена при всех и. Следует отметить, что последнее предельное соотношение допускает и следующую интерпретацию: траектория приходит в положение равновесия за конечное время и в дальнейшем не покидает его.

Можно рассматривать начальную задачу

, (1.14)

как результат редукции. Пусть будет решением редуцированной задачи, , — максимальный интервал, на котором оно определено.

Сформулируем основной результат.

Теорема 1.3 (Теорема Тихонова). Пусть выполнены предположения (Н1)-(Н5). Тогда начальной задачи (1.9) определено на и связано с решением редуцированной задачи предельными соотношениями

;

.

Здесь принадлежит, где — промежуток существования, сходимость равномерна на промежутке для и на любом промежутке для .

Уточнение этого результата состоит в том, что кривая, состоящая из двух непрерывных дуг и, где — дуга

и — дуга

является приближением решения задачи (1.9), когда принимает достаточно малые значения.

Отметим, что достаточными условиями справедливости теоремы Тихонова являются гладкость правых частей и следующее условие [5], знакомое по теореме существования медленного интегрального многообразия из первой главы книги:

Собственные значения матрицы

подчиняются неравенству

. (1.15)

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

2.1 Модель воспламенения в дизельном двигателе

Следуя работе можно записать уравнение баланса энергии:

(2.1)

где — плотность газа, — удельная теплоемкость газа, — безразмерная величина объемного газосодержания, — безразмерная молярная доля горючего газа, — полная молярная концентрация горючего, — молярная концентрация горючего вдали от капель, — молярная масса горючего, — удельное (на единицу массы) тепловыделение, — предэкспоненциальный фактор, — энергия активации, — универсальная газовая постоянная, — радиус капель, — коэффициент конвективного теплопереноса, — плотность числа капель, — излучательная способность поверхности капель, — параметр Стефана-Больцмана, — тепература поверхности капель.

Уравнение для радиуса капли запишем следующим образом:

(2.2)

где — плотность жидкого топлива, — молярная концентрация насыщенного газообразного топлива, и — коэффициент массопереноса.

Уравнение для концентрации горючего газа имеет вид:

. (2.3)

Время нагревания капель :

.

Время нагревания газа :

.

Первое выражение основывается на предположении, что нагрев капель является результатом конвекции и их температура близка к температуре газа. В основе второго выражения лежит предположение о преимущественном вкладе химической реакции.

Ограничим рассмотрение случаем постоянного давления:

Введем числа Нуссельта и Шервуда:

(2.4)

. (2.5)

воспламенение дизельный двигатель испарение

Теплопроводность моноатомного и полиатомного газа пропорциональна величине. Зависимость температуры от удельной теплоемкости игнорируется, хотя величина пропорциональна и обратно пропорциональна. Имеем:

(2.6)

. (2.7)

Из уравнений (2.6) и (2.7) при (стационарные капли), выражения (2.4) и (2.5) принимают вид:

(2.8)

(2.9)

где .

Исходя из (2.8) и (2.9), систему (2.1)-(2.3) можно переписать в безразмерной форме:

(2.10)

(2.11)

(2.12)

где

Начальные условия для уравнений (2.10)-(2.12):

(2.13)

Перепишем систему (2.10)-(2.12) и (2.13):

(2.14)

Сложим первое и третье уравнения системы, получим:

Из второго уравнения системы:

.

Т.о. сделаем замену:

.

Интеграл:

(2.15)

Подставим данное соотношение в первое уравнение системы:

Система (2.14) позволяет найти условия равновесия. Завершение процессов испарения и горения приводят к равенствам. Это позволяет найти выражение для температуры в конце процессов.

Для этого подставим значение 0 для и в уравнение (2.15) и выразим :

.

2.2 Редукция системы

Введем новые переменные:

Выразим:

тогда

Таким образом, имеем систему следующего вида:

Пусть, тогда система примет вид:

(2.16)

(2.17)

. (2.18)

Вводя иерархию переменных:

— малый параметр, ;

— быстрая переменная;

;

— более медленная переменная;

— самая медленная переменная.

Т.о. система (2.16)-(2.18) может рассматриваться как сингулярно возмущенная с малым параметром .

Можно выделить два этапа в динамике химической системы. Первый соответствует процессу испарения и траектории системы (2.16)-(2.18) на этапе химической реакции за очень короткий отрезок времени выходят на плоскость. При этом значения переменной изменяются очень быстро на фоне почти неизменных значений и .

После окончания процесса испарения порядок системы может быть понижен, и можно переходить к исследованию зависимости между переменными и .

2.4 Процесс испарения

Воспользуемся следующей заменой:

.

Тогда система примет вид:

Как было принято выше — малый параметр. Тогда первое и второе уравнения системы примут вид:

Вспомним замену переменных, , и начальные условия:

Интегрируя наши уравнения, с учетом замены и начальных условий, получим и .

Таким образом, можно сказать, что на данном этапе эти два параметра приближены к начальным условиям. Рассмотрим третье уравнение системы. Учтем замену переменных:

Т.к. выше было найдено и, тогда:

.

Введем замены, и перепишем уравнение:

. (2.23)

Рисунок 2.1 — Траектория (2.23) при, , ,

Проинтегрируем его и получим

.

Теперь можно вычислить время испарения, полагая, что :

.(2.24)

Рисунок 2.2 — Безразмерный радиус капель как результат численного решения системы (2.10)-(2.12) (сплошная линия) и как результат вычисления по формуле (2.24) (прерывистая линия) при, ,, , ,

2.5 Процесс горения

Для обоснования допустимости перехода от полной системы (2.16)-(2.18) к системе меньшей размерности на плоскости, применим теорему Тихонова. Основное предположение этой теоремы состоит в том, что положение равновесия присоединенного уравнения

асимптотически устойчиво. Для проверки рассмотрим функцию Ляпунова, производная которой в силу присоединенного уравнения

отрицательно определена, что и означает выполнение требования асимптотической устойчивости.

Для значений времени безразмерный радиус капель равен нулю и система (2.10)-(2.12) принимает вид

.

Исключая переменную из этой системы, приходим к уравнению

.

Непосредственное интегрирование приводит к соотношению

где и. Следует отметить, что зависимость между и при может быть получена из (2.15) при .

В заключение отметим, что плоскость представляет собой притягивающее положительно инвариантное множество дифференциальной системы (2.16)-(2.18).

3. Интерпретация результатов

Из графиков видно, что численные вычисления схожи с аналитическим решением системы. С физической точки зрения переменные и на этапе процессов нагревания, испарения и на начальной стадии горения принимают значения, близкие к начальным. Следует заметить, что изменяя начальные данные, можно получать наиболее оптимальные зависимости при прочих равных условиях, что весьма важно для процесса. Например, увеличив температуру газа, можно добиться ускорения сгорания топлива. Увеличивая же концентрацию, мы обогащаем смесь, тем самым увеличивая мощность двигателя.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе выполнения дипломной работ была исследована динамическая модель сгорания топлива в дизельном двигателе, применен корректный метод решения системы — метод редукции. Для этого было выделено два этапа в динамике химической системы — процесс испарения и стадия воспламенения. Что способствовало численному решению задачи.

Графики и расчеты были произведены в математическом пакете Wolfram Mathematica. Были сделаны выводы с точки зрения предметной области, а также подчеркнута важность исследуемой задачи в настоящее время.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Sazhin S.S., Feng G., Heikal M.R., Goldfarm I., Gol’dshtein V., Kuzmenko G. Thermal ignition analysis of a monodisperse spray with radiation // Combustion and Flame Volume. 2001. V. 124. Issue 4. P. 684−701.

2. Соболев В. А., Щепакина Е. А. Редукция моделей и критические явления в макрокинетике. М.: Физматлит, 2010.

3. Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных // Матем. сб. 1952. Т. 31. № 3. С. 575−586.

4. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973. 272 с.

5. Бутузов В. Ф., Нефедов Н. Н., Шнайдер К. Р. Дифференциальные уравнения. Сингулярные возмущения // Итоги науки и техн. Сер. соврем. матем. и ее прилож. Тематич. обзоры. М.: ВИНИТИ, 2003. Т. 109. С. 1−144.

ПРИЛОЖЕНИЕ, А Текст программы Численное решение исходной системы:

начальные условия.

> p0:=ln (1+beta*theta0);

> q0:=1;

> s0:=psi/epsilon2;

первое уравнение системы, описывает температуру горения.

> u1:=D (p)(tau)=((s (tau)-psi*q (tau)/epsilon2)*exp ((exp (p (tau))-1)

(beta*exp (p (tau)))) — epsilon1*q (tau)^(1/3)*(exp (p (tau))-1)/

beta*exp (p (tau)/2) — epsilon1*epsilon3*q (tau)^(2/3)*

(exp (4*p (tau))-1))*beta/gamma1;

уравнение описывающие процесс изменения радиуса капель топлива.

> u2:=D (q)(tau)=-epsilon1*epsilon2*q (tau)^(1/3)*(exp (p (tau))-1)/

beta*exp (p (tau)/2)-epsilon1*epsilon2*epsilon3*q (tau)^(2/3)*

(exp (4*p (tau))-1);

третье уравнение описывает взаимосвязь изменения радиуса капель топлива и концентрации газа.

> u3:=D (s)(tau)=(psi*q (tau)/epsilon2-s (tau))*exp ((exp (p (tau))-1)

(beta*exp (p (tau))));

> sys:=u1,u2,u3;

> nul:=p (0)=p0,q (0)=q0,s (0)=s0;

процедура решения системы.

> res:=dsolve ({sys, nul},{p (tau), q (tau), s (tau)}, numeric);

Графические представления:

ParametricPlot[Evaluate[{t, x1[t]}/.%],{t, 0,5}, AspectRatio?>1,

PlotStyle?>{Green, Thick}]

ParametricPlot[Evaluate[{t, x2[t]}/.%],{t, 0,5}, AspectRatio?>1,

PlotStyle?>{Green, Thick}].

A=22.93*Q*(1 + 0.0656*Q)^0.5

B=22.93*0.4 758*((1 + 0.0656*Q)^4 — 1)

Plot[-(22.93*10*(1 + 0.0656*10)^0.5)*q^(1/3) — (22.93*0.4 758*((1 + 0.0656*10)^4 — 1))*q^(2/3), {q, 0, 1}]

Plot[-(22.93*(-1)*(1+0.0656*(-1))^0.5)*q^(1/3)-(22.93*0.4 758*((1+0.0656*(-1))^4−1))*q^(2/3),{q, 0,1}, AxesLabel->{t, q}]

A=22.93*x0*(1+0.0656*x0)^0.5

B=22.93*0.4 758*((1+0.0656*x0)^4−1)

Plot[-A*q^(1/3) — B*q^(2/3), {q, 0, 1}, AxesLabel -> {t, q}]