Исследование и разработка методов оценки параметров радиосигнала при времени измерения менее и не кратном периоду

1. Анализ методов измерения параметров сигналов при времени измерения некратном и менее периода сигнала

1.1 Выбор модели исследуемого сигнала Используемые в настоящее время в радиотехнических системах радиосигналы отличаются большим разнообразием форм и видов. Так, например, в спутниковых и наземных системах навигации, в связи используют сложномодулированные сигналы. Более простые сигналы используют, например, в радиолокации, акустике и медицине. Однако, основой их, несущим сигналом, чаще всего является сигнал гармонического вида. Наличие гармонического сигнала позволяет строить измерительные системы высокой точности, используя для этого один из параметров гармонического сигнала — фазовый сдвиг. Как показано в ряде работ, потенциально фазовые системы имеют наименьшую погрешность и способны обеспечить наивысшую точность результата измерения с меньшими энергетическими затратами.

Построение высокоточных измерительных радиотехнических систем, в том числе спутниковых навигационных систем, чаще всего основано на измерении фазового сдвига гармонического несущего сигнала — для получения информации о расстояниях, амплитуды гармонического сигнала — при обнаружении и различении сигналов, скорости изменения фазового сдвига — для оценки подвижности и т. д. Все это говорит об актуальности разработки и исследования новых методов измерения параметров простого гармонического сигнала, способных улучшить характеристики таких систем. Актуально это и для построения собственно измерительной техники — фазометров, вольтметров, калибраторов различного вида и т. д., а также для более простых систем, использующих в качестве информационных параметры сигналов гармонического вида (геодезия, акустика, медицина).

Одним из основных критериев качества радиосистемы является время выдачи ей результата измерения (или другой полезной информации) с момента поступления сигнала на ее вход. Время это зависит, кроме других факторов, и от времени измерения (оценки) параметров несущего гармонического сигнала. Особенно это важно для систем и приборов, использующих достаточно низкочастотные радиосигналы, импульсные сигналы с гармоническим заполнением, а также получающие низкочастотные сигналы в ходе обработки высокочастотных сигналов (например, сигнал, содержащий доплеровский сдвиг частоты, в приемоизмерительной аппаратуре спутниковых систем навигации).

В связи с этим представляется весьма важным разработка методов оценки параметров именно гармонического сигнала при времени измерения, не ограниченном кратностью периоду, в том числе и меньшем полупериода исследуемого гармонического сигнала. В ряде работ [2,12,15,34−41] сделана попытка рассмотрения отдельных алгоритмов для оценки параметров гармонического сигнала. Однако, отсутствует системный взгляд на данную задачу, не получены алгоритмы для самых основных мешающих воздействий, встречающихся на практике, не исследованы статистические свойства таких алгоритмов.

Основываясь на вышесказанном, в качестве базовой модели исследуемого сигнала при решении поставленной задачи необходимо взять сигнал вида

(1.1)

где — полезный сигнал, параметры которого используются для проведения измерений или получения другой информации; - белый шум, присутствующее совместно с полезным сигналом мешающее воздействие, устранить которое принципиально невозможно в современных системах;, и — амплитуда, частота и фазовый сдвиг исследуемого полезного гармонического сигнала.

Выбор в качестве шумового мешающего воздействия белого шума объясняется его реальным присутствием в радиосистемах и приборах и его базовым характером, то есть, зная поведение измерителя при воздействии белого шума, можно достаточно легко предсказать изменение характеристик при воздействии шума с «небелыми» свойствами.

Для сигнала (1.1) теоретически возможно получение алгоритмов оценок любого параметра или сочетания параметров с использованием различных критериев. Однако наибольший интерес представляют алгоритмы оценки фазового сдвига и амплитуды в условиях некратности времени измерения периоду сигнала. При этом, естественно полагать, частоту сигнала априорно известной. Для большинства систем это приемлемое условие так как, как правило, системы строятся на заранее известном частотном диапазоне.

Хотя вопрос оценки частоты сигнала, безусловно, очень интересен и актуален, особенно за короткие интервалы времени. В [15,18] и ряде других работ предложены алгоритмы оценок частоты в условиях априорной известности некоторого интервала ее нахождения. С точки зрения разработки высокоточных измерительных систем и приборов без знания частоты сигнала проводить измерения практически невозможно, поэтому при получении дальнейших результатов полагается частота сигнала известной или определенной каким-либо известным способом до применения разработанных в главе 2 алгоритмов оценок параметров сигнал.

В данной диссертационной работе применены обозначения параметров сигнала — с индексом «0» для истинного значения параметра исследуемого сигнала, без индекса — для априорно неизвестного параметра, со значком «^» для оценки неизвестного параметра исследуемого сигнала.

В качестве дополнительных моделей исследуемого сигнала используются гармонические сигналы вида (1.1) с дополнительными мешающими воздействиями: постоянной составляющей и (или) -ой гармоникой. Тогда такие модели сигналов можно представить как:

(1.2)

где — постоянная составляющая исследуемого сигнала,

(1.3)

где — амплитуда и фазовый сдвигой гармоники исследуемого сигнала, и

(1.4)

Наиболее часто из-за ряда преимуществ (эффективности и несмещенности оценок, меньших математических трудностей при разработке и других) для нахождения оценок параметров сигналов используется метод максимального правдоподобия. Применим он и для моделей сигналов (1.1−1.4). Как известно [6,12,22,23], полученные этим методом оценки являются оптимальными для сигнала с шумами и помехами по критерию максимального правдоподобия и рассматриваются как оценки, имеющие минимально возможную случайную погрешность при полном отсутствии систематической погрешности (смещения).

Метод максимального правдоподобия нахождения оценки параметра сигнала требует поиска максимума максиморума функции правдоподобия, описывающей плотность вероятности распределения смеси сигнала с шумом. В общем случае функция правдоподобия имеет вид.

(1.5)

где — гармонический опорный сигнал, соответствующий по структуре полезному;

— один или несколько оцениваемых параметров сигнала;

— односторонняя спектральная плотность белого шума;

— начальный момент времени измерения;

— время измерения (интегрирования, обращения к сигналу).

На практике задача поиска максимума сводится к поиску нуля производной логарифма функции правдоподобия.

(1.6)

где — логарифм функции правдоподобия (1.5):

. (1.7)

Здесь — оценка одного или нескольких оцениваемых параметров сигнала, при которых уравнение (1.6) — истина.

Дальнейшие исследования показали, что при измерениях за время некратное периоду исследуемого сигнала, уравнение (или система уравнений) вида (1.6) имеют разные решения при совмещении момента с нулевым значением опорного сигнала или со значением, симметрично отстоящим от нуля. Математически это связано с разными пределами в интегралах, описывающих операции с сигналом.

Это привело к разделению решаемой задачи на два направления: разработка алгоритмов оценок параметров исследуемого сигнала в симметричных и несимметричных пределах. Физический смысл разных пределов заключается в моменте, на который определяется результат измерения. При симметричных пределах () — это середина измерительного интервала, а при несимметричных () — начало. Преимущества и недостатки каждого варианта рассмотрены в главе 4 при разработке конкретных структур измерителей.

1.2 Анализ погрешностей измерения параметров исследуемого сигнала известными методами при проведении измерений за время менее периода На примере одного из параметров исследуемых сигналов (1.1−1.4) — фазового сдвига можно продемонстрировать результаты исследования методических погрешностей «классического» алгоритма оценки в случае его применения для измерений за время некратное периоду исследуемого сигнала.

Как известно, оценка фазового сдвига гармонического сигнала вида (1.1) имеет вид

(1.8)

где — синусная и косинусная (ортогональные) составляющие опорного сигнала определяемые как:

(1.9)

. (1.10)

Оценка (1.8), называемая ортогональным алгоритмом измерения фазового сдвига, соответствует максимуму функции правдоподобия не только для сигнала (1.1), но и для остальных моделей исследуемого сигнала (1.2−1.4) и является оптимальной оценкой по критерию максимального правдоподобия. Однако, все свойства данной оценки, делающие её оптимальной, имеют место только при времени измерения, где — период сигнала, а — любое целое число. При, даже при теоретическом случае полного отсутствия шума, оценка фазового сдвига (1.8) не равна истинному значению — .

Подставляя в (1.8) сигнал (1.1) без шума и ортогональные составляющие (1.9−1.10) и, взяв интегралы, получим:

(1.11)

где. (1.12)

Очевидно, что при оценка. В противном случае всегда будет присутствовать систематическая погрешность, уменьшающаяся с ростом. На рисунке 1 показан характер погрешности в виде графика поверхности f1 для одновременной демонстрации зависимости оценки от истинного значения для диапазона отношения в пределах .

Рис. 1. Зависимость измеренного фазового сдвига от для отношения в диапазоне по алгоритму (1.8)

Как видно из рисунка 1, даже в этом простом случае величина появляющейся систематической погрешности может достигать (при), что делает проведение измерений практически невозможным.

Как отмечалось в разделе 1.1, при измерениях за время некратное и менее периода необходимо рассматривать отдельно случаи симметричных и несимметричных измерительных интервалов. Тогда, при замене пределов в выражении для оценки (1.8) на несимметричные и проведении аналогичных преобразований, оценка (1.11) примет другой вид

(1.13)

где, (1.14)

. (1.15)

На рисунке 2 представлена зависимость отношения от отношения в диапазоне для симметричного (функция f2) и несимметричного (функция f4) измерительных интервалов. Для наглядности и сопоставимости истинные значения фазового сдвига выбраны вблизи нуля, что соответствует близкому к максимальному отношению, но не соответствует максимальным значениям самой систематической погрешности.

Для оценки абсолютных отклонений измеренного фазового сдвига от истинного на рисунке 3 приведена зависимость от в диапазоне от 0є до 90є для выражений (1.11) — функция f2 и (1.13) — функция f4.

Как видно из рисунков 2 и 3, даже в этом случае небольших значений систематической погрешности, она настолько существенна, при отклонении времени измерения от кратности периоду (полупериоду), что подтверждает вывод о невозможности измерений.

Рис. 2. Зависимость отношения оценки к истинному значению фазового сдвига от времени измерения для двух видов измерительных интервалов Рис. 3. Зависимость оценки фазового сдвига от истинного значения для относительного времени измерения

Наличие в составе исследуемого сигнала постоянной составляющей (1.2) приводит к увеличению систематической погрешности алгоритма оценки (1.8) при использовании его в условиях некратности времени измерения периоду сигнала. Выражения для оценок в симметричном и несимметричном измерительных интервалах примут соответственно вид

(1.16)

(1.17)

где определяются соответственно (1.12, 1.14, 1.15), а дополнительно введены обозначения

(1.18)

. (1.19)

Как видно, и в этом случае только при кратности времени измерения периоду сигнала возможно отсутствие смещения оценки (1.8). При этом появляется дополнительная зависимость этого смещения от соотношения значений амплитуды и постоянной составляющей, что делает затруднительным даже расчет величины появляющегося смещения.

При практической реализации высокоточных измерителей фазового сдвига в условиях произвольного времени измерения необходимо оценить границы применения алгоритма оценки (1.8) в зависимости от допустимой величины систематической погрешности. Путем несложных математических расчетов и построения соответствующих зависимостей, для заданных порогов систематической погрешности в 0,1%, 1% и 10% получим следующие оценочные результаты (таблица 1), определяющие минимальное число периодов исследуемого сигнала. Значения приведены для частного случая, а также для упрощения положено равенство .

Таблица 1

Для практических целей, используя (1.11, 1.13, 1.16, 1.17) можно получить значения систематической ошибки для конкретной ситуации при проведении измерений. Задача упрощается тем, что, как видно из таблицы, зависимость погрешности от числа периодов за время измерения практически линейная, особенно для больших измерительных интервалов.

При наличии в исследуемом сигнале нелинейных искажений (-ой гармоники) в выражениях для оценки фазового сдвига по алгоритму (1.8) в условиях отсутствия шума появляется зависимость не только от значения фазы и амплитуды первой гармоники, но иой. Для сигнала (1.3) для симметричного и несимметричного измерительных интервалов выражения для определения смещения оценки примут вид

(1.20)

(1.21)

где определяются (1.12, 1.14, 1.15), а дополнительно обозначены составляющие

(1.22)

(1.23)

(1.24)

(1.25)

(1.26)

. (1.27)

На рисунке 4 для частного случая равенства и показан характер зависимости отношения оценок (1.20, 1.21) к истинному значению фазового сдвига для диапазона отношения от для симметричного (функция f10) и несимметричного (функция f12) измерительных интервалов.

Как видно из рисунка, при наличии нелинейных искажений измерения с несмещенным результатом возможны только за время кратное периоду.

Можно показать, что наличие вместе с нелинейными искажениями еще и постоянной составляющей также приводит к значительному смещению оценки фазового сдвига.

Выражения будут иметь вид

(1.28)

(1.29)

где определяются соответственно (1.12, 1.14, 1.15, 1.18, 1.19, 1.22−1.27).

Рис. 4. Зависимость отношения от относительного времени измерения () для двух видов измерительного интервала В таблице 2 приведены оценочные количественные значения необходимого минимального числа периодов исследуемых сигналов для обеспечения заданного порогового значения систематической погрешности. Условия, использованные при подсчете, аналогичны условиям для таблицы 1.

Таблица 2

Очевидно, что все сказанное выше справедливо и к измерителям амплитуды гармонического сигнала вида (1.1). Оценка амплитуды, оптимальная по критерию максимального правдоподобия для сигнала (1.1) при измерении за время кратное периоду имеет вид.

. (1.30)

Как и для оценки фазового сдвига, можно показать, что (даже в отсутствие шума) только при кратности времени измерения периоду сигнала, в противном случае, возникающая систематическая погрешность, зависящая от времени измерения и фазового сдвига, делает измерения практически невозможными. Выражение (1.30) является основой построения не только собственно измерителей амплитуды, но и оптимальных и квазиоптимальных обнаружителей радиосигнала в различных областях. Принцип обнаружения, как правило, основан на быстрой оценке энергии сигнала (или просто амплитуды за время наблюдения) и сравнение с заданным порогом. Использование алгоритма, дающего значительную погрешность при некратном периоду (меньше периода) сигнала времени наблюдения, безусловно, даст ошибочный результат при сравнении с порогом, а, следовательно, и результат обнаружения будет недостоверен.

Таким образом, возникает задача разработки и исследования точностных характеристик алгоритмов оценок параметров гармонического радиосигнала, не имеющих систематической погрешности при любом произвольном времени измерения, в том числе и менее периода (полупериода) сигнала.

1.3 Анализ существующих методов измерения параметров сигнала при времени измерения, не ограниченном кратностью периоду В настоящее время известен ряд работ, в которых предложены некоторые пути решения поставленной задачи — измерения параметров радиосигнала за время менее периода для ряда частных случаев или отдельных параметров сигнала.

Так в впервые был получен алгоритм оценки фазового сдвига для косинусного варианта модели исследуемого сигнала (1.1) для несимметричного измерительного интервала, не ограниченного кратностью периоду. В главе 2 показано, что первоначальный вариант из содержал неточность (приведен правильный вариант этого алгоритма).

В алгоритм был получен из уравнения правдоподобия, составленного для случая неизвестных амплитуды и фазового сдвига, однако решено оно было только приближенным путем, без учета шума. Это не позволило назвать его оптимальным, хотя дальнейшие исследования, в том числе и автором настоящей диссертационной работы, показали, что полученное решение соответствует именно оптимальной по критерию максимального правдоподобия оценке фазового сдвига в данных условиях измерения, и вывод, сделанный в работе, об обеспечиваемой алгоритмом дисперсии на уровне минимально возможной, является достоверным. При этом алгоритм обеспечивал несмещенную оценку для произвольного времени измерения.

К сожаленью, данная работа не получила дальнейшего развития, что привело к повторению её результатов в других, более поздних исследованиях. Так в также получен алгоритм оценки фазового сдвига для сигнала (1.1) и также без прямого решения уравнения правдоподобия, а путем поиска таких дополнительных членов для алгоритма (1.8), которые полностью бы компенсировали появляющееся смещение оценки при времени измерения некратном периоду. При этом удалось получить аналогичный, приведенному в главе 2 результат, хотя в данной диссертационной работе он получен путем строгого решения системы уравнений, обеспечивающих максимум максиморум функции правдоподобия.

В отмечена и исследована причина появления смещения оценки (1.8) в условиях некратности времени измерения периоду сигнала — это нарушение ортогональности обработки и появление корреляции между числителем и знаменателем. Также получены выражения для дисперсии оценки фазового сдвига, аналогичные приведенным в главе 3, но они тоже получены без применения функции правдоподобия и, строго говоря, не могут подтвердить оптимальность полученной оценки.

В работах В. Н. Уголькова [35−41] проблема измерения параметров гармонического сигнала рассмотрена с использованием так называемого метода обработки кривой мгновенных значений. При этом доказывается, что все параметры гармонического сигнала могут быть получены уже по 3-м мгновенным равномерно взятым выборкам, причем за время менее периода. То есть для сигнала вида

(1.31)

достаточно получить следующую систему уравнений:

(1.32)

где — интервал взятия выборок из сигнала (1.31).

В приведено решение системы относительно в виде:

. (1.33)

Показано, что алгоритм (1.33) не зависит от частоты, а минимальное время обращения к сигналу равно. При априорной известности выполнения условия возможно однозначное определение частоты по формуле:

(1.34)

где — период сигнала (1.31).

Для нахождения фазового сдвига предлагается составить вторую систему уравнений, подобную (1.32), но с учетом фазового сдвига второго сигнала. Тогда мгновенный сдвиг фаз между сигналами и, отнесенный ко времени, определится из выражения:

(1.34)

где второй сигнал соответственно имеет вид:

. (1.35)

При этом для однозначного результата также необходимо выполнение условия .

Нетрудно заметить, что все приведенные выше выражения для параметров гармонического сигнала получены в предположении полного отсутствия какого-либо мешающего воздействия, даже белого шума. Это делает полученные результаты только теоретическими, и их невозможно использовать на практике. Естественно, данные результаты не могут быть сравнимы с оптимальными алгоритмами, полученными по критерию максимального правдоподобия.

В дальнейших работах также повторено получение алгоритма фазового сдвига как в путем формирования дополнительных корректирующих составляющих в алгоритм (1.8) для восстановления ортогональности при любом времени измерения.

Наиболее последовательный и системный подход к решению задачи нахождения оптимальных алгоритмов оценки параметров радиосигналов за время некратное периоду был предложен М. К. Чмыхом. В [18,19] им получены оптимальные алгоритмы оценки фазового сдвига для симметричного измерительного интервала для сигналов (1.1) и (1.2), то есть, без и при наличии в сигнале, кроме белого шума, еще и постоянной составляющей. Утверждения других авторов о невозможности решить уравнение или систему уравнений для поиска максимума функции правдоподобия для данных условий оказались неверными [15,41]. В главе 2 подробно описаны полученные в [18,19] оценки фазового сдвига. Однако оценки других параметров М. К. Чмыхом получены не были.

В показано, что в условиях измерений за время некратное периоду сигнала фазовый сдвиг становится энергетическим параметром, поэтому изменяется вид функции правдоподобия, для которой ищется максимум путем приравнивания нулю производной от её логарифма.

Одновременно, в [12,20] разработан метод получения статистических характеристик оценок фазового сдвига с использованием разложения в ряд Тейлора функции правдоподобия для исследуемого сигнала. Анализ результатов позволил утверждать, что полученные оценки, кроме несмещенности, то есть отсутствия систематической погрешности, имеют минимально возможную случайную погрешность и могут называться оптимальными.

В [43−51] приведены разработанные алгоритмы оценок всех параметров для сигналов вида (1.1−1.4) с использованием метода максимального правдоподобия. В [31,32] приведены результаты исследования статистических свойств оценок всех параметров для сигналов (1.1, 1.2).

На основании результатов, опубликованных в [18−20,32,47,48] А. В. Шакурским были разработаны и обобщены в алгоритмы оценки параметров гармонического сигнала при наличии нестационарных помех для случая некратности времени измерения периоду гармонического сигнала. Основываясь на методе максимального правдоподобия показана возможность оценки параметров гармонического сигнала при наличии на входе измерителя дополнительно к сигналу (1.1) некой суммарной помехи, представляющей собой сумму произведения известных функций квазидетерминированных помех и неизвестных коэффициентов.

В результате получены оптимальные оценки фазового сдвига и амплитуды для сигнала типа (1.1) для симметричного измерительного интервала, получены выражения и исследована потенциальная точность данных оценок. При этом показано, что при отсутствии дополнительной нестационарной помехи алгоритмы оценок и выражения для погрешностей переходят в известные [18,20,44]. Полученные в алгоритмы оценок фазового сдвига и амплитуды имеют аналогичный вид и отличаются только другим опорным сигналом, который, согласно общим принципам метода максимального правдоподобия, должен точно повторять структуру исследуемого (полезного) сигнала. В главе 2 представлены примеры таких алгоритмов оценок.

В результате анализа известных работ можно сделать общий вывод, что, имея алгоритмы оценок параметров для базовых моделей исследуемых сигналов (например (1.1−1.4)), можно получить выражения для оптимальных оценок и более сложных сигналов, изменив соответствующим образом вид опорного сигнала и проведя необходимые преобразования.

Результаты разработки алгоритмов оценок основных параметров исследуемых моделей сигнала (1.1−1.4) для двух видов измерительных интервалов, полученных по методу максимального правдоподобия, кроме указанных выше, представлены в [3,5,7,11,26,29,42−51], а также дополнены и обобщены в настоящей диссертационной работе (глава 2).

Результаты исследования погрешностей оптимальных оценок параметров сигналов (1.1−1.4), кроме указанных выше, представлены в [9,11,14,31,42] и также дополнены и обобщены в главе 3 настоящей работы.

Необходимо отметить, что на основании проведенных М. К. Чмыхом и автором данной работы исследований, в разработана и утверждена методика аттестации фазоизмерительных и фазозадающих устройств с временем обращения к сигналу менее одного периода.

1.4 Выводы по главе 1

1. Для разработки оптимальных, по критерию максимального правдоподобия, методов оценки параметров сигнала при измерениях за время некратное периоду, необходимо и достаточно на первом этапе в качестве моделей исследуемого сигнала взять гармонические сигналы, причем положить в них частоту известной:

— без постоянной составляющей (1.1);

— с постоянной составляющей (1.2);

— сой гармоникой без постоянной составляющей (1.3);

— сой гармоникой и постоянной составляющей (1.4).

2. Известные алгоритмы оценок параметров сигналов вида (1.1−1.4) не дают несмещенный результат при отклонении времени измерения от кратности периоду. Причем характер смещения таков, что делает измерения практически невозможными, особенно при времени измерения менее полупериода, а при наличии постоянной составляющей — периода исследуемого сигнала. При времени измерения более периода, но некратном периода, требуется от сотен до десятков тысяч периодов исследуемого сигнала для обеспечения смещения результата, не более некоторого заданного незначительного порогового значения (в пределах (0,1…10)%).

3. В результате предпринятых попыток решения задачи оценивания параметров гармонического сигнала за время измерения, некратное периоду, в ряде работ были получены результаты, позволяющие оценивать отдельные параметры (как правило — фазовый сдвиг) для некоторых частных случаев условий измерения. Однако в этих работах не были получены алгоритмы оценок других параметров, кроме фазового сдвига, нет системного подхода к решаемой задаче, не исследована зависимость от симметрии измерительного интервала, не исследованы точностные характеристики алгоритмов оценок параметров сигналов (1.3, 1.4).

4. Наиболее перспективным путем решения поставленной задачи полагается метод максимального правдоподобия, основанный на поиске такого значения оцениваемого параметра или группы параметров, при котором функция правдоподобия достигает максимума максиморума (или равняются нулю ее частные производные по оцениваемым параметрам). Анализ показал возможность прямого решения получающихся уравнений или систем уравнений, возможность получения аналитических однозначных выражений для оценки всех параметров сигнала (кроме частоты сигнала) для произвольного времени измерения, не только для сигналов вида (1.1, 1.2), но и для сигналов с нелинейными искажениями вида (1.3, 1.4). Следовательно, возможно и получение аналитических выражений для анализа случайной погрешности оценок.

5. Исходя из вышеизложенного, ставятся следующие задачи:

— разработка алгоритмов оптимальных по критерию максимального правдоподобия оценок всех параметров радиосигналов вида (1.1−1.4), не разработанных ранее, для симметричного измерительного интервала при времени измерения, не ограниченном кратностью периоду сигнала;

— разработка аналогичных алгоритмов для несимметричного измерительного интервала;

— получение и исследование статистических характеристик разработанных оценок для двух видов измерительного интервала, оценка влияния дискретной обработки в разработанных алгоритмах измерения параметров сигнала;

— математическое моделирование полученных алгоритмов оценок и сравнение их статистических характеристик с теоретическими расчетами;

— разработка типовых структур измерителей параметров сигналов (1.1−1.4) при времени измерения, не ограниченном кратностью периоду, пути их реализации на практике, пути упрощения процесса обработки сигнала и структуры измерителей;

— практическое использование оптимальных оценок параметров радиосигнала для уменьшения погрешности навигационных измерений в аппаратуре потребителя спутниковых навигационных систем.

2. Разработка алгоритмов оценки параметров сигнала при времени измерения некратном и менее периода исследуемого сигнала

2.1 Разработка алгоритмов при симметричном измерительном интервале для времени измерения некратном и менее периода сигнала

2.1.1 Алгоритмы оценок параметров радиосигнала при симметричном измерительном интервале для сигнала без нелинейных искажений На примере исследуемого сигнала вида (1.2) рассмотрим все этапы разработки алгоритмов оценок параметров сигнала при времени измерения некратном и менее периода сигнала.

Как уже отмечалось, известно [6,23], что для сигнала вида

(2.1)

где — исследуемый сигнал с постоянной составляющей, оптимальная оценка произвольного параметра или группы параметров по критерию максимума функции правдоподобия (далее — оптимальная оценка) сводится к поиску максимума функции правдоподобия или поиску нуля производной логарифма функции правдоподобия.

Логарифм функции правдоподобия, в общем случае [12,23], определяется выражением:

(2.2)

где — гармонический опорный сигнал, соответствующий по структуре исследуемому;

— время измерения (обращения) к сигналу,

— один или несколько оцениваемых параметров сигнала;

— спектральная плотность белого шума.

Раскрыв выражение в скобках, получим:

. (2.3)

Можно заметить, что в данном выражении интеграл от слагаемого не зависит от оцениваемых параметров всегда, а интеграл от слагаемого не зависит от оцениваемых параметров только в случае [12], где — целое число. При времени измерения (интегрирования) не кратном периоду обязателен учет третьего слагаемого из (2.3), которое отражает энергию опорного сигнала за время измерения и не равно нулю при времени измерения некратном периоду гармонического сигнала. Тогда логарифм функции правдоподобия примет вид

. (2.4)

Для случая априорно неизвестных амплитуде, фазовом сдвиге и постоянной составляющей для нахождения алгоритмов оптимальных оценок необходимо решить систему уравнений с частными производными вида

. (2.5)

Решение этой системы приводит к получению следующих алгоритмов оптимальных оценок фазового сдвига, амплитуды и постоянной составляющей.

(2.6)

(2.7)

(2.8)

где введены следующие обозначения:

(2.9)

(2.10)

(2.11)

(2.12)

(2.13)

. (2.14)

Здесь — ортогональные составляющие опорного сигнала .

Для случая априорно неизвестных амплитуде и фазовом сдвиге (постоянная составляющая отсутствует, сигнал (1.1)) необходимо решить систему вида:

(2.15)

решение которой дает следующие упрощенные алгоритмы оптимальных оценок фазового сдвига и амплитуды.

(2.16)

. (2.17)

Наконец, в случае априорно неизвестном только фазовом сдвиге, система вырождается в уравнение вида [42]:

. (2.18)

Решение (2.18) имеет вид уравнения, не имеющего явно выраженной формы относительно оценки фазового сдвига:

. (2.19)

Можно показать на примере алгоритма оценки фазового сдвига (2.16), что полученные алгоритмы оценок не имеют систематической погрешности, то есть оценки несмещенные. Для этого подставим в (2.16) сигнал без шума в виде

. (2.20)

Тогда, взяв интегралы (2.9−2.12) получим вне зависимости от. Таким образом, все полученные оценки являются несмещенными (это справедливо и по отношению ко всем оценкам, полученным ниже), а погрешности полученных алгоритмов не имеют систематической составляющей при любом, как кратном, так и некратном периоду исследуемого сигнала, в том числе и менее полупериода сигнала. Случайная составляющая погрешности всех полученных алгоритмов рассмотрена в главе 3.

2.1.2 Алгоритмы оценок параметров радиосигнала для симметричного измерительного интервала при наличии нелинейных искажений Кроме белого шума, наличие которого на входе измерителя принципиально и неустранимо, одним из часто встречающихся мешающих воздействий является наличие гармонических составляющих, присутствующих в измеряемом сигнале. В этом случае для анализа используем сигнал вида (1.4), то есть, с учетом наличияой гармоники, исследуемый сигнал, в общем случае, имеет вид:

(2.21)

гдеамплитуда и фазовый сдвигой гармоники.

Используя описанную выше методику, составляется система уравнений по необходимому числу параметров сигнала для различных вариантов априорной известности. Решение такой системы для случая априорно неизвестных амплитуд и фазовых сдвигов первой иой гармоник, а также постоянной составляющей дает следующие алгоритмы оптимальных оценок.

(2.22)

(2.23)

(2.24)

(2.25)

(2.26)

где введены следующие обозначения

(2.27)

(2.28)

(2.29)

(2.30)

(2.31)

(2.32)

(2.33)

(2.34)

. (2.35)

Кроме приведенных в (2.9 — 2.14) выражений, греческими буквами обозначены следующие интегралы

(2.36)

(2.37)

(2.38)

(2.39)

(2.40)

(2.41)

. (2.42)

Здесь — ортогональные составляющиеой гармоники опорного сигнала.

В случае нулевой постоянной составляющей (сигнал (1.3)) алгоритмы оптимальных оценок существенно упрощаются и принимают вид.

(2.43)

(2.44)

(2.45)

(2.46)

где составляющие определяются соответственно (2.27 2.29, 2.31, 2.33, 2.35).

Необходимо отметить, что при смене вида исследуемого сигнала с синусоидального на косинусоидальный, алгоритмы нахождения оптимальных оценок фазового сдвига также меняются, сохраняя, естественно, те же принципы обработки сигнала. Так, например, для косинусоидального исследуемого сигнала без постоянной составляющей алгоритм нахождения оценки фазового сдвига, аналогичный (2.16), будет иметь вид:

. (2.47)

При наличии постоянной составляющей (аналог (2.6)):

(2.48)

где соответствуют (2.9−2.14) с учетом изменения функции исследуемого сигнала. Алгоритмы других параметров сигналов не зависят от вида гармонической функции, описывающей сигнал.

2.1.3 Алгоритмы оценок параметров радиосигнала при наличии нестационарных помех Дальнейшее развитие процесса разработки и исследования алгоритмов оценки параметров сигналов при времени измерения, не ограниченном кратностью периоду, отражено в [15], где рассмотрен случай наличия в качестве мешающего воздействия квазидетерминированной помехи наряду с белым шумом. Показано, что при отсутствии такой помехи полученные алгоритмы, в частности для фазового сдвига и амплитуды без наличия постоянной составляющей, переходят в известные (2.16, 2.17).

Для получения оценок параметров использовалась модель исследуемого сигнала в общем, в виде

(2.49)

где — полезный гармонический сигнал с неизвестными параметрами;

— известные базисные функции квазидетерминированной помехи;

— неизвестные коэффициенты (сопутствующие параметры);

— стационарная случайная помеха в виде белого шума.

Наличие квазидетерминированной помехи приводит к смещению оценок параметров сигналов, полученных с использованием функции максимального правдоподобия без учета помехи. В составлена функция правдоподобия для сигнала (2.49) и осуществлен поиск ее максимума (через поиск нуля производной) для случая наличия такой помехи.

В результате решения систем уравнений, составленных из частных производных по неизвестным параметрам, получены следующие оценки фазового сдвига и амплитуды исследуемого сигнала

(2.50)

(2.51)

где составляющие алгоритмов отличаются от (2.9−2.12) наличием в ортогональных составляющих опорного сигнала слагаемых с параметрами квазидетерминированной помехи

(2.52)

(2.53)

(2.54)

(2.55)

где ортогональные составляющие опорного сигнала имеют вид:

(2.56)

. (2.57)

Для вычисления коэффициентов необходимо, в свою очередь, решить две системы уравнений вида:

(2.58)

. (2.59)

Сравнивая алгоритмы (2.50, 2.51) с (2.16, 2.17), полученных в отсутствие стационарных помех, можно отметить, что они отличаются только видом опорного сигнала. Если нестационарная помеха отсутствует, то отсутствуют и дополнительные слагаемые в выражениях для опорных сигналов, а алгоритмы (2.50, 2.51) переходят в (2.16, 2.17).

2.2 Разработка алгоритмов оценок параметров радиосигнала при несимметричном измерительном интервале при времени измерения некратном и менее периода измеряемого сигнала

2.2.1 Алгоритмы оценок параметров радиосигнала при несимметричном измерительном интервале для сигнала без нелинейных искажений Как уже отмечалось, наиболее важными, с точки зрения практического использования, являются алгоритмы оптимальных оценок радиосигнала, полученные при интегрировании исследуемого и опорного сигналов в несимметричных предела —. При практической реализации это означает получение результата измерения на момент начала измерительного интервала, что является наиболее удобным в большинстве случаев. Другие преимущества таких измерителей рассматриваются в главе 4.

При разработке алгоритмов для несимметричного измерительного интервала необходимо также решить систему вида (2.5), изменив пределы интегрирования в выражении для логарифма функции правдоподобия (2.4).

Для исследуемого сигнала без нелинейных искажений вида (2.1) с априорно неизвестными фазовым сдвигом, амплитудой и постоянной составляющей алгоритмы оптимальных оценок имеют следующий вид.

(2.60)

(2.61)

(2.62)

где введены обозначения:

(2.63)

(2.64)

(2.65)

Здесь определяются (2.9−2.14) с учетом изменения пределов интегрирования и дополнительно введены обозначения:

(2.66)

. (2.67)

При отсутствии постоянной составляющей (сигнал (1.1)) выражения для алгоритмов оценок существенно упрощаются [51,53]:

(2.68)

(2.69)

где составляющие определяются аналогично предыдущим алгоритмам.

Необходимо отметить, что, так же как и в случае симметричных пределов интегрирования, алгоритмы оценок фазового сдвига изменяются при смене вида гармонической функции, описывающей исследуемый сигнал. Так для косинусоидального исследуемого сигнала, например, алгоритм (2.68) примет вид

. (2.70)

Выражения для нахождения других параметров не изменяются при смене вида гармонической функции, описывающей исследуемый сигнал.

Необходимо отметить, что алгоритм (2.70) был получен В. Аграновичем и является исторически первым алгоритмом оптимальной оценки параметра гармонического сигнала за время менее периода (хотя в работе данный алгоритм назван квазиоптимальным и в нем пропущен знак перед дробью).

Все приведенные алгоритмы оптимальных оценок, как уже отмечалось в разделе 2.1, не имеют систематической погрешности при любом времени измерения, в том числе и при времени измерения менее периода (полупериода) исследуемого сигнала.

радиосигнал измерительный интервал погрешность

2.2.2 Алгоритмы оценок параметров при несимметричном измерительном интервале для радиосигнала с нелинейными искажениями Для сигнала (1.3) в условиях измерений с привязкой результата к началу измерительного интервала и при наличии, кроме белого шумаой гармоники, алгоритмы оптимальных оценок имеют вид.

(2.71)

(2.72)

где составляющие определяются соответственно (2.27, 2.28, 2.31, 2.33), а дополнительно введены обозначения

(2.73), (2.74)

(2.75), (2.76)

(2.77), (2.78)

(2.79), (2.80)

(2.81), (2.82)

(2.83), (2.84)

(2.85), (2.86)

(2.87), (2.88)

(2.89), (2.90)

. (2.91)

Здесь составляющие — определяются (2.9 — 2.12) соответственно, с учетом изменения пределов интегрирования, определяются (2.36 — 2.39, 2.41, 2.42) соответственно, также с учетом изменения пределов интегрирования, — определяется (2.66), а дополнительно введены следующие обозначения

(2.92)

(2.93)

. (2.94)

2.3 Выводы по разделу 2

1. Для принятых моделей исследуемого сигнала (1.1−1.4) возможно решение систем уравнения, выведенных из функции правдоподобия, в условиях некратности времени измерения периоду сигнала.

2. В условиях априорной известности частоты сигнала возможно получение точных алгоритмов нахождения оптимальных оценок параметров исследуемого сигнала для случая некратности времени измерения периоду сигнала. При этом полученные выражения для оценок являются более общими по отношению к известным выражения, так как полученные алгоритмы при времени измерения кратном периоду переходят в известные.

3. Полученные оценки являются несмещенными при любом времени измерения, в том числе и при времени измерения некратном периоду (полупериоду) сигнала.

4. Полученные оценки для некратности времени измерения периоду сигнала существенно отличаются в математических выражениях от известных выражений для кратности периоду. Значительно отличаются между собой и выражения для оценок в симметричном и несимметричном измерительных интервалах. Следовательно, отличия будут и в структурах измерителей, использующих при обработке интегрирование сигнала в симметричных или несимметричных пределах. Физически это означает привязку результата измерения к середине или к началу измерительного интервала, что существенно при работе с отрезками сигнала, с длительностью некратной или менее периода.

5. На основе исследования функции правдоподобия для гармонического сигнала с белым шумом, постоянной составляющей иой гармоникой разработаны алгоритмы оптимальных оценок параметров при различных комбинациях их априорной известности, а именно:

— фазового сдвига и амплитуды для сигнала без постоянной составляющей и нелинейных искажений в симметричных пределах;

— для тех же параметров в несимметричных пределах;

— фазового сдвига, амплитуды и постоянной составляющей для сигнала без нелинейных искажений в симметричных пределах;

— для тех же параметров в несимметричных пределах;

— фазового сдвига и амплитуды 1-ой иой гармоник для сигнала без постоянной составляющей в симметричных пределах;

— для тех же параметров в несимметричных пределах;

— фазового сдвига, амплитуды 1-ой гармоники и постоянной составляющей в симметричных пределах.

3. Исследование погрешностей алгоритмов оценок параметров сигнала при времени измерения некратном и менее периода исследуемого сигнала

3.1 Погрешности алгоритмов оценок при симметричном измерительном интервале

3.1.1 Статистические характеристики алгоритмов оценок параметров радиосигнала без нелинейных искажений для симметричного измерительного интервала Как известно, на основе исследования функции правдоподобия возможно получение не только алгоритмов оценок параметров сигнала, но и выражений для статистических характеристик полученных оценок. Наиболее важными являются математическое ожидание результата измерения (смещение оценки) и его среднеквадратическое отклонение (случайная погрешность оценки).

В п. 2.1.1 показано, что все полученные и представленные в данной работе алгоритмы оценок не имеют систематического смещения (математическое ожидание погрешности равно нулю) при любом времени измерения. Рассмотрим и проанализируем случайные погрешности полученных алгоритмов оценок.

Методика получения выражений для погрешностей алгоритмов оценок основана на разложении в ряд Тейлора по степеням неизвестных параметров уравнений из системы вида (2.5), предварительно представив логарифм функции правдоподобия (2.4) в виде суммы — сигнальной и — шумовой составляющих

(3.1)

где, (3.2)

. (3.3)

Тогда система (2.5) примет вид

(3.4)

где, , ,

а, ,, ,,. (3.5)

Решение системы (3.4) относительно имеет вид

, , (3.6)

где — определитель системы (3.4), а соответствующие определители искомых неизвестных системы (3.4).

Представим выражения для погрешностей в виде

(3.7)

(3.8)

(3.9)

где с разными индексами — алгебраические дополнения соответственно элементов определителей .

Для нахождения дисперсий необходимо определить дисперсии и корреляционные моменты производной от шумовой составляющей (3.3) —. Можно показать, что

(3.10)

(3.11)

(3.12)

(3.13)

(3.14)

(3.15)

где — автокорреляционная функция шумовой составляющей (3.3) функции правдоподобия. Для типа белого шума автокорреляционная функция имеет вид

. (3.16)

Тогда, после преобразований, выражения для дисперсий неизвестных параметров можно представить как

,. (3.17)

После вычисления соответствующих производных и подстановки их в (3.17), окончательные выражения для дисперсий оценок параметров исследуемого сигнала без нелинейных искажений (1.2) для симметричного измерительного интервала примут следующий вид

(3.18)

(3.19)

(3.20)

где (3.21)

и — (3.22)

коэффициенты, характеризующие соотношение времени измерения и периода сигнала, а

, — (3.23)

характеризуют отношение спектральной плотности шума к энергии сигнала или ко времени измерения. Выражения (3.23) представляют собой известные соотношения для среднеквадратических отклонений оценок соответствующих параметров сигнала при времени измерения, кратном периоду.

Как видно из (3.18, 3.19), случайные погрешности оценок фазового сдвига и амплитуды исследуемого сигнала при времени измерения некратном периоду имеют зависимость от значения оцениваемого фазового сдвига. Только при, где — целое число, этой зависимости нет, и выражения переходят в известные [4,23].

Наличие зависимости от фазового сдвига позволяет ввести понятие предельных погрешностей и получить выражения для них. Так, максимальная и минимальная случайные погрешности оценки фазового сдвига из (3.18) (для) имеют вид

(3.24)

. (3.25)

Выражения для максимальной и минимальной случайных погрешностей оценки амплитуды из (3.19) имеют аналогичный вид, однако достигаются при значениях оцениваемого фазового сдвига, смещенных на 90є. Случайная погрешность оценки постоянной составляющей не имеет зависимости от фазового сдвига.

На рисунке 3.1 представлен результат расчета отношения из выражения (3.18) в зависимости от отношения (времени измерения и периода сигнала) для двух значений фазового сдвига исследуемого сигнала, соответствующим максимальному (функция е1(t, 0)) и минимальному значению погрешности (функция е1(t, 90)).

На рисунке 3.2 представлена зависимость в зависимости от фазового сдвига исследуемого сигнала для двух значений отношения — 0,1 (функция е1(0.1,) и 0,2 (функция е1(0.2,).

При отсутствии постоянной составляющей в исследуемом сигнале (1.1) выражения для погрешностей упрощаются и могут быть представлены как:

(3.26)

(3.27)

где определяются соответственно (3.21, 3.23). В этих выражениях также присутствует зависимость от оцениваемого фазового сдвига, поэтому получим соотношения для предельных значений погрешностей (3.26) и (3.27), которые справедливы для интервала :

, (3.28)

. (3.29)

Как видно из этих соотношений, и в этом случае максимальные и минимальные значения погрешностей фазового сдвига и амплитуды исследуемого сигнала смещены на 90є.

На рисунке 3.3 представлен результат расчета отношения из выражения (3.26) в зависимости от отношения для двух значений фазового сдвига исследуемого сигнала, соответствующим максимальному (функция f (t, 90)) и минимальному значению погрешности (функция f (t, 0)).

На рисунке 3.4 представлена зависимость в зависимости от фазового сдвига исследуемого сигнала для двух значений отношения — 0,1 (функция f (0.1,) и 0,3 (функция f (0.3,).

На практике иногда встречаются условия, когда априорно известны все параметры сигнала, кроме фазового сдвига. При измерении фазового сдвига оптимальным измерителем в условиях некратности времени измерения периоду сигнала случайная погрешность может быть определена как

. (3.30)

В приложении 1 приведены графики зависимости теоретической относительной погрешности фазового сдвига от времени измерения и истинного значения оцениваемого параметра. Там же приведены аналогичные зависимости для других параметров исследуемых сигналов, кроме фазового сдвига.

3.1.2 Статистические характеристики алгоритмов оценок параметров радиосигнала с нелинейными искажениями В условиях воздействия совместно с полезным сигналом в качестве мешающего фактораой гармоники также возможно получение и анализ выражений для случайных погрешностей оцениваемых параметров. По описанному выше методу, но для сигнала (1.4) и в условиях некратности времени измерения периоду сигнала получены следующие зависимости для случайных погрешностей фазового сдвига, амплитуды и постоянной составляющей

(3.31)

(3.32)

(3.33)

где дополнительно введены следующие обозначения

(3.34), (3.35)

(3.36), (3.37)

(3.38) (3.39)

(3.40), (3.41)

(3.42). (3.43)

Здесь определяются соответственно (3.21, 3.22), а введены дополнительно следующие коэффициенты

(3.44)

(3.45)

(3.46)

. (3.47)

Если полезной является именноая гармоника исследуемого сигнала, то случайные погрешности фазового сдвига и амплитуды этой гармоники определятся как

(3.48)

(3.49)

где к (3.34−3.43) добавлено обозначение:

. (3.50)

Здесь, (3.51)

а. (3.52)

Таким образом, и для сигнала с нелинейными искажениями при симметричном измерительном интервале случайные погрешности фазового сдвига и амплитуды имеют одинаковый характер изменения со смещением на 90є. Аналогично возможно и получение выражений для предельных значений погрешностей. Так для (3.31) максимальные и минимальные значения выражений будут иметь вид

(3.53)

. (3.54)

Для максимальной и минимальной погрешностей амплитуды выражения такие же, только меняются местами.

На рисунке 3.5 представлен результат расчета отношения из выражения (3.31) в зависимости от отношения для двух значений фазового сдвига исследуемого сигнала, соответствующим максимальному (функция f (t, 0)) и минимальному значению погрешности (функция f (t, 90)).

На рисунке 3.6 представлена зависимость в зависимости от фазового сдвига исследуемого сигнала для двух значений отношения — 0,2 (функция f (0.2,)) и 0,3 (функция f (0.3,)).

Данные зависимости приведены для номера гармоники .

При известной (или нулевой) постоянной составляющей выражения для погрешностей несколько упрощаются и имеют следующий вид

(3.55)

(3.56)

где определяются соответственно (3.34 — 3.39).

Максимальное и минимальное значение случайной погрешности, например, фазового сдвига (по 3.55) можно определить из: