Магнитное поле

• Введение
• Глава 1. Магнитное поле
• 1.1 Взаимодействие токов
• 1.2 Магнитное поле электрического тока
• Глава 2. Закон био-савара-лапласа и его частные случаи
• 2.1 Закон Био-Савара-Лапласа
• 2.2 Поле прямого тока
• 2.3 Круговой ток
• 2.4 Суперпозиция магнитных полей
• 2.5 Циркуляция вектора напряжённости магнитного поля
• Глава 3. Действие магнитных полей на движущиеся токи и заряды
• 3.1 Сила Ампера
• 3.2 Сила Лоренца
• 3.3 Движение заряженных частиц в магнитном поле
• 3.4 Опыт Буша. Метод магнитной фокусировки
• 3.5 Эффект Холла
• 3.6 Работа при движении проводника с током в магнитном поле
• Глава 4. Ускорители заряженных частиц
• 4.1 Линейный ускоритель
• 4.2 Линейный резонансный ускоритель
• 4.3 Циклотрон
• 4.4 Фазотрон
• 4.5 Синхротрон
• 4.6 Синхрофазотрон
• 4.7 Бетатрон
• Заключение
• Литература

Целью данной курсовой работы является изучение раздела: магнитное поле, его основных характеристик и явлений, происходящих в нём. Так же необходимо разработать некоторые демонстрации, позволяющие увидеть материал, изложенный в данной курсовой работе, чтобы лучше усвоить его. Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:

1. Изучить основные характеристики магнитного поля,

2. Изучить явления, происходящие в магнитном поле,

3. На основе изученного материала создать демонстрации во Flash по данной теме.

Данная курсовая работа может быть использована студентами или школьниками, как наглядное пособие, при изучении раздела: магнитное поле или некоторых тем из данного раздела для лучшего понимания этой темы.

Глава 1. Магнитное поле

1.1 Взаимодействие токов

Рассмотрим два тонких параллельных проводника, по которым текут токи и, расположенные на расстоянии b (рис. 1.1).

Пропустим токи в одном направлении, тогда они будут притягиваться с силой. Если пропустить токи в различных направлениях, тогда проводники будут отталкиваться. Ампер экспериментально установил силу взаимодействия между токами:

(1)

где K — коэффициент пропорциональности, b — расстояние между проводниками. Если токи не параллельные, то сила F иная, но характер взаимодействия тот же. К силе притяжения и отталкивания добавляется сила, стремящаяся повернуть проводники в параллельное положение.

где — магнитная постоянная.

.

Пусть ==1А, b=1м. если подставить эти значения в (1), то получим:

.

1 Ампер — это сила, не изменяющегося тока, текущего по двум параллельным проводникам бесконечной длины, расположенных в вакууме на расстоянии 1 м и вызывающих силу взаимодействия .

1.2 Магнитное поле электрического тока

Индукция и напряжённость магнитного поля

Взаимодействие проводников (токов) происходит посредствам магнитного поля. Впервые замечено Эрстедом на опытах проводников с током и магнитных стрелок. Магнитное поле — материальная субстанция, не регистрируемая органами чувств, однако имеет свои физические характеристики. В опыте Эрстеда проволока, по которой тёк ток, была вытянута над магнитной стрелкой, вращающийся на игле. При включении тока стрелка устанавливалась перпендикулярно к проволоке. Изменение направления тока заставляло стрелку повернуться в противоположную сторону.

Электрическое поле создаётся неподвижными электрическими зарядами, магнитное поле — движущимися электрическими зарядами (электрическими токами) и при этом не оказывает действия на покоящийся заряд. Сила возникает лишь тогда, когда заряд движется. Проводник с током представляет собой электрически нейтральную систему зарядов, в которой заряды одного знака движутся в одну сторону, а заряды другого знака движутся в противоположную сторону (либо покоятся). Отсюда следует, что магнитное поле порождается движущимися зарядами. Итак, движущиеся заряды (токи) изменяют свойства окружающего их пространства — создают в нём магнитное поле. Это поле проявляется в том, что на движущиеся в нём заряды (токи) действуют силы.

Магнитное поле описывается магнитными силовыми линиями и проявляется действием силы на электрические токи. Индикатор электрического поля — пробный электрический заряд, индикатор магнитного поля — пробный замкнутый контур с током (рис. 1.2).

При помещении пробного контура с током в любую точку, где нужно определить магнитное поле, контур будет ориентироваться (поворачиваться) так, чтобы его нормаль установилась по полю. Направление нормали будет показывать направление магнитного поля в данной точке. Поместим пробный контур в некоторую точку магнитного поля, контур установится по полю. Нормаль связана с током в контуре по правилу правого винта. За направление поля принимают направление положительной нормали контура. На контур в магнитном поле будет действовать магнитный момент, стремящийся повернуть нормаль контура по полю. Если нормаль и направление поля имеют угол — минимальный момент, — максимальный момент. Контур, по которому течёт ток, обладает собственным магнитным моментом, который пропорционален току и площади контура .

Различные пробные контуры при внесении в данную точку будут обуславливать различные вращательные моменты, но отношение (- максимальный вращающий момент) будет для всех точек одинаково и пропорционально магнитной индукции (). Производная от магнитной индукции () — напряжённость магнитного поля (H), которые задаются следующим образом:

, ,

где — магнитная проницаемость вещества (безразмерная величина). Величины B и H — векторные величины. H=1 A/м

1 А/м — напряжённость такого поля, магнитная индукция которого в вакууме равна. B=1 Тл=1 Н/ (А•м)

1 Тл — магнитная индукция такого однородного магнитного поля, которое действует с силой 1 Н на каждый метр длины прямолинейного проводника, расположенного перпендикулярно направлению поля, если по этому проводнику проходит ток 1 А.

За направление магнитного поля в любой точке принимают направление, в котором ориентируются векторы и. Магнитное поле описывается магнитными силовыми линиями, которые всегда замкнуты (тонкие металлические опилки определённым образом ориентируются вокруг проводников с током (магнитов) — магнитные силовые линии).

магнитное поле ток заряд

Глава 2. Закон био-савара-лапласа и его частные случаи

2.1 Закон Био-Савара-Лапласа

Био и Савар проводили опыты по ориентации магнитных стрелок возле токов различных конфигураций. Лаплас, обобщив математически их опыты, показал, что каждый элемент тока обуславливает в окружающем себя пространстве магнитное поле, которое вычисляется как суммарное поле, создаваемое на элементарных отдельных участках тока (рис. 2.1).

Рассмотрим проводник произвольной формы, по которому течёт ток i. Выделим на нём элементарный участок dl. Найдём магнитное поле в точке 1 на расстоянии r от dl, которое составляет с dl угол .

Закон Био-Савара-Лапласа:

; (2.1),, (2.2)

где dl — вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током, r — радиус-вектор, проведённый из элемента dl проводника в точку 1 поля.

2.2 Поле прямого тока

Рассмотрим прямолинейный проводник (рис. 2.2), по которому течёт ток i. Выделим на нём элементарный участок dl на расстоянии радиус-вектора .

Найдём индукцию поля:

; (2.3)

. (2.4)

С учётом малого угла получаются выражения (2.3) и (2.4). Подставим (2.3), (2.4) в (2.2) и получим:

;

;

Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока

где b — минимальное расстояние от точки, где создаётся индукция до точки, где она находиться.

Линии магнитной индукции поля прямого тока представляют собой систему охватывающих провод концентрических окружностей (рис 2.3).

Правило Буравчика для прямого тока.

Пусть поступательное движение буравчика (острия) совпадает с направлением тока, вращательное движение рукоятки показывает плоскость и направление магнитных силовых линий, касательная к ним в любой точке совпадает с вектором или (рис. 2.4).

2.3 Круговой ток

Рассмотрим круговой ток радиусом r.

Найдём напряжённость магнитного поля в центе кругового тока:

; ;

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током

.

Правило Буравчика для кругового тока.

Пусть вращательное движение рукоятки Буравчика совпадает с направлением тока, тогда поступательное движение будет показывать вектор или в центе кругового тока (рис. 2.5).

2.4 Суперпозиция магнитных полей

Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: поле B, порождаемое несколькими движущимися зарядами (токами), равно векторной сумме полей, порождаемых каждым зарядом (током) в отдельности:

Рассмотрим два параллельных тока, текущих в противоположных направлениях, по двум проводникам. Найдём напряжённость магнитного поля в точках А, В, С (рис. 2.6).

2.5 Циркуляция вектора напряжённости магнитного поля

Циркуляцией вектора напряжённости является функция. Рассмотрим два случая:

1) пусть ток и контур взаимно перпендикулярны, т. е. лежат в плоскости, перпендикулярной току (рис. 2.7). Найдём направление в точке 1. Внешний контур — произвольный контур. Найдём проекцию на dl. Исходя, из свойства скалярного произведения имеем зависимость:

; (2.5), (2.6),

Учитывая (2.6) получим:

. (2.7)

Проинтегрируем (2.7) и тогда получим:

— закон полного тока.

Если контур охватывает несколько токов, то зависимость будет иметь вид:

(2.8)

(2.8) — закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора ): циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром.

Сравнив, получим выражение для магнитного и электрического полей:

Из сравнения видно, что электрическое поле потенциально, т. е. может быть охарактеризовано потенциалом, магнитное поле соленоидально, т. е. носит вихревой характер. Линии электрического поля начинаются и заканчиваются на зарядах или уходят в бесконечность. Линии магнитного поля замкнуты, т. е. в природе не существует магнитных зарядов, магнитного монополя.

Глава 3. Действие магнитных полей на движущиеся токи и заряды

3.1 Сила Ампера

Рассмотрим проводник произвольной формы, по которому течёт ток. Если поместить его в магнитное поле, то на проводник будет действовать сила, которая называется силой Ампера (рис. 3.1).

Направление силы Ампера вычисляется по правилу левой руки: левую руку ставим так, чтобы 4 вытянутых пальца совпадали с направлением тока, магнитные силовые линии входили в ладонь, тогда отогнутый на 90° большой палец покажет направление силы Ампера.

3.2 Сила Лоренца

Пусть в проводнике течёт ток, который обуславливается направленным движением заряженных частиц. Найдём силу, действующую на единичную частицу в магнитном поле, учтём при этом:; .

Тогда получим:

;

.

Сила, действующая на одну частицу, в магнитном поле — сила Лоренца:

.

Направление силы Лоренца определяется по правилу левой руки: левую руку ставим так, чтобы 4 вытянутых пальца совпадали со скоростью движения заряда и магнитные силовые линии входили в ладонь, тогда отогнутый на 90° большой палец показывает направление силы Лоренца.

Направление силы Лоренца перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы и. Отсюда следует, что скорость движения зарядов перпендикулярна силе. Видно, что отсюда работа равна нулю.

Сила Лоренца не может совершать работу и изменять энергию частицы. Действуя магнитным полем на движущуюся заряженную частицу нельзя изменить её энергию. Так как принято исторически, что за направление силы тока принимают направление положительных зарядов, то правило левой руки справедливо лишь для положительных зарядов. Для отрицательных зарядов необходимо взять противоположное направление силе Лоренца.

3.3 Движение заряженных частиц в магнитном поле

Рассмотрим заряженную частицу, движущуюся с некоторой скоростью в магнитном поле. Рассмотрим два случая:

а) пусть частица влетает в магнитное поле под углом 90°. Найдём ускорение, действующее на частицу. Учтём при этом, что:

;

Тогда ускорение, приобретаемое частицей:

(3.1)

Под действием ускорения a частица будет двигаться по окружности радиуса R, ускорение будет центростремительным и равно:

(3.2)

Уравнение движения частицы найдём из (3.2).

(3.3), (3.4), (3.5)

Уравнения (3.3) — (3.5) описывают характеристики движения частицы по окружности, где — удельный заряд носителя (электрона).

Из (3.5) видно, что период обращения частицы не зависит от скорости, а определяется удельным зарядом и индукцией поля.

б) пусть частица влетает в магнитное поле под углом, отличным от 90°. Разложим скорости движения частицы U на нормальную составляющую, перпендикулярную полю, и параллельную составляющую в направлении поля:

даст движение частицы по окружности в случаи, описанном выше. — вдоль поля даст прямолинейное движение частицы со скоростью в направлении поля. Суммарное движение частицы будет представлять спираль (рис. 3.2), шаг которой равен:

(3.6)

Если вектор направлен перпендикулярно к плоскости чертежа, а частица движется в плоскости чертежа слева направо, то направление отклонения частицы (вверх или вниз) зависит от знака её заряда (рис. 3.3). На этом основано определение знака заряда частиц, движущихся в магнитном поле.

Если заряд положительный — спираль закручивается по часовой стрелке, если заряд отрицательный — спираль закручивается против часовой стрелки (рис. 3.2)

3.4 Опыт Буша. Метод магнитной фокусировки

Для определения удельного заряда электрона было поставлено ряд опытов. Рассмотрим метод магнитной фокусировки, который разработал Буш. При разогревании катода К из него имитируются электроны и ускоряются полем анода (рис. 3.4).

(3.7)

Чем больше напряжение U, тем больше скорость частицы. Вылетая из анода, в котором предусмотрено отвёрстие, частицы проходят, и собираются в пучок, через конденсатор и попадают в поле соленоида под небольшими углами. Частицы будут двигаться в соленоиде (магнитном поле) по спиральной траектории, за один оборот проходят расстояние (3.6). Двигая экран таким образом, чтобы частицы фокусировались на экране, т. е.

(3.8)

где n — угловое число.

Решая совместно уравнения (3.6), (3.7), (3.8), подставляя экспериментальные данные, получаем значение для электрона:

3.5 Эффект Холла

Эффект Холла — это возникновение в металле (или полупроводнике) с током плотностью, помещённом в магнитное поле B, электрического поля в направлении, перпендикулярном и B.

Рассмотрим плоскопараллельную металлическую пластинку (рис. 3.5), пропустим вдоль одной из граней ток плотностью. В проводнике возникает электрическое поле, эквипотенциальные поверхности 1, 2 будут перпендикулярны граням. Пропустим вдоль смежной грани магнитное поле индукцией B, тогда эквипотенциальные поверхности будут наклонные, на оставшихся гранях возникает разность потенциалов и — эффект Холла.

При помещении металлической пластинки в магнитное поле на каждый движущийся электрон будет действовать сила Лоренца, которая в соответствии с правилом левой руки будет отклонять электроны к верхней грани, где будет обуславливаться избыточный отрицательный заряд, а на нижней грани — их недостаток (избыточный положительный заряд). В результате этого между краями пластинки возникает поперечное электрическое поле, направленное снизу вверх. Когда напряжённость этого поперечного поля достигает такой величины, что его действие на заряды будет уравновешивать силу Лоренца, то установится стационарное распределение зарядов в поперечном направлении. Тогда

где d — ширина пластинки, — поперечная (холловская) разность потенциалов. Учтём, что сила тока

где S — площадь поперечного сечения пластинки толщиной a, n — концентрация электронов, — средняя скорость упорядоченного движения электронов. Тогда получим

(3.9)

где R — постоянная Холла, зависящая от вещества.

Т.е. холловская поперечная разность потенциалов прямо пропорциональна магнитной индукции B, силе тока I и обратно пропорциональна толщине пластинки a.

Постоянная Холла зависит от заряда носителей e и концентрации носителей n. Следовательно, измеряя холловскую разность потенциалов в металлах можно найти концентрацию носителей тока внутри проводника. Знак холловской разности потенциалов зависит от знака заряда носителей. Зная электропроводность металла можно найти и определить в отдельности концентрацию, знак носителей. Поэтому эффект Холла наиболее эффективный метод изучения энергетического спектра носителей тока в металлах и полупроводниках.

3.6 Работа при движении проводника с током в магнитном поле

Рассмотрим контур прямоугольной формы с током, образованный неподвижными проводами и скользящей по ним подвижной перемычкой длиной l (рис. 3.6). Пусть контур находится во внешнем магнитном поле, которое однородно и перпендикулярно к плоскости контура. Сила F, действующая на перемычку, будет направлена вправо и равна (рис. 3.6):

Подсчитаем работу, которую совершают силы над проводником

,

где Ф — магнитный поток.

Ф = [Вб (Вебер)]

1Вб=1Тл•1мІ

Глава 4. Ускорители заряженных частиц

Ускорителями заряженных частиц называются устройства, в которых под действием электрических и магнитных полей создаются и управляются пучки высокоэнергетичных заряженных частиц (электронов, протонов, мезонов и т. д.).

Любой ускоритель характеризуется типом ускоряемых частиц, энергией, сообщаемой частицам, разбросом частиц по энергиям и интенсивностью пучка. Ускорители делятся на непрерывные (из них выходит равномерный по времени пучок) и импульсные (из них частицы вылетают порциями — импульсами). Последние характеризуются длительностью импульса. По форме траектории и механизму ускорения частиц ускорители делятся на линейные, циклические и индукционные. В линейных ускорителях траектории движения частиц близки к прямым линиям, в циклических и индукционных ускорителях — траекториями частиц являются окружности или спирали.

Рассмотрим некоторые типы ускорителей заряженных частиц.

4.1 Линейный ускоритель

Ускорение частиц осуществляется электростатическим полем, создаваемым, например, высоковольтным генератором Ван де Граафа. Заряженная частица проходит поле однократно: заряд Q, проходя разность потенциалов, приобретает энергию. Таким способом частицы ускоряются до 10МэВ. Их дальнейшее ускорение с помощью источников постоянного напряжения невозможно из-за утечки зарядов, пробоев и т. д.

4.2 Линейный резонансный ускоритель

Ускорение заряженных частиц осуществляется переменным электрическим полем сверхвысокой частоты, синхронно изменяющимся с движением частиц. Таким способом протоны ускоряются до энергии порядка десятков мегаэлектрон-вольт, электроны — до десятков гигаэлектрон-вольт.

4.3 Циклотрон

Циклотрон — циклический резонансный ускоритель тяжелых частиц (протонов, ионов). Его схема приведена на рис. 4.1 Между полюсами сильного электромагнита помещается вакуумная камера, в которой находятся два электрода (1 и 2) в виде полых металлических полуцилиндров, или дуантов. К дуантам приложено переменное электрическое поле. Магнитное поле, создаваемое электромагнитом, однородно и перпендикулярно плоскости дуантов.

Если заряженную частицу ввести в центр зазора между дуантами, то она, ускоряемая электрическим и отклоняемая магнитным полями, войдя в дуант 1, опишет полуокружность, радиус которой пропорционален скорости частицы. К моменту ее выхода из дуанта 1 полярность напряжения изменяется (при соответствующем подборе изменения напряжения между дуантами), поэтому частица вновь ускоряется и, переходя в дуант 2, описывает там уже полуокружность большего радиуса и т. д.

Для непрерывного ускорения частицы в циклотроне необходимо выполнить условие синхронизма (условие «резонанса») — периоды вращения частицы в магнитном поле и колебаний электрического поля должны быть равны. При выполнении этого условия частица будет двигаться по раскручивающейся спирали, получая при каждом прохождении через зазор дополнительную энергию. На последнем витке, когда энергия частиц и радиус орбиты доведены до максимально допустимых значений, пучок частиц посредством отклоняющего электрического поля выводится из циклотрона.

Циклотроны позволяют ускорять протоны до энергий примерно 20 МэВ. Дальнейшее их ускорение в циклотроне ограничивается релятивистским возрастанием массы со скоростью, что приводит к увеличению периода обращения (он пропорционален массе), и синхронизм нарушается. Поэтому циклотрон совершенно неприменим для ускорения электронов (при E=0,5 МэВ т = 2, при E=10 МэВ m=28m₀).

Ускорение релятивистских частиц в циклических ускорителях можно, однако, осуществить, если применять предложенный в 1944 г. советским физиком В. И. Векслером (1907;1966) и в 1945 г. американским физиком Э. Мак-Милланом принцип автофазировки. Его идея заключается в том, что для компенсации увеличения периода вращения частиц, ведущего к нарушению синхронизма, изменяют либо частоту ускоряющего электрического, либо индукцию магнитного полей, либо то и другое. Принцип автофазировки используется в фазотроне, синхротроне и синхрофазотроне.

4.4 Фазотрон

Фазотрон (синхроциклотрон) — циклический резонансный ускоритель тяжелых заряженных частиц (например, протонов, ионов, — частиц), в котором управляющее магнитное поле постоянно, а частота ускоряющего электрического поля медленно изменяется с периодом. Движение частиц в фазотроне, как и в циклотроне, происходит по раскручивающейся спирали. Частицы в фазотроне ускоряются до энергий, примерно равных 1 ГэВ (ограничения здесь определяются размерами фазотрона, так как с ростом скорости частиц растет радиус их орбиты).

4.5 Синхротрон

Синхротрон — циклический резонансный ускоритель ультрарелятивистских электронов, в котором управляющее магнитное поле изменяется во времени, а частота ускоряющего электрического поля постоянна. Электроны в синхротроне ускоряются до энергий 5−10 ГэВ.

4.6 Синхрофазотрон

Синхрофазотрон — циклический резонансный ускоритель тяжелых заряженных частиц (протонов, ионов), в котором объединяются свойства фазотрона и синхротрона, т. е. управляющее магнитное поле и частота ускоряющего электрического поля одновременно изменяются во времени так, чтобы радиус равновесной орбиты частиц оставался постоянным. Протоны ускоряются в синхрофазотроне до энергий 500 ГэВ.

4.7 Бетатрон

Бетатрон — циклический индукционный ускоритель электронов, в котором ускорение осуществляется вихревым электрическим полем, индуцируемым переменным магнитным полем, удерживающим электроны на круговой орбите. В бетатроне в отличие от рассмотренных выше ускорителей не существует проблемы синхронизации. Электроны в бетатроне ускоряются до энергий 100 МэВ. При W>100 МэВ режим ускорения в бетатроне нарушается электромагнитным излучением электронов. Особенно распространены бетатроны на энергии 20−50 МэВ.

Заключение

Итак, между движущимися зарядами (а, следовательно, и между проводниками с током) существует магнитное взаимодействие, которое передаётся через магнитное поле. Магнитное поле обнаруживается по действию на постоянные магниты, в частности магнитные стрелки, а так же рамку с током. На магнитную стрелку и рамку с током магнитное поле оказывает ориентирующее действие. Магнитное поле порождается движущимися заряженными частицами (электрическим током), постоянными магнитами, а также изменяющимся электрическим полем. Силовой характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции .

Если поместить проводник в магнитное поле, то на проводник будет действовать сила, которая называется силой Ампера и определяется по правилу левой руки. Сила, действующая на одну частицу, в магнитном поле называется силой Лоренца и определяется то же по правилу левой руки. Правило левой руки для силы Лоренца справедливо лишь для положительных зарядов, для отрицательных зарядов необходимо взять противоположное направление силе Лоренца.

Ускорителями заряженных частиц называют устройства для получения заряженных частиц (электронов, протонов, атомных ядер, ионов), обладающих очень большой кинетической энергией. Увеличение энергии ускоряемых частиц происходит под действием электрического поля ускорителя. В зависимости от типа ускорителя это поле может быть электростатическим, индуктированным или переменным высокочастотным. Соответственно ускорители делятся на электростатические (или высоковольтные), индукционные и резонансные. По форме траектории ускоряемых частиц различают линейные и циклические ускорители. В линейных ускорителях траектории частиц близки к прямым линиям, а в циклических — имеют вид окружностей или раскручивающихся спиралей.

В ходе данной работы были разработаны демонстрации в программе Flash (название демонстраций: определения направления магнитного поля, правило левой руки, правило левой руки для силы Лоренца, правило буравчика для прямого тока, эффект Холла) для наглядности данных законов и явлений.

1. Савельев, И. В. Курс общей физики: Электричество и магнетизм. Волны. Оптика / И. В. Савельев. — М.: Наука, 1982. — 496.

2. Матвеев, А. Н. Электричество и магнетизм / А. Н. Матвеев. — М.: Высшая школа, 1983. — 463.

3. Трофимова, Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. — М.: Высшая школа, 2002. — 541.

4. Переверзев, С. И. Анимация в Macromedia Flash MX / С. И. Переверзев. — М.: Бином, 2005. — 265.

5. Капустин, М.А. Flash MX для профессиональных программистов / М. А. Капустин. — М.: Бином, 2006. — 275.