Модернизация геостатистических методов и разработка схемы исследования распространения показателей состояния здоровья населения и изучения причинно-следственных связей в определенных городских локациях

Цифровые модели, полученные по геостатистическим методам интерполяции

Рассматриваемый метод интерполяции, кригинг (kriging), оптимизирует процедуру интерполяции на основе статистической природы Поверхности [Oliver and Oliver, 1990]. Кригинг использует идею регионализированной переменной (regionalized variable) [Blais and Carlier, 1967; Matheron, 1967], которая изменяется от места к месту с некоторой видимой непрерывностью, но не может моделироваться только одним математическим уравнением. Оказывается, многие топографические поверхности подходят под это описание, также как и поверхности изменения качества руды, вариации качества почв и даже некоторые показатели растительности (Рисунок 25)[37].

Рисунок 25. Элементы кригинга Дрейф (общая тенденция), случайные, но пространственно коррелированные высотные колебания (небольшие отклонения от общей тенденции), и случайный шум («камни»), иллюстрируемые восхождения по склону горы.

Кригинг обрабатывает эти поверхности так, считая их образованными из трех независимых величин. Первая, называемая дрейфом или структурой (drift or structure) поверхности, представляет поверхность как общий тренд в определенном направлении. Далее, кригинг предполагает, что имеются небольшие отклонения от этой общей тенденции, вроде маленьких пиков и впадин, которые являются случайными, но все же связанными друг с другом пространственно (мы говорим, что они пространственно коррелированны). Наконец, мы имеем случайный шум (random noise), который не связан с общей тенденцией и не имеет пространственной автокорреляции. Кларк [Clarke, 1990] удачно иллюстрирует этот набор значений посредством аналогии: когда мы идем вверх по горе, рельеф местности изменяется в восходящем направлении между отправной точкой и вершиной; это — дрейф. По пути мы встречаем локальные снижения и повышения, сопровождаемые случайными, но коррелированными высотами. Также по пути нам встречаются камни, которые приходится переступать, их можно представлять как шум значения высоты, так как они не связаны непосредственно с основной поверхностной структурой, прежде всего создающей изменения высоты (Рисунок 25).

С каждой из трех переменных надо оперировать в отдельности. Дрейф оценивается с использованием математического уравнения, которое наиболее близко представляет общее изменение поверхности, во многом подобно поверхности тренда. Ожидаемое значение высоты измеряется с использованием вариограммы (variogram, semivariogram) (Рисунок 26), на которой по горизонтальной оси откладывается расстояние между отсчетами, называемое лагом (lag), вертикальная ось несет так называемую полудисперсию (semivariance), которая определяется как половина дисперсии (квадрата стандартного отклонения) между каждым значением высоты и его соседями [37].

Таким образом, полудисперсия является мерой взаимосвязи значений высоты, зависящей от того, как близко друг к другу они находятся. Затем через точки данных проводится кривая наилучшего приближения, давая нам меру пространственно-коррелированной случайной компоненты. Посмотрев внимательно на график полудисперсии, вы можете заметить, что когда расстояние между точками отсчета высоты мало, полудисперсия тоже мала. Это значит, что значения высоты близки и, следовательно, взаимосвязаны вследствие их пространственной близости. С ростом расстояния между точками растет и полудисперсия, показывая быстрый спад пространственной корреляции значений. Наконец достигается критическое значение лага, известное как предельный радиус корреляции (range), при котором дисперсия достигает предела и в дальнейшем остается постоянной. Чем ближе друг к другу находятся отсчеты внутри диапазона роста (т.е. от Нуля до точки прекращения роста кривой на графике), тем более похожими они должны быть. За пределами радиуса корреляции расстояние между точками не имеет значения, они совершенно независимы на любом удалении, превышающем радиус. Это говорит нам о том, какая окрестность должна быть использована (например, в ОВР-интерполяции), чтобы охватить все точки, значения высоты которых будут взаимосвязаны [37,68].

Она показывает связь между точками данных и аппроксимирующей линией. Обратите внимание, что в некотором диапазоне 1 значений лага высоты связаны друг с другом (дисперсия высот связана с лагом), I вне его нет вообще никакой связи (дисперсия достигает максимального значения), так как точки находятся слишком далеко друг от друга.

Третьим по важности моментом графика является то, что аппроксимирующая кривая не проходит через начало координат. По идее, если между отсчетами нет расстояния, то не должно быть и дисперсии, так как отсчеты являются по сути одной точкой. Но нужно помнить, что кривая является оценочной. Разница между нулевой дисперсией при нулевом значении и предсказываемым положительным значением, является остаточной пространственно-некоррелированной «шумовой» дисперсией, которая называется остаточной дисперсией (nugget variance). Как указывает Бэрро| [Burrough, 1986], эта остаточная дисперсия «объединяет дисперсию измерения с пространственной дисперсией, которая имеет место на расстояниях, гораздо меньших, чем интервал взятия отсчетов, и которые в дальнейшем не могут быть устранены».

Теперь, имея три составляющие регионализированной переменной, определенные вариограммой, можно определить веса, необходимые для выполнения интерполяции в локальных окрестностях. Однако, в отличие от ОВР, веса для интерполяции в пределах окрестностей выбираются с целью минимизации дисперсии оценки для всех комбинаций отсчетов высоты. Эта дисперсия может быть получена непосредственно из модели, по которой была прежде создана вариограмма [69].

В отличие от детерминированных интерполяторов, кригинг представляет статистический способ прогнозирования. В кригинге предсказываемое значение зависит от двух факторов: тренда и дополнительного элемента изменчивости. Это интуитивная идея с множеством аналогий в реальном мире нашла свое воплощение в современных математических моделях многомерных случайных процессов. Например, если вы идете от океана к вершине горы, при подъеме вы имеете восходящий тренд. Тем не менее, по дороге могут быть изменения — вы будете идти и вверх и вниз, преодолевая буераки, реки, раки и другие особенности рельефа [38].

Другой пример (не географический) это фондовый рынок. Традиционно тренд рынка растет, но это не значит, что он растет каждый день. Существует определенное количество дневных флуктуаций и отклонений от тренда [69].

В кригинге трендовая часть прогноза называется трендом, а флуктуационная часть называется пространственно-автокоррелируемой случайной ошибкой. Термин «Ошибка» означает отклонение от тренда. «Случайная» означает, что флуктуация (отклонение) от тренда не известна заранее, это может быть движение вверх или вниз при восхождении, это может быть выше или ниже среднего подъема фондового рынка. Термин пространственно автокоррелируемая означает, что пока флуктуации точно не известны заранее, у них могут быть обе тенденции — быть и выше и ниже среднего, в каком бы близком соседстве они ни находились. Это положительная пространственная автокорреляция. Также возможна отрицательная пространственная автокорреляция, при которой, если одна позиция выше среднего, то ближайшая позиция стремится быть ниже среднего [68,69].

Можно применить эти концепции тренда и случайной ошибки с учетом процедур перехода к ранговым выборкам в растрах и представить их в виде уравнения вида [37]:

Ж (s) = м (s) + е (s).

где s — местоположение предсказываемой локации (как представление пары координат х, у).

Ж (s) — предсказываемое значение.

м (s) — это детерминированный тренд .

е (s) — пространственно автокоррелируемая случайная ошибка.

Это уравнение формулирует идею о том, что прогнозируемые значения зависят от тренда и локальной флуктуации в тренде. Поскольку переменные в этой формуле — основа всех видов кригинга, необходимо познакомиться с ними поближе. Начнем, справа налево.

Относительно е (s), случайной ошибки пространственной автокорреляции, делается два предположения. Первое предположение — среднее значение равно 0. Другими словами, некоторые флуктуации будут по одну сторону тренда, некоторые — по другую, но различия, в среднем, будут поглощать друг друга.

Второе предположение таково, что автокорреляция ошибки исключительно пространственная, она зависит только от расстояния и больше ни от каких других свойств (таких как расположение) локации.

Автокорреляция между е (s) and е (s+h) не зависит от реального местоположения S, а только от расстояния h между локациями. Предполагается, что случайные ошибки пар локаций, связанных стрелками, имеют одинаковую автокорреляцию, так как расстояние между точками в парах одинаковое (Рисунок 27).

Рисунок 27. Векторы автокорреляции.

Теперь обсудим трендовую составляющую уравнения. Тренд это устойчивая модель данных, которая объясняется некоторыми физическими свойствами поверхности. Средняя дневная температура изменяется в соответствии с географической широтой, распространение переносимых по воздуху осадков изменяется в соответствии с преобладающим направлением ветра. Все это постоянные шаблоны данных, которые можно принять во внимание в модели прогноза.

Тем не менее, во многих случаях тренд в данных отсутствует, или, если он есть, то достаточно слабый, и его можно не учитывать. Предположение, что в данных нет тренда, математически эквивалентно предположению, что данные имеют постоянное среднее значение. Если среднее это простая константа, как например м (s) = м (т.е. тренда нет) для всех локаций s, и если м — неизвестно (предварительно среднее значение не известно), то это модель, на которой основан Ординарный Кригинг (Рисунок 28)[69].

Точечная линия представляет постоянное неизвестное среднее значение, по вертикали — измеренные значения. Ординарный Кригинг допускает, что данные имеют постоянное среднее значение (без тренда) и что среднее значение заранее не известно.

Рисунок 28. Измеренные значения. Ординарный киринг Значения данных (красные точки) понимаются как случайные ошибки, которые колеблются вокруг неизвестного среднего. Случайные ошибки являются автокоррелируемыми, что значит, что они имеют тенденцию быть больше или меньше среднего подобно их соседям.

Иногда, как в примере выше, существует тренд, когда данные меняются в соответствии с пространственными координатами. Математически это представляется как уравнение линейной регрессии с пространственными х и у координатами. Изменяющиеся тренды (не имеющие постоянного среднего) и для которых неизвестны коэффициенты регрессии, формируют модели для Универсального Кригинга (Рисунок 29)[69].

Рисунок 29. Измеренные значения. Универсальный киринг Точечная линия представляет тренд. Универсальный кригинг предполагает, что в данных есть тренд, но элементы функции тренда заранее не известны. Значения данных (красные точки) понимаются как случайные ошибки, которые колеблются вокруг неизвестного тренда. Случайные ошибки автокоррелируются, что значит, что они имеют тенденцию быть больше или меньше тренда подобно их соседям.

Независимо от того, является тренд постоянным или переменным, если его элементы (все параметры и ковариации) полностью известны заранее, то это модель для Простого кригинга [69].

Теперь рассмотрим левую сторону уравнения Ж (s) = м (s) + е (s). Можно проделать некоторые полезные математические операции над Ж (s). Например, нужно предсказать возможность того, что Ж (s) меньше или больше некоторого порогового значения, например 0,12 ppm для концентрации озона. Можно преобразовать Ж (s) в индикаторную переменную, которая принимает значение 0, если Ж (s) меньше порогового значения, или 1, если больше. Это называется Индикаторным кригингом.

Также можно сделать общие неспецифические преобразования данных, назовем их fi (Ж (si)) для i-ой переменной. Например, можно взять логарифм некоторых данных и квадратный корень других данных. Затем из этих преобразований можно сформировать предсказатель для каждой точки данных. Также можно сделать различные преобразования для локации, которую нужно предсказать и которую обозначим как g (Ж (s0)). Примечательно, что при ранговой процедуре не нужно точно определять преобразование для данных, только преобразование для прогнозируемой локации.

Дизъюнктивный кригинг [69] после использования непараметрических процедур осуществляется уже робастный поиск среди всех возможных преобразований данных, чтобы получить предсказатель для g (Ж (s0)). Его модель:

f (Z (s)) = м1 + е (s), где м1=const, f (Z (s)) = I (Z (s) > ct.

В геоанализе существует только одна опция для преобразования предсказываемой локации, и это индикаторное преобразование. Если преобразование не определено, то предполагаем, что прогнозируемая локация не преобразована, тем не менее, все возможные преобразования могут быть рассчитаны.

До сих пор мы рассматривали ситуации с одной переменной. Также можно работать с более чем одной переменной, используя равенство Жj (s) = мj (s) + еj (s) для j-ого типа переменной. В такой ситуации можно рассматривать разные тренды для каждой переменной, и в дополнение к автокорреляции для ошибок еj (s), есть кросскорреляция между ошибками еj (s) и еk (s) для двух типов переменных. Например, можно рассмотреть кросскорреляцию между двумя переменными, например, концентрации озона и твердых частиц в воздухе (которые не обязательно должны быть измерены в одних и тех же локациях). Кокригинг — это применение Кригинга для более чем одной переменной.

Все формы Кригинга, которые можно применить для одной переменной, также можно применить для более чем одной переменной, это будет Ординарный Кокригинг, Универсальный Кокригинг, Простой Кокригинг, Индикаторный Кокригинг, Вероятностный Кригинг и Вероятностный Кокригинг, и Дизъюнктивный Кокригинг [37, 69].

Кригинг часто дает довольно точные оценки пропущенных значений, но эта точность обходится ценой времени и вычислительных ресурсов. Но даже при этом кригинг имеет еще одно преимущество перед другими методами интерполяции, — он не только дает интерполированные значения, но также и оценку возможной ошибки этих значений. Это может навести на мысль, что данный метод следует применять повсеместно. Но, когда мы имеем дело с большим уровнем локального шума из-за ошибок измерений или большие вариации высоты между отсчетами, в данном методе становится трудным построение кривой полудисперсии. А в таких условиях результаты кригинга будут не лучше, чем полученные другими методами [68].

В векторных моделях данных (чаще всего TIN) процесс интерполяции проще всего выполняется выборкой точек с их значениями высоты и преобразованием их в точечную матрицу высот. И уже к этому точечному покрытию может быть применен один из описанных алгоритмов. В действительности, сама модель TIN может выполнять интерполяцию [McCullagh and Ross, 1980], но это мы оставим для более углубленного курса геоинформатики. В растровых покрытиях значения высоты соотносятся с точками, расположенными внутри каждой ячейки (например в центре). Для интерполяции мы можем использовать именно эти точки действовать по одному из описанных выше методов. В этом случае интерполируемым ячейкам растра присваиваются значения высоты, полученные для представляющих их точек. Если ГИС не содержит нужного алгоритма, то, как правило, возможно преобразовать точечные покрытия в форму, понимаемую специализированным программным обеспечением, рассчитанным на работу с пространственными данными. Затем его выходные данные могут быть преобразованы обратно для дальнейшего анализа внутри ГИС. Существуют и другие обзоры метода интерполяции, к которым можно обратиться [Lam, 1983; Flowerdewai Green, 1992], [70].

Выбор метода интерполяции [68]. Сравнение детерминированных и стохастических интерполяторов. Детерминированный интерполятор не использует случайные ошибки, связанные с прогнозами. Детерминированные интерполяторы могут создавать поверхность прогнозов, но не могут создавать поверхности стандартной ошибки, вероятностей или квантилей (все те, которые используют стандартные ошибки в своих вычислениях).

Стохастический интерполятор, будучи случайным, моделирует ошибки и использует статистические методы для оценки ошибки, связанной с предсказаниями. Стохастический интерполятор может создавать поверхности стандартной ошибки, вероятности и квантилей в дополнение к поверхностям прогноза.

Скорость интерполяции. Обратные взвешенные расстояния (IDW) и Глобальный Полином — два наиболее быстрых интерполятора — IDW из-за своей математической простоты и Глобальный Полином из-за того, что он не занимается исследованием соседства. Это означает, что не нужно делать отдельные вычисления для каждой прогнозируемой локации.

Сравнение точных и неточных интерполяторов. Точный интерполятор дает значение поверхности прогноза равное наблюдаемому значению во всех рассматриваемых локациях. Неточный интерполятор сглаживает или фильтрует данные таким образом, что значение поверхности прогноза не равно наблюдаемым значениям.

Кригинг обычно рассматривается как точный интерполятор. Тем не менее, вы можете выбрать модели с ошибками измерений. Ошибки измерений имеют место, когда ваши измерения не точны, например, когда лаборатория измеряет химические свойства почвы и в отчете указывают, что их измерения лежат в пределах + - нескольких процентов от истинного значения. Другой пример, когда измерения некоторых свойств окружающей среды производятся с помощью инструментов, точность которых имеет некоторый допуск. В таких случаях Кригинг и Кокригинг отфильтровывают ошибки измерений и больше не дают точных интерполяций.

Гибкость. Гибкий интерполятор дает возможность управлять результатами выходной поверхности через установку различных параметров. Гибкие интерполяторы требуют больше решений с вашей стороны, больше инструментов для принятия решений (таких, как инструменты анализа исследуемых данных), и более глубокого понимания того, как работает интерполятор.

Негибкий интерполятор дает небольшую возможность управлять поверхностью. Можно установить только несколько параметров, создание поверхности в основном автоматическое.

Предположения. Некоторые типы поверхностей, производимые Кригингом — такие, как поверхности квантилей — требуют предположения о нормальном распределении. Для всех типов поверхностей Кригинг предполагает, что ошибки происходят от стационарного процесса.

Таблица 4. Сравнение методов.

Метод.	Тип.	Поверхности вывода.	Скорость.	Точный интерполятор	Гибкость.	Продвинутый.	Не продвинутый.	Предполож.
Обратные взвешенные расстояния.	Детерминир.	Предсказание.	Быстро.	Да.	Не гибкий; мало параметров решений.	Мало решений.	No assessment of prediction errors; bull’s-eyes around data locations.	Нет.
Глобальный Полином.	Детерминир.	Предсказание.	Быстро.	Нет.	Не гибкий; мало параметров решений.	Мало решений.	No assessment of prediction errors; may be too smooth; edge points have large influence.	Нет.
Локальный Полином.	Детерминир.	Предсказание.	Достаточно быстро.	Нет.	Относительно гибкий; больше параметров решений.	Гибкий.	No assessment of prediction errors; may be hard to choose a good local neighborhoods.	Нет.
Базовые радиальные функции.	Детерминир.	Предсказание.	Достаточно быстро.	Да.	Гибкий; больше параметров решений.	Гибкий.	No assessment of prediction errors; may be too automatic.	Нет.
Кригинг.	Стохастич.	Предсказание; Стандартная ошибка; Вероятность; Квантиль.	Достаточно быстро.	Да (без ошибок измерений) Нет (с ошибками измерений).	Очень гибкий; assess spatial autocorrelation; получается предсказанием стандартных ошибок; много решений.	Гибкий со средствами моделирования; предсказание стандартных ошибок.	Many decisions on transformations, trends, models, parameters, and neighborhoods.	Stationarity, some methods require a normal data distribution.
Кокригинг.	Стохастич.	Предсказание; Стандартная ошибка; Вероятность; Квантиль.	Достаточно быстро.	Да (без ошибок измерений) Нет (с ошибками измерений).	Очень гибкий; use info in multiple data sets; assess spatial crosscorrelation; очень много решений.	Гибкий со средствами моделирования; предсказание стандартных ошибок.	Many decisions on transformations, trends, models, parameters, and neighborhoods.	Stationarity, some methods require a normal data distribution.

Каждый метод интерполяции имеет преимущества и недостатки. Рассмотрение преимуществ и недостатков дает возможность сделать лучший выбор (Таблица 4). Например, гибкость метода дает возможность управлять выходной цифровой поверхностью (преимущество), но требует принятия предварительных решений (возможный недостаток) [68].