Динамика материальной точки

В 1633 г. инквизиция начала процесс против Галилея по подозрению в ереси из-за его научных воззрений. Больного 70-летнего ученого доставили в Рим и, угрожая пытками, заставили подписать отречение от его взглядов на планетарное устройство мира. Только в 1971 г. католическая церковь отменила решение об осуждении Галилея. Теперь даже маленькие дети знают, что «она все-таки вертится!».

Принцип инерции Галилея: тело, предоставленное самому себе, остается неподвижным или движущимся прямолинейно и равномерно, если на него не действуют силы или действие всех сил скомпенсировано.

Другими словами, если тело нс трогать, то оно будет лежать, где лежало, или ехать, как и ехало. Как часто говорят, «но инерции». Так полагал и Ньютон, предложив нам.

1- й закон Ньютона (закон инерции): «Всякое тело продолжает удерживаться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние». Так писал сам мэтр.

Современная формулировка закона немного видоизменилась, но суть осталась прежней: «Существуют такие системы отсчета, относительно которых тело сохраняет свою скорость неизменной при отсутствии внешних сил или их взаимной компенсации. Такие системы отсчета называются инерциальными (ИСО)».

Все три утверждения суть одно и то же. Но коль скоро мы заговорили об инерции, то стоит поговорить и о мере инертности, такой как масса.

Масса и есть мера инертности тела, т. е. свойство, показывающее, насколько сильно тело сопротивляется изменению своей скорости. Попробуйте-ка подбросить вверх два разных камня — один с массой в 500 г, а второй — 5 кг. Который из них сильнее сопротивляется вашей силе? Конечно, второй. Связано это лишь с тем, что масса второго камня больше, следовательно, больше и инертность.

В повседневной жизни часто путают два понятия — массу и вес тела. Это, конечно же, не коснется вас, если вы прочитаете следующий абзац.

Вес тела. Обычно говорят, что вес тела — это сила, с которой тело действует на опору или подвес: Р = mg. Если в магазине вы просите продавца «взвесить вам килограмм фруктов», то он так и делает, «взвешивает» при помощи прибора под названием «весы». Логично предположить, что весы определяют вес (т.е. Р = mg), но вот показывают они массу (т.е. т = P/g, где g = 9,81 м/с² — ускорение свободного падения, ускорение силы тяжести). Надеюсь, теперь вы не будете путать вес с массой. А может ли вес быть равным нулю? Конечно, может. Ведь многие из вас слышали про невесомость. Это как раз тот случай, когда вес тела равен нулю, т. е. Р = mg= 0. Если тело не подвешено и не имеет опоры, то оно свободно падает. Именно в этом состоянии вес равен нулю. Вес, но не масса. А теперь подумайте над вопросом: как может произведение двух ненулевых величин (т Ф 0, g Ф 0) быть равным нулю (Р = mg = 0)? Если вы уже знаете ответ, то не зря дочитали до этого момента. Ели нет, то помните: мы с вами только в самом начале повествования, впереди еще много ответов.

2- й закон Ньютона (закон динамики). Будет правильно записать его в таком виде.

Здесь YjFj ~ векторная сумма всех сил, действующих на тело. Под дей;

i

ствием этих сил тело и приобретает ускорение а.

2-й закон Ньютона в дифференциальной форме. Выведем дифференциальную форму закона

В данном выражении учтено, что d (mv) = mdv, так как массу т считаем постоянной величиной и ее можно вынести за знак дифференцирования. Кроме того, напомню, что импульс тела определяется выражением р = mv, это значит, что d (mv) = dp и, окончательно.

Последнее выражение и называют дифференциальной формой 2-го закона Ньютона. В таком виде закон утверждает, что сила — есть производная импульса по времени. Как вы помните, производная по времени суть скорость, а следовательно, можно сказать, что сила — есть скорость изменения импульса.

Пример решения задачи.

Дано: два бруска с массами т_Л и т₂ соединены нерастяжимой нитью и перекинуты через невесомый блок так, как показано на рис. 1.6. Коэффициент трения между вторым бруском и поверхностью — k, угол наклона поверхности — а. Определить, куда и с каким ускорением а будут двигаться бруски. Найти силу натяжения нити Т.

Рис. 1.6. Иллюстрация к задаче.

Решение: на рис. 1.6 изображены направления всех сил, действующих на бруски. Запишем 2-й закон Ньютона для обоих брусков на направления их движения. При этом предположим, что система будет двигаться в сторону первого бруска (т.е. ускорение направлено налево). Если последнее неверно, то в ответе мы получим отрицательное ускорение.

Кроме того, силу трения можно выразить как.

Из (1) выразим Т и подставим в (2). Из (3) Е_тр также подставим в (2).

Раскрываем скобки в (5) и выражаем ускорение а В (4) подставляем (6).

Направление ускорения будет зависеть от числового значения знаменателя в выражении (6) и совпадет с выбранным нами направлением в случае, если.

3-й закон Ньютона. Нам он знаком в формулировке: сила действия равна силе противодействия. Или: два тела взаимодействуют друг с другом с силами, равными по модулю и противоположными по направлению: F_n = -F_2V

Давайте попробуем разобраться в этом более детально. Представьте, что вы привязали веревку к стене и тянете за нее с некоторой силой F. Вам кажется, что, согласно последнему утверждению, стенка отвечает вам «взаимностью» и тянет в противоположную сторону с силой -F. Вы можете регулировать свою мышечную силу, увеличивать или уменьшать ее. Значит ли это, что стена будет в ответ регулировать свою? Нет. Но, тем не менее,^{12 =} «^2Г Как понять физику этого процесса? Очень просто: если считать, что 2-й закон Ньютона верен, то верен и 1-й закон Ньютона, ибо он — частный случай закона динамики. Если тело неподвижно или движется равномерно (т.е. v = const, а = 0), то и F= та = 0. Равенство нулю силы означает, что на тело силы не действуют или они скомпенсированы. Мы получили формулировку 1-го закона.

А теперь снова вернемся к стене и веревке. Если верен 1-й закон Ньютона (а следовательно и 2-й), то верен и 3-й закон. Посмотрите на стену — она неподвижна. Ее скорость равна нулю. Следовательно, согласно 1-му закону, сумма всех сил тоже должна быть равна нулю. Одну ненулевую силу мы точно ощущаем — это сила наших мышц, тянущих за веревку. Значит должна быть и другая сила, в сумме с нашей дающая ноль. Да, она есть. Это сила упругости веревки. Стена тут, как вы, наверное, догадались, не при чем.

Таким образом, все три закона Ньютона есть проявления одного и того же физического принципа.

Границы применимости законов. Следует отметить, что все законы и принципы, которые мы рассматриваем в этом разделе, справедливы лишь для инерциальных систем отсчета (ИСО). В неинерциальных системах отсчета (НИСО) они имеют совершенно иной вид, но об этом мы поговорим позже.

Пример: движение тела в поле силы тяжести Земли Рассмотрим падение тела в поле силы тяжести. В этом случае, согласно 2-му закону Пыотона, F — та = m (d²x/dt?). В параграфе 1.1 мы уже говорили об уравнении движения х = х₀ + v₀t ± at¹/2. Подставим это уравнение во 2-й закон Пыотона и учтем, что а = g

Получилось верное равенство. Из математики вам, наверное, известно, что решением уравнения является такая функция, которая при подстановке в это уравнение дает верное равенство. Что мы и получили.

Следовательно, уравнения движения (1.1) и (1.2) являются решением 2-го закона Ньютона. Тем самым мы доказали, что все описываемые до этого момента законы не просто связаны друг с другом, а являются разными проявлениями одного и того же принципа.

Более того, то же самое справедливо, если рассмотреть закон сохранения импульса.

Закон сохранения импульса. Импульс замкнутой системы тел сохраняется (не изменяется). Или.

А так ли это на самом деле? Конечно так, это мы легко докажем. Только что мы убедились в справедливости законов Ньютона, например, 3-го: (F_r, = -F._n) и 2-го: (F = dp/dt). Подставим одно в другое и получим, что.

Следовательно, закон сохранения импульса есть лишь проявление законов Ньютона. Еще раз напомню, что закон работает только в ИСО.

Движение тел с переменной массой (реактивное движение). Уравнение Мещерского. Рассмотрим случай применения закона сохранения импульса на примере движения тела переменной массы. Например, если надуть воздушный шарик и, не завязывая, выпустить его из рук, то он начнет хаотично двигаться в пространстве с некоторой скоростью. Это — пример реактивною движения. Другой пример — движение ракеты. Если считать, что то — импульс ракеты до старта, то через некоторое время после старта dt импульс системы «ракета — газ» станет равным.

где dm_rndv_ru — импульс газа. Раскроем скобки и выбросим малые величины (dmdv —" 0, dm_ra —*? 0, dm + dm_ra —* 0), затем разделим обе части уравнения на dt. Получим.

Это — 2-й закон Ньютона в дифференциальной форме для реактивного движения. Здесь v (dm/dt) — реактивная сила.

Формула Циолковского. Раз уж мы заговорили о движении ракеты, то не можем не вспомнить, что мысли Человечества о полете в космос стали приобретать реальные очертания, когда в 1896 г. простой учитель физики из провинциальной школы иод Калугой Константин Эдуардович Циолковский вывел¹ формулу, позволяющую рассчитать максимальную скорость одноступенчатой ракеты в идеальном случае. И все дело здесь даже «не в формуле, а в том, что он первый увидел в ней возможность выхода человека в мировое пространство»^[1][2]. Сегодня формулу Циолковского чаще записывают в иной форме, но мы намеренно оставим ее в первозданном виде (рис. 1.7). В формуле v — скорость ракеты, о, — скорость вырывающихся газов, М, М₂ — массы топлива и ракеты соответственно.

Рис. 1.7. Формула Циолковского, написанная им мелом на доске.

• [1] Впервые опубликована в журнале «Научное обозрение», 1903, № 5.
• [2] Академик Б. В. Раушенбах, Земля и Вселенная, 2001, № 4.