Наполеона. 
Занимательная геометрия

Сейчас мы занимались построением, выполняемым при помощи одной лишь линейки, не обращаясь к циркулю (при условии, что одна окружность на чертеже дана заранее). Рассмотрим теперь несколько задач, в которых вводится обратное ограничение: запрещается пользоваться линейкой, а все построения нужно выполнить только циркулем. Одна из таких задач заинтересовала Наполеона I (интересовавшегося, как известно, математикой). Прочтя книгу о таких построениях итальянского ученого Маскерони, он предложил французским математикам следующую ЗАДАЧУ Данную окружность разделить на четыре равные части, не прибегая к линейке. Положение центра окружности дано.

РЕШЕНИЕ Пусть требуется разделить на четыре части окружность О (рис. 144). От произвольной точки А откладываем по окружности три раза радиус круга: получаем точки В, С и D. Легко видеть, что расстояние АС — хорда дуги, составляющей V2 окружности, — сторона вписанного равностороннего треугольника и, следовательно, равно r-v/з, где г -— радиус окружности. AD, очевидно, — диаметр окружности. Из точек А и D радиусом, равным АС, засекаем дуги, пересекающиеся в точке М. Покажем, что расстояние МО равно стороне квадрата, вписанного в нашу окружность. В треугольнике АМО катет.

МО = л/AM² —АО² = л/Зг² —г² =rV2, т. е. стороне вписанного квадрата. Теперь остается только раствором циркуля, равным МО, отложить на окружности последовательно четыре точки, чтобы получить вершины вписанного квадрата, которые, очевидно, разделят окружность на четыре равные части.

Рис. 145. Как увеличить расстояние между точками АиВвп раз (п — целое число), употребляя только циркуль?

Рис. 144. Разделить окружность на четыре равные части, употребляя только циркуль

ЗАДАЧА Вот другая, более легкая задача в том же роде. Без линейки увеличить расстояние между данными точками А и В (рис. 145) в пять раз, — вообще в заданное число раз.

РЕШЕНИЕ Из точки В радиусом АВ описываем окружность (рис. 145). По этой окружности откладываем от точки А расстояние АВ три раза: получаем точку С, очевидно, диаметрально противоположную А. Расстояние АС представляет собой двойное расстояние АВ. Проведя окружность из С радиусом ВС, мы можем таким же образом найти точку, диаметрально противоположную В и, следовательно, удаленную от А на тройное расстояние АВ, и т. д.