Вычисление достоверности разности между средними величинами двух выборок

В биометрических исследованиях возникает необходимость сравнить средние арифметические двух групп животных (например, среднюю живую массу животных опытной и контрольной групп, среднюю продуктивность дочерей двух производителей и т. д.). Средние двух сравниваемых групп всегда в некоторой мере отличаются друг от друга. Поэтому важно установить, достоверна ли разность между средними. «Достоверность» — основное понятие в биометрии. Оно означает возможность обобщить данные опыта, перенести результаты исследования выборок на соответствующие генеральные совокупности.

Предположим, что в опыте выборочная средняя 1-й группы (ХД оказалось больше выборочной средней 2-й группы (Х₂), т. е. Х_г >Х₂. Если разность выборочных средних достоверна, то это означает, что такую же по знаку разность, какая получена в эксперименте, следует ожидать (с принятым уровнем надежности выводов) и между соответствующими генеральными средними, т. е. большей по величине выборочной средней соответствует и большая генеральная средняя, а меньшей по величине выборочной средней соответствует меньшая генеральная средняя. Это утверждение можно выразить формулой: если Х₁>Х₂и разность достоверна, то Х_г > Х₂. В том случае, если разность недостоверна, остается неизвестным, находятся ли генеральные средние в таком же соотношении между собой, как и выборочные средние, или их значения противоположны, или они равны. Другими словами, если в эксперименте Х₁>Х₂, но разность недостоверна, то не ясно Х_г >Х₂, Х_х =Х₂ или Х_г <�Х₂. Для выборок оптимального объема недостоверность разности означает принятие «нулевой гипотезы» о равенстве генеральных средних.

Для определения достоверности разности выборочных средних рассчитывают критерий достоверности разности t_d по формуле.

где d — разность средних арифметических выборок, d = X 1-Х2 (обычно из большей средней вычитают меньшую или берут d по модулю, т. е.

положительной); m_d — ошибка разности: + т|₂; т^, т|₂ — квадраты ошибок соответствующих средних арифметических.

Полученное фактическое значение t_d нужно сравнить с t табличным, взятым из таблицы стандартных значений критерия Стьюдента (см. приложение 1): для числа степеней свободы v_d =щ + тг₂ -2 в малых выборках и v_d = щ +п₂ в больших выборках, где п_х — число вариант в одной группе, п₂ — число вариант во второй группе.

Существует три уровня достоверности разности: Р>0,95; Р>0,99; Р > 0,999. При t_d = 1,96 разность достоверна в 95 случаях из 100 (95%), при t_d =2,58 она достоверна в 99 случаях из 100 (99%), а при t_d =3,29 разность достоверна в 999 случаях из 1000 (99,9%). Если же величина t_d меньше 1,96, то разность между средними сравниваемых групп не может быть признана достоверной.

Пример. Предположим, что в предгорном районе проводится опыт, цель которого — определить оптимальный способ нагула молодняка крупного рогатого скота в летний период на низинах или на горных пастбищах. Для этого было сформировано три группы молодняка, аналогичных по полу, возрасту и породности. 1-я группа выпасалась на горных пастбищах, 2-я и 3-я — на низинах, однако животных 3-й группы во время сильной жары загоняли в помещения, оборудованные автопоилками, и подкармливали свежескошенной травой.

Материалы опыта обработали биометрически и получили следующие результаты:

Определим достоверность разности между выборочными средними Х₁ и Х₂, а также между Х₁ и Х₃. В первом случае:

Полученное значение t_d =1,25 необходимо сравнить с t_Ta6jl, взятым из таблицы стандартных значений критерия Стьюдента. Для входа в таблицу необходимо рассчитать число степеней свободы по формуле v_d = n₁ + n₂. В нашем случае v_d = n₁+n₂= 100 + 64 = 164. В таблице (см. приложение 1) для v = 120 и больше находим значение ?_табл для трех уровней надежности выводов — 0,95; 0,99 и 0,999. Они будут следующими 1,96; 2,58 и 3,29. Сравнение t фактического с t табличными показывает, что t фактическое меньше любого из трех табличных значений t. Разность оказалась недостоверной. Это означает, что хотя у животных, выпасавшихся на низинных пастбищах, и были более высокие показатели живой массы, у нас нет оснований обобщить полученные результаты и перенести их на генеральные совокупности. Генеральными совокупностями в данном случае являются все животные, которых в принципе можно было бы откормить на горных (1-я совокупность) и на низинных (2-я совокупность) пастбищах. Осталось невыясненным, в каком соотношении находятся генеральные средние этих совокупностей. Учитывая, что в опыте использовались достаточно большие выборки (nj = 100 и п₂ = 64), можно принять предположение о равенстве генеральных средних.

Если всех животных (а не только взятых для опыта) нагуливать на низинных пастбищах, то их средняя масса будет равна средней живой массе всех животных, нагуливающихся на горных пастбищах.

Во втором случае:

Полученное значение t_d = 6,94 нужно сравнить с ?_табл, которые для v_d =100 + 100 = 200 составляют соответственно 1,96; 2,58 и 3,29. Фактическое значение t_d превышает любое из трех табличных. Обычно это отмечается либо подчеркиванием фактического значения t_d, либо соответствующим числом звездочек: если? ф_акт выше — одной чертой или звездочкой, если выше t₂ — двумя, а выше ?₃ — тремя черточками или звездочками. В нашем случае ?ф_акт >?₃ =3,29, что можно выразить как t_d= 6,94 или t_d=6,94***. Это означает, что разность достоверна с высшей степенью надежности выводов (Р > 0,999) и, следовательно, полученные результаты (Х₃ > Х_х) можно обобщить и перенести на генеральные совокупности. Вывод о том, что большей выборочной средней будет соответствовать и большая генеральная средняя научно обоснованная. При нагуле всех (а не только взятых для опыта) животных по третьей схеме (на низинных пастбищах с подкормкой) их средняя живая масса будет выше, чем средняя живая масса всего молодняка при нагуле на горных пастбищах. После экономической оценки изученных способов нагула третий способ можно рекомендовать для широкого использования.

Пример. Средняя высота в холке кобыл чистокровной верховой породы Х₁ =157,4 см, ошибка средней арифметической т% =0,35 см.

nj = 10. Средняя высота в холке жеребцов чистокровной верховой породы Х₂ =160,9 см, а ошибка средней арифметической т^₂ =0,35 см.

л₂ = 10. Установить достоверность разности между этими группами животных по высоте в холке.

Критерий достоверности разницы по промеру высоты в холке двух групп сравниваемых животных равняется:

Разность оказалась достоверной, критерий достоверности разницы выше третьей степени вероятности Р₃ >0,999, т. е. из 1000 в 999 случаях наблюдалась разница в данном признаке. Биологически это объяснимо: проявляется половой диморфизм (самцы в среднем крупнее самок).

Пример. Сравнивается молочная продуктивность первотелок бестужевской и холмогорской пород (большие выборки). В одинаковых условиях кормления и содержания получены следующие показатели удоя за первую лактацию: по бестужевскому скоту — Х₁± т% = 2600 ± 30 кг; по холмогорскому скоту — Х₂ ± т.х₂ = 3200 ± 40 кг. Установить достоверность разности между удоями в этих группах. Вычисляя t_d, получаем:

Критерий достоверности разницы (t_d = 12) значительно превышает величины, приведенные в приложении 1 (таблица Стьюдента). Поэтому можно с вероятностью, превышающей 99,9%, утверждать, что холмогорские коровы более продуктивны по сравнению с бестужевскими.