Фундаментальные уравнения механики неоднородных жидкостей

Необходимость использования полной системы уравнений механики жидкостей, учитывающей свойства жидкостей и влияние градиентов термодинамических потенциалов на динамику течений, обоснованная еще в фундаментальном курсе гидродинамики, постепенно стала общепринятой и в геофизической, и в промышленной аэрогидродинамике. При таком подходе теряется универсальность классической гидродинамики однородной жидкости, параметры однотипных течений оказываются зависящими от индивидуальных особенностей среды, выраженных уравнением состояния, на что настойчиво обращал внимание Д. И. Менделеев. Параметризации уравнений состояния многих жидкостей и газов посвящен ряд работ Д. И. Менделеева, получивших в свое время высокую оценку и в нашей стране, и за рубежом.

В механике жидкостей свойства конкретной среды описываются уравнением состояния, выражающим зависимость плотности среды р от давления Р, температуры Т и концентрации растворенных (или взвешенных) частиц S. Уравнение состояния обычно линеаризуется, эффектами сжимаемости пренебрегают:

Здесь, а — коэффициент температурного расширения жидкости; a_s — коэффициент солевого сжатия; Т₀, S₀ — реперные температура и соленость. Устойчивые невозмущенные распределения температуры T₀(z), солености S₀(z) и плотности p₀(z) характеризуются масштабами.

частотой N = Jg/A_р, N_s = jg/A_s> ⁿt = jg/^AT и периодом плавучести T_b =2п/N (g — ускорение свободного падения, ось z — вертикальна).

Система фундаментальных уравнений механики неоднородных жидкостей (или газов) включает уравнение состояния Менделеева, дифференциальные уравнения неразрывности Даламбера, переноса импульса Навье — Стокса, температуры Фурье и вещества Фика в приближении линейной термодинамики неравновесных процессов принимает вид.

где V — скорость, V и, А — операторы Гамильтона и Лапласа соответственно, v, q, k_T, k_s, k_P — коэффициенты 1-й и 2-й кинематической вязкости, температуропроводности, диффузии соли, термои бародиффузии, соответственно, р = р (Р, Г, S) — химический потенциал смеси, с_Р — теплоемкость при постоянном давлении, О — угловая скорость вращения жидкости, центробежные силы включены в выражение для градиента давления.

В качестве граничных условий в макроскопической гидродинамике на твердых стенках выбираются условия прилипания для скорости и непротекания для вещества и температуры (для адиабатических систем, в других случаях задаются значения температуры и поток теплоты на границах).

Уравнения (4.4.2), в которых при членах со старшими производными присутствуют кинетические (малые) коэффициенты, образуют систему сингулярно возмущенных уравнений. В линейном приближении порядок системы определяется степенью характеристического (дисперсионного) уравнения.

При использовании закона сохранения массы уравнение неразрывности выражается через термодинамические переменные, определяющие величину расхождения скорости:

где а_р и oc_s — коэффициенты изотермического и солевого сжатия.

Условие бездивергентности широко применяется в моделях течений однородной и стратифицированной жидкости.

Система (4.4.2) с физически обоснованными граничными условиями характеризуется набором масштабов длины геометрической и динамической природы. Естественным масштабом времени служит период плавучести Т_ъ.

Макромасштабы A, A_T, A_S характеризуют исходную стратификацию (обычно слабую, так что данные масштабы большие), геометрию задачи L (размер препятствия) и длину внутренней X = UT_b или поверхностной X = 2nU² / g волны, U — скорость потока на бесконечности.

Микромасштабы характеризуют поперечные размеры (толщину) тонкоструктурных компонент течений диффузионной (8_N = yjv/N, Ь_т = y]v/T и 5_S = y/k_s / N — в полях скорости, температуры и солености, соответственно — аналогов масштаба Стокса Ь_ы = ^v/co) и динамической природы (Ь_и = v/U, 8_UT =к_т /U, S_us =k_s /U — аналогов масштабов Прандтля и Пекле). Сходный набор масштабов с заменой частоты плавучести на скорость О характеризует закрученные течения (5q =.

= Н&) —

Отношения макро и микромасштабов задают традиционные безразмерные комплексы — числа Рейнольдса Re = UL/v = Ь/Ьи^>1 и Пекле по температуре и солености Ре_т =UL/k_T = L/b_UT «1, Pe_s =UL / k_s = Pe_s =UL/k_s= L/ 5_{U S} >1и специфические отношения для стратифицированных сред, характеризующие изменения плотности Ар₀ (L) (обычно малые) на собственных масштабах задачи — C = A/L = р₀/ Др₀ (L)1, относительную малость вязкости, температуропроводности и диффузии: C_N =L/5_n = yJb²N/ v (как и С_т = Ь/Ъ_Т и C_s =L/3_S, для растворов солей C_s «С_т C_N). Параметры типа чисел Фруда (традиционного Fr = U² / gL для поверхностных волн или Рг; = U² / N²L² для внутренних волн или число Россби Ro= U/QL для инерциальных волн) характеризуют отношение длины соответствующей волны к геометрическому масштабу.