Теорема о взаимности возможных работ (теорема Бетти)

Рассмотрим идеально-упругую и линейно деформируемую систему. Сначала загрузим систему силой Р1, при этом точка приложения первой силы получает действительное перемещение 11 и совершается действительная работа.

.

Затем загружаем систему второй силой Р2. Точка приложения первой силы получает перемещение 12, вызванное второй силой и совершается возможная работа. Точка приложения второй силы получает перемещение 22, вызванное второй силой, совершается действительная работа.

.

Изменим порядок загружения. Сначала систему загрузим второй силой, подсчитаем работу, затем первой силой. Полученную работу будем обозначать с индексом «(2)» (рис. 1.2 б). Действительная работа второй силы на перемещении точки приложения второй силы, вызванном второй силой:. Возможная работа второй силы на перемещении точки приложения второй силы, вызванном первой силой. Действительная работа первой силы на перемещении точки приложения первой силы, вызванном первой силой. Так как в условиях идеальной упругости работа внешних сил зависит лишь от начального и конечного положения, то изменение порядка приложения нагрузки не будет менять работы внешних сил, поэтому можно записать:

Распространяя сделанный вывод на группу сил, получим теорему Бетти о взаимности возможных работ:

А/i j = A/j i ,.

т.е. возможная работа первой группы сил на перемещениях, вызванных второй группой сил, равна возможной работе второй группы сил на перемещениях, вызванных первой группой сил.