Математические основы теории систем

Саратовский Государственный Технический Университет

Балаковский Институт Техники Технологии и Управления

Кафедра:

Специальность:

Курсовая работа

МОТС

Выполнил:

Принял:

Балаково 2009 г.

I-часть

Задание1: По виду электрической схемы построить математическую модель объекта управления в пространстве состояния.

Задание2: По построенной модели составить структурную схему и сигнальный граф.

Задание3: Используя формулу Мейсона найти передаточную функцию объекта управления.

Задание4: По передаточной функции объекта управления определить временные и частотные характеристики. Построить их зависимость: АЧХ, ФЧХ.

Задание5: По полученным зависимостям определить прямые и косвенные оценки качества объекта управления.

II-часть.

Задание1: По заданной корреляционной функции Kx () определить спектральную плотность Sx () для белого шума, который подается на вход формирующего фильтра.

Задание2: По заданным статистическим характеристикам Se, Sv определить передаточную функцию формирующего фильтра (р)

Задание3: Представить объект управления в виде

V (t) X (t) Y (t)

и оценить качество полученной системы по переходной характеристике.

Задание4: Сделать вывод по работе.

I-часть

Данные

L1 e (t) L2

Построить математическую модель объекта управления в пространстве состояния.

В схеме три элемента, запасающих энергию:, следовательно, математическая модель должна быть третьего порядка.

2. Построение математической модели.

Задаемся направлением контурных токов. Составляем три уравнения по второму закону Кирхгофа для контуров:

(1)

(2)

(3)

В уравнении (3) есть интеграл, поэтому дифференцируем его:

(3*)

В уравнениях (3*), (2), (3) есть производные, в качестве выбираем элементы с производными и производные берем на порядок ниже:

(4)

(5)

(6)

Запишем введенный вектор состояния в виде дифференциальных уравнений первого порядка.

Уравнение в пространстве состояний записывается в левой части:

В полученных уравнениях имеется шесть переменных. Необходимо уйти от, выразив их через

Из выражения (1) выразим :

Получили три дифференциальных уравнения и одно уравнение для выходного параметра.

Запишем полученную систему уравнений в матричном виде:

Получим матричное уравнение для выходной переменной:

Построение сигнального графа.

Перепишем уравнения в общем, виде для построения графа системы:

Построение графа произведем в два шага:

Шаг 1. Ставим точки входа, выхода системы и векторы параметров

Шаг 2. Соединяем все параметры связями согласно системе уравнений.

Построим структурную схему.

e X ₃ X ₃ X ₂ X ₂ i₂

X ₁ X ₁

Нахождение передаточной функции по формуле Мейсона.

k-количество возможных путей от входа к выходу

— определитель графа

P_k-коэффициент передачи k пути от входа к выходу

— определитель всех касающихся контуров при удалении k-ого пути

=1-(сумма коэффициентов передачи всех отдельных контуров)+(сумма всевозможных произведений из двух некасающихся контуров) — (сумма всевозможных комбинаций из трех некасающихся контуров)+…+…

Последовательность нахождения w (p) по формуле Мейсона:

В данном случае есть 1 путь от входа к выходу:

В системе имеется 4 замкнутых контуров:

Определитель системы включает 4 контура и 2 пары некасающихся контуров L₁, L₂; L₁, L₄

Количество сомножителей равно количеству прямых путей. Выражение для записывается как выражение для, но разрываются контуры, через которые проходит прямой путь P_i.

Сомножитель для первого пути. При размыкании первого пути 2 контура размыкаются, кроме L₂, L₄

Запишем и преобразуем выражение передаточной функции:

Найдем переходную функцию и построим ее график:

Найдем амплитудно-частотную характеристику (АЧХ):

Найдем фаза частотную характеристику (ФЧХ):

Определим оценки качества системы: прямые и косвенные.

Прямые оценки определяются графически по графику переходного процесса.

Время переходного процесса: tn=11

Перерегулирование:

Колебательность: п=0,5

Время нарастания регулируемой величины: t=0,385

Время первого согласования: tm=0,66

Косвенные оценки качества системы определяются по графику АЧХ.

Колебательность:

Резонансная частота: p=0,83

Частота среза: сp=10

Полоса пропускания частот:

II-часть

Задание1: По заданной корреляционной функции Kx () определить спектральную плотность Sx () для белого шума, который подается на вход формирующего фильтра.

По данной корреляционной функции определим спектральную плотность:

Найдем корни характеристических уравнений передаточной функции фильтра:

Изобразим эти корни на комплекснрй плоскости:

Система будет устойчивой, если корни характеристического уравнения лежат во 2-ом квадранте, следовательно, условию устойчивости системы соответствуют корни:

P7= -0,583+7,05i

P9= - 0,550+9,98i

P10= -0,570

Из этого следует, что передаточная функция фильтра будет иметь

следующий вид:

С учетом фильтра наша схема будет иметь следующий вид:

Найдем переходную функцию данной системы, построим ее график и определим прямые оценки качества системы.

Вывод: По графику видно, что фильтр вносит в систему изменения, приводящие к неустойчивости системы. Вследствие чего оценки качества системы определить нельзя.