Математическое моделирование колебания струны с жестко закрепленными концами

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Алтайский Государственный технический университет им. И.И. Ползунова»

Кафедра Общая физика Лабораторная работа На тему:

Математическое моделирование колебания струны с жестко закрепленными концами Работу выполнил ст. гр. ТФ-91

Попов В.А.

Барнаул 2011

Цель работы: изучить способ построения программы в программной среде MatLab, способную составить графики колебания струны с жёстко закрепленными концами.

Задача: Найти колебания струны с жестко закрепленными. При х=0 и х=l. Начальные отклонения изображены на рисунке 1, начальные скорости равны нулю.

Рис. 1

Ход работы.

Шаг первый. Выведем формулы необходимые для математического моделирования физической модели.

Решение:

Находим U (x, t); f (x, t)=0 с помощью волнового уравнения a²*(д²*U/д*x²)=(д²*U/д*t²)

Ро0

Для струны с закрепленными концами

U (0,t)-0, U (l, t)=0

И начальные ускорения (рис 1)

U (0,t)=0; U (l, t)=0

0<=x<=x (0)

1-я const

U=k*x+b

k=k*x (0)+0; x=0; U=0; k=h/x (0)

b=0

U=k*x+b

b=h*l/(l-x (0)

k=h/(x (0)-l)

U (x, t)= математический ряд

B=-k*l

H=k*x (0)-k*l

Отсюда b=h*l/(l-x (0))

Шаг второй. Пишем программу.

Задаем не изменяющиеся переменные и присваиваем им значения.

a=8; h=0.02; xm=0.4; x0=0.2; dx=0.004; tm=0.1; dt=0.001;

Задаем переменные необходимые для расчетов, а также значения для их вычисления.

au=2*h*(xm/pi)^2/x0/(xm-x0);

b0=pi*x0/xm;

b1=pi/xm;

b2=b1*a;

Задаем условия для расчета модели.

x=0:dx:xm;

t=0:dt:tm;

[t, x]=meshgrid (t, x);

u=au*sin (b0)*sin (b1*x).*cos (b2*t);k=1;

Задаем циклический процесс для расчета

while k<100

k=k+1;

u=u+au/k²*sin (b0*k)*sin (b1*k*x).*cos (b2*k*t);

end;

Задаем задачу на построения графической модели колебания струны с жестко закрепленными концами.

meshc (t, x, u);

title (['1.Solution of wave equation (a=8;h=0.2;L=0.4;Xo=0.2)']);

xlabel ('t-time');

ylabel ('x-coordinate');

zlabel ('u (x, t)');

Запускаем (в зависимости от версии программной среды, в более новых версиях запуск происходит автоматически) вычисления и получаем примерно следующего вида.

Вывод модель колебание струна физический Программная среда Matlab исключительно подходит для создания физической модели колебания струны с жестко закрепленными концами. Все математические вычисления задаются легко, без дополнительных функций, поскольку существуют в самом языке программирования, что позволяет максимально сократить объем программы, тем самым минимизировать возможность ошибок.