Математическое моделирование процесса экстракции

Процессы химической технологии — это сложные физико-химические системы, переменные в пространстве и во времени. Участвующие в них потоки вещества, как правило, многофазные и многокомпонентные. Имитационное моделирование применяется для решения задач, связанных с изменением параметров объекта во времени. В связи с этим изменением возможны такие ситуации, при которых объект или его состояние нас не устраивает. Имитационное моделирование дает возможность проанализировать различные варианты и выбрать наиболее подходящий для наших условий.

Описание процесса

Экстракция — извлечение одного или нескольких растворенных веществ из одной жидкой фазы другой, практически не смешивающейся с первой.

Процесс широко используется для извлечения ценных продуктов из разбавленных растворов, а также для получения концентрированных растворов. Но главное, экстракцию следует рассматривать как один из основных способов разделения жидких однородных смесей.

Пусть в растворителе G растворено распределяемое вещество M, и концентрация раствора (исходной смеси) незначительна. Тогда можно подобрать другой растворитель L (экстрагент), которым можно экстрагировать распределяемое вещество M из исходного раствора и получить концентрированный раствор распределяемого вещества в растворителе L+M (экстракт) и очищенный от распределяемого вещества растворитель G (рафинат).

Полученные жидкие фазы отделяют друг от друга отстаиванием, иногда центрифугированием или другими способами. После этого производят извлечение целевых продуктов из экстракта и регенерацию экстрагента из рафината, для чего используют простую перегонку с водяным паром, выпаривание, вторичную экстракцию (реэкстракцию), реже — кристаллизацию и химическую очистку.

Математическое описание модели

Исходные данные:

L=0.0001 м³/с; n = 5;

G=0.001 м³/с; x₀[n+1]=0;

k = 5*10^-5; y₀[0]=0.3.

F=1 м²;

dz=0.1 м;

nu=0.142;

Tk=3600 с;

Где L — расход бензола, м³/с;

G — расход воды, м³/с;

k — коэффициент массоотдачи;

F — площадь поперечного сечения, м²;

dz — высота выделенного элемента, м;

nu — удерживающая способность;

Tk — общее время экстракции, с;

Vb — объём бензола, м³;

Vv — объём воды, м³;

x0[n+1] - начальная концентрация фенола в бензоле, кг/м³;

y0[0] - начальная концентрация фенола в воде, кг/м³;

n — число отстойных зон;

J — объёмный коэффициент массопередачи, с^-1;

xr — равновесная концентрация, кг/м³;

x₁ — конечная концентрация фенола в бензоле, кг/м³;

y_n — конечная концентрация фенола в воде, кг/м³;

V — объем выбранного элемента.

Запишем уравнения модели для сечения:

Vb*(dx_i/dt) = L*x_i+1-L*x_i+J, (1)

Vv*(dy_i/dt) = G*y_i-1-G*y_i-J. (2)

Откуда Vb и Vv находятся по следующим формулам:

Vb = V* nu,

Vv = V*(1- nu),

где V = dz* F.

А объёмный коэффициент массопередачи равен:

J = k*(xr-x0[i]),

где xr= y0[i]*18.

Путём несложных вычислений уравнения (1), (2) приводят к виду и решают получившуюся систему уравнений:

x1[i]=x0[i]+dt*(L*(x0[i+1]-x0[i])+J)/Vb.

y1[i]=y0[i]+dt*(G*(y0[i-1]-y0[i])-J)/Vv.

Алгоритм решения системы уравнений математического описания состоит в следующем:

1. Задаем значения параметров L = 0.0001, G = 0.001, dz = 0.1, k = 5*10^-5, nu=0.142.

2.Производим интегрирование системы уравнений методом Эйлера и определяем состав выходного потока y0[i].

3. Интегрирование проводим до некоторой установившейся величины y0[i], для чего задаем большое значение Tk = 3600.

Для данной модели приняты следующие допущения:

1. растворитель и фаза рафината взаимно нерастворимы;

2. величина объёмного коэффициента массопередачи постоянна по высоте колонны;

3. объёмные скорости растворителя и рафинатной фазы постоянны по высоте колонны;

4. объёмы ячеек идеального смешения одинаковы по высоте колонны;

5. обратное перемешивание в пределах каждой фазы выражается постоянными коэффициентами обратного перемешивания;

6. концентрация каждой фазы постоянна в пределах каждой ячейки идеального смешения;

7. начало отсчёта высоты ведется со стороны входа фазы рафината.

Этапы имитационного исследования модели

1. Строится традиционная модель объекта.

2. Изучаются диапазоны, вероятности, характер, частота, изменение входных переменных.

3. Конструируется генератор случайных чисел (разрабатывается программа), соответствующая реальным входным воздействиям.

4. Определяется (задается) интересующее нас ключевое событие (хорошо-плохо).

5. Проводится многократное моделирование:

а) генерируются входные данные;

б) проводится расчет;

в) выясняется наступило ли интересующее событие.

6. Вычисляется оценка вероятности наступления события

где n — общее количество испытаний; n_A — количество произошедших событий.

Исследование модели

Расход поступающей воды непостоянен и изменяется по независящим от нас причинам. Для учета этих изменений используем генератор случайных чисел. Так как средний расход воды равен 0,001 м³/с генерирование производим в пределах от 0,0007 м³/с до 0,0013 м³/с.

Значение расхода имеет нормальное распределение и характеризуется минимальным и максимальным значениями 0,0007 м/с и 0,122 м/с соответственно, а также математическим ожиданием — 0,98 и дисперсией — 0,89. По полученным данным построим гистограмму распределения случайных величин:

При нормальном законе распределения расхода воды генерирование производим следующим образом:

double xn (double m, double s, double min, double max)

Результаты анализа

На приведенных ниже графиках используются следующие обозначения:

P1 — вероятность неудовлетворительной степени очистки воды;

График зависимости неудовлетворительной работы аппарата от расхода бензола Данная зависимость построена при числе тарелок равном 5. Она показывает, что с увеличением расхода бензола степень извлечения бензола увеличивается. Это объясняется тем, что увеличивается площадь поверхности контакта фаз. А с уменьшением расхода бензола ситуация меняется на противоположную.

экстракция имитационный модель математический График зависимости неудовлетворительной работы аппарата от числа тарелок Данная зависимость построена при минимальном расходе бензола равном 0,0001 м³/с. Она показывает, что с увеличением числа тарелок в аппарате, а следовательно и высоты аппарата, степень очистки воды повышается. Наиболее оптимальное число тарелок при данном расходе бензола равно 6.

1. Кафаров В. В., Глебов М. Б. Математическое моделирование основных процессов химических производств: Учеб. пособие для вузов. — М.: Высш. шк., 1991. — 400с.: ил.

2. Александров И. А. Ректификационные и абсорбционные аппараты. Методы расчета и основы конструирования. — М.: Химия, 1978.

3. Дытнерский Ю. И. Основные процессы и аппараты химической технологии.

4. Плановский А. Н., Николаев П. И. Процессы и аппараты химической и нефтехимической технологии. — М.: Химия, 1972. — 496с.

Приложение

Исходная математическая модель:

#include

#include

#include

#define n 5

int main ()

{ int i;

double L=0.0001,G=0.001,k=5e-5,F=1,dz=0.1,nu=0.142,Tk=3600,h, dt, V, Vb, Vv, m, xr, J;

double x1[n+2], x0[n+2]={0,0,0,0,0,0,0};

double y1[n+2], y0[n+2]={0,0,0,0,0,0,0};

clrscr ();

x0[n+1]=0;

y0[0]=0.3;

V=F*dz;

Vb=V*nu;

Vv=V*(1-nu);

dt=10;

h=Tk/dt;

for (m=0;m

{

for (i=1;i

{ xr= y0[i]*18;

J=k*(xr-x0[i]);

x1[i]=x0[i]+dt*(L*(x0[i+1]-x0[i])+J)/Vb;

y1[i]=y0[i]+dt*(G*(y0[i-1]-y0[i])-J)/Vv;

}

for (i=1;i

{

x0[i]=x1[i];

y0[i]=y1[i];

printf («n%d %lf %lf», i, x0[i], y0[i]);

} printf («nn»);

getch ();

}return 0;

}

Имитационная модель:

#include

#include

#include

# include

#define n 5

double xn (double m, double s, double min, double max)

int i;

double xr, x, sum;

m: for (i=0, sum=0;i<6;i++)

sum+=(double)rand ()/RAND_MAX;

x=sqrt (2)*s*(sum-3)+m;

if (x

int main ()

{ int i, N=10 000,l, n1, n2;

double L=0.0001,G, k=5e-5,F=1,dz=0.1,nu=0.142,Tk=3600,h, dt, V, Vb, Vv, m, xr, J, P1;

double x1[n+2], x0[n+2]={0,0,0,0,0,0,0};

double y1[n+2], y0[n+2]={0,0,0,0,0,0,0};

clrscr (); randomize ();

n1=0; n2=0;

for (l=0;l

{

G=xn (0.001,0.0001,0.0007,0.0013);

x0[n+1]=0;

y0[0]=0.3;

V=F*dz;

Vb=V*nu;

Vv=V*(1-nu);

dt=10;

h=Tk/dt;

for (m=0;m

{

for (i=1;i

{ xr= y0[i]*18;

J=k*(xr-x0[i]);

x1[i]=x0[i]+dt*(L*(x0[i+1]-x0[i])+J)/Vb;

y1[i]=y0[i]+dt*(G*(y0[i-1]-y0[i])-J)/Vv;

}

for (i=1;i

{

x0[i]=x1[i];

y0[i]=y1[i];

}

}

//printf («n g=%g x1=%g yn=%g «, G, x0[1], y0[n]);getch ();

if (y0[n]>0.05) n1++;

}

P1=(double)n1/N;

printf («n P1=%lf», P1);

getch ();

return 0;

}