Метод Гольдфарба
Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического управления. Изд. 4-е, перераб. и доп. — СПб, Изд-во «Профессия», 2003. Где функции и, называемые коэффициентами гармонической линеаризации, имеют следующий вид для нелинейного элемента: Федоренко А. А., Иванчура В. И. Теория автоматического управления: учеб. пособие. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2004. В качестве нелинейного элемента y = F (x… Читать ещё >
Метод Гольдфарба (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Федеральное агентство по образованию Московский государственный открытый университет Чебоксарский политехнический институт Кафедра Управления и информатики в технических системах Специальность 220 201
Контрольная работа по ТАУ по теме Метод Гольдфарба
2010 год
Задание на контрольную работу Используя соотношение, вычислить параметры периодических решений в нелинейной САР (если они имеются) и определить их устойчивость.
№ вар | Фамилия, имя, отчество | Параметры | Тип F (x) | Параметры F (x) | ||
41. | Цветкова Наталья Вениаминовна | k=90; Т0=0.2 с. | III | с =20; m = 0.25; b= 2. | ||
В качестве нелинейного элемента y = F (x) задан III тип — релейная характеристика с гистерезисной петлей.
Решение система периодического регулирования метод гольдфарба Исследование системы проведем по методу гармонического баланса (метод Гольдфарба). Этот метод позволяет только определить наличие или отсутствие незатухающих колебаний в системе, т. е. в конечном итоге устойчивость системы.
Характеристическое уравнение для нелинейной САР замкнутой системы имеет вид:
(1)
Для графического решения характеристического уравнения его преобразуют к виду:
или (2)
Если на одном и том же чертеже и в одинаковых масштабах построить годографы и, то их пересечение будет означать наличие автоколебаний; при этом частоту автоколебаний можно получить из годографа, амплитуду — из годографа. Удобно проводить проверку системы на наличие автоколебаний в следующем порядке:
1. Строим годограф (годограф Найквиста).
2. Строим годограф функции. Передаточная функция может быть представлена в виде
(3)
где функции и, называемые коэффициентами гармонической линеаризации, имеют следующий вид для нелинейного элемента:
(4)
Подставив и в (3) окончательно получим:
(5)
Получим уравнение для построения АФЧХ линейной части САР в разомкнутом состоянии:
(6)
Сделаем замену
(7)
Умножив числитель и знаменатель выражения (7) на комплексное число, сопряженное знаменателю, и отделяя вещественную и мнимую части, получим уравнения вещественной и мнимой частотных характеристик Иванов А. А. Теория автоматического управления и регулирования. М., изд-во «Недра», 1970:
(8)
Задаваясь значениями w от 0 до? вычислим и (см. табл. 1.).
Таблица 1.
w | 0,5 | 4,5 | |||||
90,000 | 90,678 | 92,744 | 29,829 | 0,000 | — 27,000 | ||
0,000 | — 4,580 | — 9,661 | — 182,628 | — 180,000 | — 0,046 | ||
w | |||||||
— 0,907 | — 0,225 | — 0,056 | — 0,025 | — 0,002 | |||
— 0,006 | — 0,001 | ||||||
Согласно (3), запишем выражение обратной амплитудно-фазовой характеристики нелинейного элемента, взятой с обратным знаком:
Функция представляется в виде:
(9)
Подставив в (9) выражения для и и преобразовав получим:
Для заданных численных значений b и с составим таблицу 2. значений и при изменении, а от 0 до ?.
b = 2, с = 20р (по условию)
Таблица 2.
а | ||||||
0,000 | — 0,057 | — 0,122 | — 0,624 | — 1,250 | ||
— 0,025 | — 0,025 | — 0,025 | — 0,025 | — 0,025 | ||
а | ||||||
— 6,250 | — 12,500 | — 62,500 | — 125,000 | -? | ||
— 0,025 | — 0,025 | — 0,025 | — 0,025 | — 0,025 | ||
Для оценки возможности автоколебаний в системе и их устойчивости строим с помощью пакета Maple 7 графики амплитудно-фазовой частотной характеристики линейной части системы и обратной амплитудно-фазовой
характеристики нелинейного элемента, взятой с обратным знаком, в координатах Р и Q (рис. 1.).
Рис. 1.
Рассмотрим график возле нуля, для этого изменим масштаб, как показано на рис. 2.
Рис. 2.
Рассмотрим взаимное положение годографов и :
1. Если годографы не пересекаются, то в системе возникновение колебаний невозможно.
2. Если годографы пересекаются в одной точке, то в системе возможны незатухающие колебания. Параметры автоколебаний w0 и а0 определяются точкой пересечения годографов: w0 по и а0 по .
3. Если годографы пересекаются в двух точках, то это свидетельствует о наличие двух режимов автоколебаний: с большей и меньшей амплитудой. Режим с большей амплитудой соответствует предельному циклу устойчивых колебаний, режим с меньшей амплитудой существовать не может и потому называется неустойчивым.
Из нашего графика мы видим, что годографы пересекаются в одной точке, т. е. в системе возможны незатухающие колебания. С помощью пакета Maple 7 вычислим параметры периодических решений в нелинейной САР.
По методу Гольдфарба, если двигаться по линии в направлении возрастания амплитуды а, то точке выхода из контура, т. е. точке пересечения годографов, соответствует устойчивое периодическое решение.
Использованная литература
1. Воронов А. А. и др. Основы теории автоматического регулирования и управления. Учеб. пособие для вузов. М., «Высшая школа», 1977
2. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического управления. Изд. 4-е, перераб. и доп. — СПб, Изд-во «Профессия», 2003
3. Федоренко А. А., Иванчура В. И. Теория автоматического управления: учеб. пособие. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2004