Метод Гольдфарба

Федеральное агентство по образованию Московский государственный открытый университет Чебоксарский политехнический институт Кафедра Управления и информатики в технических системах Специальность 220 201

Контрольная работа по ТАУ по теме Метод Гольдфарба

2010 год

Задание на контрольную работу Используя соотношение, вычислить параметры периодических решений в нелинейной САР (если они имеются) и определить их устойчивость.

В качестве нелинейного элемента y = F (x) задан III тип — релейная характеристика с гистерезисной петлей.

Решение система периодического регулирования метод гольдфарба Исследование системы проведем по методу гармонического баланса (метод Гольдфарба). Этот метод позволяет только определить наличие или отсутствие незатухающих колебаний в системе, т. е. в конечном итоге устойчивость системы.

Характеристическое уравнение для нелинейной САР замкнутой системы имеет вид:

(1)

Для графического решения характеристического уравнения его преобразуют к виду:

или (2)

Если на одном и том же чертеже и в одинаковых масштабах построить годографы и, то их пересечение будет означать наличие автоколебаний; при этом частоту автоколебаний можно получить из годографа, амплитуду — из годографа. Удобно проводить проверку системы на наличие автоколебаний в следующем порядке:

1. Строим годограф (годограф Найквиста).

2. Строим годограф функции. Передаточная функция может быть представлена в виде

(3)

где функции и, называемые коэффициентами гармонической линеаризации, имеют следующий вид для нелинейного элемента:

(4)

Подставив и в (3) окончательно получим:

(5)

Получим уравнение для построения АФЧХ линейной части САР в разомкнутом состоянии:

(6)

Сделаем замену

(7)

Умножив числитель и знаменатель выражения (7) на комплексное число, сопряженное знаменателю, и отделяя вещественную и мнимую части, получим уравнения вещественной и мнимой частотных характеристик Иванов А. А. Теория автоматического управления и регулирования. М., изд-во «Недра», 1970:

(8)

Задаваясь значениями w от 0 до? вычислим и (см. табл. 1.).

Таблица 1.

Согласно (3), запишем выражение обратной амплитудно-фазовой характеристики нелинейного элемента, взятой с обратным знаком:

Функция представляется в виде:

(9)

Подставив в (9) выражения для и и преобразовав получим:

Для заданных численных значений b и с составим таблицу 2. значений и при изменении, а от 0 до ?.

b = 2, с = 20р (по условию)

Таблица 2.

Для оценки возможности автоколебаний в системе и их устойчивости строим с помощью пакета Maple 7 графики амплитудно-фазовой частотной характеристики линейной части системы и обратной амплитудно-фазовой

характеристики нелинейного элемента, взятой с обратным знаком, в координатах Р и Q (рис. 1.).

Рис. 1.

Рассмотрим график возле нуля, для этого изменим масштаб, как показано на рис. 2.

Рис. 2.

Рассмотрим взаимное положение годографов и :

1. Если годографы не пересекаются, то в системе возникновение колебаний невозможно.

2. Если годографы пересекаются в одной точке, то в системе возможны незатухающие колебания. Параметры автоколебаний w₀ и а₀ определяются точкой пересечения годографов: w₀ по и а₀ по .

3. Если годографы пересекаются в двух точках, то это свидетельствует о наличие двух режимов автоколебаний: с большей и меньшей амплитудой. Режим с большей амплитудой соответствует предельному циклу устойчивых колебаний, режим с меньшей амплитудой существовать не может и потому называется неустойчивым.

Из нашего графика мы видим, что годографы пересекаются в одной точке, т. е. в системе возможны незатухающие колебания. С помощью пакета Maple 7 вычислим параметры периодических решений в нелинейной САР.

По методу Гольдфарба, если двигаться по линии в направлении возрастания амплитуды а, то точке выхода из контура, т. е. точке пересечения годографов, соответствует устойчивое периодическое решение.

Использованная литература

1. Воронов А. А. и др. Основы теории автоматического регулирования и управления. Учеб. пособие для вузов. М., «Высшая школа», 1977

2. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического управления. Изд. 4-е, перераб. и доп. — СПб, Изд-во «Профессия», 2003

3. Федоренко А. А., Иванчура В. И. Теория автоматического управления: учеб. пособие. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2004