Метод конечных разностей решения краевой задачи нестационарной теплопроводности
Метод конечных разностей (МКР) Идея МКР состоит в том, что вместо производных в дифференциальном уравнении используются их конечноразностные аппроксимации. При использовании МКР для задач теплопроводности твердое тело представляют в виде совокупности узлов. Аппроксимируя (заменяя) частные производные дифференциального уравнения конечными разностями получают систему линейных алгебраических… Читать ещё >
Метод конечных разностей решения краевой задачи нестационарной теплопроводности (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт — Энергетический институт Направление- 140 100 Теплоэнергетика Кафедра — ТПТ Отчет по практическому занятию № 1
«Метод конечных разностей решения краевой задачи нестационарной теплопроводности»
Исполнитель:
Студент, гр. 5б14 Шустов А.М.
Руководитель:Барановский Н.В.
Томск -2013
Содержание Цель практического занятия Теоретические сведения Метод конечных разностей (МКР) Практическая часть Результаты вычислений Вывод Список литературы Цель практического занятия:
Написать программу и численно решить краевую задачу нестационарной теплопроводности методом конечных разностей.
Задание № 2
Уравнение нестационарной теплопроводности Начальные условия:
t=0; T=;
Граничные условия:
x=0; T=;
x=Lx; T=;
Параметры задачи: число узлов N = 21; время расчета con = 30 с; толщина пластины Lx = 0,2 м; коэффициент теплопроводности 384 Вт/(м•К); плотность 8800 кг/; коэффициент теплоемкости c = 381 Дж/(кг•К); начальная температура = 373 К; температура на левой границе = 323 К; температура на правой границе = 673 К;
Теоретические сведения Теплопроводностью называется молекулярный перенос теплоты в сплошной среде. Этот процесс возникает при неравномерном распределении температур. В этом случае теплота передается за счет непосредственного соприкосновения частиц, имеющих различную температуру, что приводит к обмену энергией между молекулами, атомами или свободными электронами.
Нестационарный перенос тепла теплопроводностью описывается следующим уравнением, записанным в декартовой системе координат:
Это уравнение устанавливает связь между временным и пространственным изменением температуры в любой точке тела. Здесь — плотность, c — удельная теплоемкость, — коэффициент теплопроводности, x, y, z, t, T) — мощность внутренних источников тепловыделения. Чтобы выделить конкретный вариант развития процесса, необходимо добавить условия однозначности, которые содержат геометрические, физические, начальные и граничные условия. Геометрические условия определяют форму и размеры тела, в котором протекает изучаемый процесс. Физические условия определяют теплофизические характеристики тела, , c. Временные (начальные условия) условия содержат распределение температуры в теле в начальный момент времени.
Метод конечных разностей (МКР) Идея МКР состоит в том, что вместо производных в дифференциальном уравнении используются их конечноразностные аппроксимации. При использовании МКР для задач теплопроводности твердое тело представляют в виде совокупности узлов. Аппроксимируя (заменяя) частные производные дифференциального уравнения конечными разностями получают систему линейных алгебраических уравнений для определения температуры, как локальной характеристики в каждом узле сетки. Полученная система является незамкнутой, для ее замыканию используют разностное представление граничных условий. В результате получают замкнутую систему линейных алгебраических уравнений, которую решают численными методами с помощью ЭВМ.
Для того чтобы дать полное математическое описание рассматриваемой задачи, необходимо задать начальные и граничные условия, а также физические условия однозначности.
Пластина разбивается на N-1 равных промежутков, т. е. строится конечно-разностная сетка.
Определяется значение температуры в i-ом узле в момент времени как (- шаг интегрирования по временной координате, — номер шага по времени). Дифференциальные операторы в уравнении теплопроводности заменяются на их конечно-разностные аналоги.
В результате аппроксимации частных производных соответствующими конечными разностями, а также упрощения полученных систем линейных алгебраических уравнений, выводятся трехточечные разностные уравнения второго порядка.
(1)
Предполагая, что существуют такие наборы чисел при которых
(2)
получаем формулы для определения прогоночных коэффициентов :
; (3)
Затем по формуле (2) последовательно находятся, при условии, что найдено из правого граничного условия. Таким образом, решение уравнений описываемым способом, называемым методом прогонки, сводится к вычислениям по трем формулам: нахождение прогоночных коэффициентов по формулам (1), и затем получение неизвестных по формуле (2).
Для успешного применения метода прогонки нужно, чтобы в процессе вычислений не возникло ситуаций с делением на нуль, а при больших размерностях систем не должно быть быстрого роста погрешностей округлений.
Практическая часть Ниже представлена блок-схема для решения поставленного уравнения нестационарной теплопроводности, методом конечных разностей.
Программа была реализована на языке программирования Pascal. Ниже представлен исходный код программы.
Uses crt;
const N=21;L=0.2;y=384;p=8800;xc=381;T0=273;T1=323;T2=673;con=30;
type
vector= array[1.21] of real;
Var
i:integer;
T, alfa, beta: vector;
A, B, C, F, tau, h, time: real;
g:text;
BEGIN
h :=L/(N-1);
tau:=con/100;
for i:=1 to N do
T[i]: =T0;
time:=0;
while time
time:=time+tau;
alfa[1]: =0;
beta[1]:=T1;
for i:=2 to N-1 dobegin
A:=y/sqr (h);
B:=2*y/sqr (h)+p*xc/tau;
C:=y/sqr (h);
F:=-p*xc*T[i]/tau;
alfa[i]: =A/(B-C*alfa[i-1]);
beta[i]:=(C*beta[i-1]-F)/(B-C*alfa[i-1]);
end;
T[N]:=T2;
for i:=N-1 downto 1 do
T[i]: = alfa[i]*T[i+1]+beta[i];
end;
Assign (g,'teplo.dat');
Rewrite (g);
for i:=1 to N do
writeln (g,'X= ', h*(i-1):8:3,' ', T[i]: 10:5);
close (g);
readln;
END.
Результаты вычислений
X, м | T, К | |
0.000 | 323.0 | |
0.010 | 322.45 884 | |
0.020 | 322.27 634 | |
0.030 | 322.81 001 | |
0.040 | 324.41 444 | |
0.050 | 327.43 851 | |
0.060 | 332.22 100 | |
0.070 | 339.8 433 | |
0.080 | 348.32 637 | |
0.090 | 360.21 026 | |
0.100 | 374.95 282 | |
0.110 | 392.71 199 | |
0.120 | 413.57 429 | |
0.130 | 437.54 350 | |
0.140 | 464.53 153 | |
0.150 | 494.35 303 | |
0.160 | 526.72 441 | |
0.170 | 561.26 827 | |
0.180 | 597.52 337 | |
0.190 | 634.96 001 | |
0.200 | 673.0 | |
Представим результаты вычислений в виде графической зависимости температуры от пространственной координаты. Построение выполнено в графическом редакторе OriginPro.
Рис. 4. Зависимость температуры пластины от пространственной координаты.
Вывод В данной работе был реализован метод конечных разностей на примере уравнения нестационарной теплопроводности. Основываясь на результатах работы программы, а также заранее известных ответах, можно сделать вывод что, программа написана верно, выходные данные являются достоверными, и могут быть использованы на практике.
По результатам работы программы был построен график зависимости температуры от пространственной координаты. График нелинейный, и возрастает схоже с параболической зависимостью.
Список литературы
конечная разность программа теплопроводность
1. Кузнецов Г. В., Шермет М. А. Разностные методы решения задач теплопроводности. — Томск: ТПУ, 2007. — 172с.
2. Киреев В. И., Пантелеев А. В. Численные методы в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 2008. — 480 с.
3. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислительные методы для инженеров. — М.: Высшая школа, 1994. — 544с.