Методическое пособие по прогнозированию деформаций сооружений на основе результатов геодезических наблюдений

Методическое пособие по прогнозированию деформаций сооружений на основе результатов геодезических наблюдений

Алгоритмы последовательности и математической обработки в построении прогнозной кинематической модели процесса деформации сооружения

1. Визуальный анализ результатов геодезических наблюдений за процессом деформации. Рассмотрение алгоритмов осуществляется на примере наблюдений за осадкой сооружения, т. е. за деформацией его грунтового основания. Деформация основания является в большинстве случаев исходной, вызывающей различные деформации несущих и ограждающих конструкций сооружения (прогибы, крены, возникновение трещин и др.). Представляемая методика может распространяться на исследования других видов деформации, вычисляемых по результатам наблюдений за осадкой или непосредственно измеряемых в процессе их развития.

В содержание визуального анализа следует отнести, прежде всего, построение графика развития наблюдаемого процесса во времени, плана изолиний осадки сооружения (желательно по циклам наблюдений или по отдельным наиболее характерным и ответственным циклам). Кроме того, желательно построение эпюры осадки по наиболее важным циклам. В результате анализа графических построений необходимо по возможности связать характерные изменения графиков в пространстве и времени с имеющимися данными о состоянии и развитии так называемого прогнозного фона. К прогнозному фону относятся всевозможные факторы, которые могут повлиять на развитие исследуемого процесса осадки, например, изменение нагрузки или другие воздействия любого рода на грунтовое основание. Важно зарегистрировать хотя бы ориентировочно периоды таких воздействий, а если можно — то их количественные характеристики.

При изучении графиков следует визуально оценить статистическую однородность реализаций процесса и их линейность. При необходимости нужно предусмотреть выделение статистически однородных групп реализаций и возможную кусочную линеаризацию, например, путём разделения периодов строительства и эксплуатации. Одновременно следует наметить периоды контрольного основания прогноза и контрольного упреждения для оценки адекватности кинематической модели.

Кроме условий статистической однородности и линейности моделируемого процесса следует оценить и обеспечить условие нормальности распределения значений реализаций в каждом сечении процесса, т. е. в каждом цикле наблюдений. Методика оценки нормальности распределения по ассиметрии и эксцессу показана ниже. В необходимых случаях следует производить нормализацию процесса известными способами преобразований. Если не обеспечивается выполнение условия линейности процесса путём кусочной линеаризации, нужно аппроксимировать и исключить нелинейный тренд с последующим его учётом в результатах прогнозирования или выполнить линеаризацию способами преобразования. В «Рекомендациях» (Рекомендации, Ю. П. Гуляев, 1991) показан способ автоматизированного статистически однородных нормально распределённых групп реализаций процесса, а также методика аппроксимации, исключения и учёта нелинейного тренда. В целом соблюдение условий линейности, нормальности и статистической однородности обеспечивает правомерность применения для рассматриваемого математического моделирования корреляционной теории случайных функций (Е.С. Вентцель, 2001) и высокий уровень достоверности результатов прогнозирования.

2. Вычисление необходимых моментных функций и других статистических характеристик наблюдаемого процесса осадки. Оценка центрального момента к-го порядка (к = 2,3,4) в сечении процесса осадки на время вычисляется по формуле:

(1)

где i — номер реализации (осадочной марки), i — 1,2,3,…n; - значение осадки i-марки на время; - оценка математического ожидания осадки на момент времени, являющаяся начальным моментом.

Очевидно, что представляет собой дисперсию процесса осадки в конкретном его сечении:. Следовательно, стандарт осадки (среднее квадратическое отклонение) равен. При малом числе реализаций процесса значение дисперсии или стандарта следует умножать на величину для обеспечения так называемой несмещённой оценки.

Оценка ассиметрии распределения значений случайной величины осадки в сечении вычисляется по формуле:

. (2)

Оценка эксцесса (крутости) распределения значений случайной величины осадки в сечении вычисляется по формуле:

. (3)

Гипотеза о нормальности распределения реализаций процесса в каждом его сечении принимается как не противоречащая эмпирическим данным, если соблюдаются неравенства:

;, (4)

где; .

Отметим, что значения (5)

называют центрированными и в дальнейшем будем использовать обозначение

.

После проверки нормальности распределения процесса по критериям ассиметрии и эксцесса (и нормализации в случае необходимости), желательно исследовать особенности развития процесса с помощью вычисления по цикловых коэффициентов вариации осадки:

. (6)

Исследование коэффициентов вариации основывается на важной (выявленной из опыта) закономерности роста неравномерности осадки по мере возрастания её среднего значения. На этой закономерности основывается простой и эффективный метод проектных расчётов оснований по деформациям, называемый «по предельно-допустимым средним осадкам». В (6) значения отражают неравномерность осадки, а — являются средними значениями в каждом сечении процесса (цикле наблюдений).

Коэффициенты вариации целесообразно вычислять в начале, по результатам наблюдений за осадкой всех марок, заложенных в фундамент сооружения, чтобы оценить в целом изменение его состояния и поведения. Затем следует выявить и аналогично исследовать наиболее неблагоприятные участки. Выявленные возрастания коэффициентов вариации покажут, когда возникло неблагоприятное течение процесса осадки, а снижение значений коэффициентов вариации отразит улучшение поведения и состояния деформирующегося сооружения. Желательно также исследовать с помощью коэффициентов вариации процесс накопления разности осадок симметричных марок, который может помочь оценить характер влияния неоднородности грунтов основания на неравномерность осадки. Результаты анализа, выполненного с помощью коэффициентов вариации, необходимо сопоставлять с изменением факторов прогнозного фона и находить соответствующие объяснения выявляемым особенностям развития процесса осадки. Одновременно нужно обосновывать выбор периодов основания прогноза (на которых должна строиться прогнозная модель) и периодов упреждения, а также выбирать реализации (марки), по которым необходимо выполнить прогноз.

3.Алгоритм построения прогнозной кинематической модели. Исходные алгоритмы. Прогнозная кинематическая модель процесса осадки строится в виде следующих двух первых условных моментных функций:

;

. (7)

В (7): — время конца периода основания прогноза, на котором строится модель; - конец периода упреждения; символы ~ и ^ соответственно относятся к статистическим и аппроксимированным значениям оценок; - прогноз осадки i-ой марки на момент времени при условии, что известны, ,, представляющие соответственно центрированное значение осадки i-ой марки в и оценки математического ожидания, автокорреляционной функции и стандарта, экстраполированные на момент по уравнениям, аппроксимирующим их развитие на период основания прогноза; - стандарт, характеризующий ожидаемую погрешность прогнозирования.

Нередко целесообразно находить прогноз осадки характерных марок, например, имеющих максимальное и минимальное значения осадки. Очевидно, что неравномерность осадки между марками с номерами i и l прогнозируется в соответствие с (7) по формуле:

. (8)

Погрешность прогноза разности значений осадки формально должна увеличиваться в. Однако, как правило, точность прогноза разности осадки повышается в связи с компенсацией неточности аппроксимации и экстраполяции. Поэтому считается оправданным использование для оценки точности прогноза значения, вычисленного по (7).

Аппроксимация параметров кинематической модели на периоде основания прогноза. Аппроксимация тренда. Развитие во времени среднего значения процесса осадки, т. е. его тренда осуществляется, как правило, в виде линейной или экспоненциальной зависимости в соответствие с характером изменения тренда на периоде основания прогноза. Методика аппроксимации этих трендов представлена здесь в общем виде, т. е. как связь между функцией у и аргументом х. Конкретные выражения аргумента и функции в дальнейшем привязываются к решению той или иной аппроксимационной задачи. Такие решения выполняются не только для определения корреляционно-регрессионной зависимости средней осадки от времени, но и для других видов взаимозависимостей. Аппроксимируемая линейная зависимость выражается уравнением. Аппроксимация выполняется методом наименьших квадратов, т. е. минимизируется функционал путём приравнивания к нулю его частных производных по, а и в и составления системы нормальных уравнений, из решения которых находятся значения этих коэффициентов:

; (9)

где, .

Теснота зависимости у от х оценивается коэффициентом корреляции, вычисляемым по формуле:

. (10)

Коэффициент корреляции может иметь значения от 0 до 1 и при малых значениях должна оцениваться его значимость по известным критериям. Малый, незначимый указывает на необоснованность и непригодность выполненной линейной аппроксимации.

Очевидно, что при аппроксимации линейной зависимости средней осадки от времени аргументом является, а функцией по каждому из циклов наблюдений, приходящихся на период основания прогноза. Экспоненциальная форма аппроксимации является в смысле кинематической модели нелинейной и выражается уравнением:

. (11)

Для упрощения методики аппроксимации экспоненциальной зависимости её следует привести к линейному виду, т. е. линеаризовать, а затем выполнить решение также, как показано выше для линейной зависимости. Линеаризация уравнения (11) сводится к его логарифмированию: .

Таким образом, преобразовав экспоненциальную зависимость в линейную форму, вычислим по формулам (9) оценки и. Затем от перейдём к значениям. Далее производится оценка тесноты зависимости, осуществляемая для нелинейных связей с помощью корреляционного отношения:

(12)

где и — соответственно наблюдаемые и аппроксимированные значения функции, — ёё среднее значение. Следует отметить, что показанные выше виды аппроксимации выполняются в автоматизированном режиме с помощью программируемых калькуляторов. Например, в калькуляторе «Casio» имеются программы для аппроксимации линейной, экспоненциальной и полиноминальной зависимостей.

Пример формы подготовки данных и их обработка при аппроксимации

(пример из обработки данных по МГУ).

в=1,034; а=36,18; = 0,92.

=36,18 +1,034 .

Аппроксимация стандарта. Значительный опыт построения кинематических моделей процессов осадки показал, что часто изучение во времени стандарта хорошо аппроксимируется выражением:

. (13)

Таблица Однако следует отметить, что не во всех случаях в уравнении (13) обеспечивается достаточно высокая теснота зависимости. Поэтому могут выбираться и другие формы связи, ориентируясь на графики изменения. Одной из таких форм может быть полиноминальная зависимость. Однако при использовании полиноминальной формы связи необходимо использовать ограниченное число её членов (на наш взгляд до двух-трёх). Считаем, что оптимальное ограничение числа членов полинома определяется опытом аппроксимации. При этом нужно иметь в виду, что увеличение числа членов полинома, используемого для аппроксимации, приводит к прохождению аппроксимированных значений (в нашем случае) через точки, т. е., полученные по результатам наблюдений. При таком совпадении точек аппроксимации и наблюдений исчезает свойство аппроксимации, синтезирующее закономерность развития описываемого процесса. В результате этого последующая прогнозная экстраполяция будет осуществляться не по обобщённой закономерности развития процесса, а по последнему частному аппроксимирующему уравнению, несмотря на формально высокую в этих случаях тесноту зависимости. Очевидно, что аппроксимирующее выражение (13) нелинейно и для упрощения решения задачи требуется её линеаризация. Для линеаризации (13) введём следующее преобразование. Обозначив через и умножив числитель и знаменатель правой части выражения (13) на эту величину, получим: или. Обозначив, получим линейную формулу уравнения (13) с неизменившимися параметрами c и d:. Очевидно, методика дальнейшей аппроксимации полностью совпадает с рассмотренной выше в 3.2.1 при соответствии в=c и d= а. Оценка тесноты зависимости производится также по (12). Подготовка данных для аппроксимации выполняется в следующей форме:

Таблица

Вычисление и аппроксимация автокорреляционной функции . Вычисление межцикловых параметров автокорреляционной функции процесса осадки выполняется по центрированным значениям реализаций, найденным ранее по формуле (5). Будем обозначать через и сечения процесса с текущими номерами циклов k и l, между которыми определяются автокорреляционные зависимости. Алгоритм вычисления корреляционных моментов между текущими сечениями (циклами измерений) случайного процесса имеет вид:

(14)

где k и l — текущие номера циклов наблюдений сечений, i — номера осадочных марок (реализаций).

Пояснения: различают взаимную корреляцию, например, двух случайных величин х и у, обозначаемую через и автокорреляцию, выражающую степень зависимости между значениями одной и той же случайной величины, определяемыми в различное время .

Отметим ещё раз, что деление суммы ковариаций на (n-1) обусловлено необходимостью получить несмещённую оценку корреляционного момента. В упрощённом варианте при значительном числе реализаций можно допустить деление на n. Для понятности восприятия значений автокорреляционной функции и её аппроксимации переходят к её нормированному выражению:

. (15)

Для вычисления автокорреляционной функции можно использовать следующие формы таблиц:

Таблица 1 — Исходные данные для i =1,2,3,4,5 (i — номер марки (реализации)).

Таблица 2 — Вычисление автокорреляционных моментов Таблица 3 — Составление автокорреляционной матрицы (по данным таблицы 2)

После составления автокорреляционной матрицы осуществляется переход от натуральных значений автокорреляционной матрицы к нормированным по формуле (15).

Таблица 4 — Нормированная автокорреляционная матрица

= (0,97);

;

;

.

Таблица 5 — Исходные данные для аппроксимации

Дальнейшая аппроксимация выполняется точно также как это было показано в разделе 2,1 для экспоненциального тренда.

Методика прогнозирования значений осадки конкретных марок и их разностей. Прогнозирование осуществляется по прогнозной модели (7) или (8). При этом экстраполируемые на (конец периода упреждения) параметры модели находятся по уравнениям, полученным в результате аппроксимации, ,, выполненной на периоде основания прогноза. Аргументом при экстраполяции служит значение времени, отсчитываемое от начала, использованного при построении кинематической модели. Параметры, , — берутся из результатов наблюдений последнего цикла периода основания прогноза, на котором строилась модель. Адекватность модели следует оценивать путём инверсной верификации, т. е. контрольного прогнозирования на имеющиеся результаты наблюдений, не входящие в период основания прогноза.

алгоритм деформация вариация сечение