Многофакторная модель. 
Многофакторная модель. 
Ряды динамики

Для оценки влияния факторов на результативный признак (цена вторичной однокомнатной квартиры в Приволжском районе г. Казань) требуется провести отбор факторов в модель линейной регрессии на основе данных по 30 квартирам, а также изучить состав и структуру выборочный совокупности. Выборочные данные представлены в табл. 1.1.

Таблица 1.

Для решения задачи воспользуемся методом исключения факторов.

На первом шаге включим в модель все факторы. В качестве программного средства реализации анализа воспользуемся пакетом Анализ данных табличного процессора EXCEL, инструмент Регрессия. Результаты представлены в таблице 2.

Модель зависимости цены квартиры в Приволжском районе г. Казань от всех факторов имеет вид (формула 1.1):

Y (x) = 0,535 + 0,045×1 + 0,025×2 — 0,014×3 ,(1.1).

Проверку значимости уравнения регрессии осуществим на основе F-критерия Фишера. Расчетное значение (Fрасч) равно 5,65. Табличное значение F-критерия при доверительной вероятности 0,95 и числе степеней свободы г1= k = 3 и г2 = n — k — 1 = 30 — 3 — 1 = 26 составляет 2,98.

Таблица 2.

Вывод итогов инструмента «Регрессия» (множественная регрессия).

Поскольку Fрасч > F табл, уравнение регрессии следует признать адекватным.

Множественный коэффициент корреляции R, равный 0,628, свидетельствует о заметной связи между признаками.

Множественный коэффициент детерминации RІ, равный 0,395, показывает, что около 39,5% вариации зависимой переменной обусловлено влиянием включенных в модель факторов и на 60,5%? другими факторами, не учтенными в модели.

Значимость коэффициентов регрессии оценим с помощью t — критерия Стьюдента.

Расчетные значения критерия Стьюдента следующие: ta1 = 3,428, ta2 = 1,285, ta3 = -1,046. Табличное значение критерия при уровне значимости б = 0,05 и числе степеней свободы г = n — k — 1 = 26 равно 2,056. Значит, выполняется следующее неравенство:¦ ta2, ta3 ¦< tтабл. Таким образом, коэффициенты регрессии a2, a3 незначимы и из модели следует исключить факторные признаки x2, x3.

На втором шаге построим модель зависимости цены вторичных однокомнатных квартир в Приволжском районе г. Казань от площади квартиры. Расчеты представлены в таблице 3.

Таблица 3. Вывод итогов инструмента «Регрессия» (парная регрессия).

Величина коэффициента корреляции (ryx = 0,555) свидетельствует о заметной связи между признаками.

Парный коэффициент детерминации (rІyx = 0,308) показывает, что на 30,8% изменение зависимой переменной объясняется изменениями факторного признака.

Значимость коэффициента корреляции проверим с помощью t-критерия Стьюдента по формуле 1.2:

tрасч = ryx = 3,530 = 6,361, (1.2).

Табличное значение t-критерия Стьюдента при доверительной вероятности 0,05 и числе степеней свободы г = (n — k — 1) = 28 составляет 2,048.

Так как tрасч > tтабл, то значение коэффициента корреляции признается значимым и делается вывод о том, что между признаками есть статистическая взаимосвязь.

Коэффициент регрессии a1 =0,045 показывает, что с увеличением общей площади на 1 м² цена возрастает на 0,045 млн руб.

Уравнение парной регрессии имеет вид формула 1.3:

= 0,855 + 0,045x1,(1.3).

Табличное значение t-критерия с г = (n — k — 1) = 28 степенями свободы при доверительной вероятности 0,95 (б = 0,05) равно 2,048. Расчетные значения критерия равны ta0= 1,520, ta1 = 3,533.

Значит, имеем следующие результаты:

ta0 < tтабл параметр a0 незначим;

ta1 > tтабл параметр a1 значим.

Для проверки значимости уравнения регрессии в целом воспользуемся F-критерием Фишера. Табличное значение воспользуемся F-критерия с г1 = k = 1 и г2 = n — k — 1 = 28 степенями свободы и при доверительной вероятности 0,95 (б = 0,05) равно 4,2. Расчетное значение критерия составляет 12,48.

Так как Fрасч > Fтабл, уравнение парной линейной регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое.

Рассчитаем коэффициент эластичности по формуле 1.4:

Эi = ai Ч ,(1.4).

где ai -коэффициент регрессии при i-м факторе;

— среднее значение i-го фактора;

— среднее значение результативного признака.

Эi = ai Ч = 0,045 Ч = 0,693%.

Коэффициент эластичности показывает, что на 0,693% в среднем изменится результативный признак при изменении факторного признака на 1 м².

Для изучения состава и структуры выборочной совокупности квартир построим статистический ряд распределения по признаку «площадь квартиры». Расположим значения признака х1 в порядке возрастания с помощью табличного процессора EXCEL, инструмент Данные, сортировка. Результаты представлены в таблице 4.

Таблица 4. Разработанная таблица для построения ряда распределения.

Число групп n определим по формуле Стерджесса (1.5):

n = 1 + 3,22lgN = 1 + 3,322lg30? 6 групп,(1.5).

Величину интервала группировки рассчитаем по формуле 1.6:

h = = (52−33): 6 = 3,17 м²,(1.6).

Значения границ интервалов ряда распределения при h = 3,17 м² приведены в таблице 5.

Таблица 5 Расчет интервальных границ группировки.

На основе данных таблиц 4 и 5 составим таблицу 6, в которой представлен ряд распределения коттеджей по общей площади.

Таблица 6 Распределение коттеджей по общей площади (структурная группировка).

Графически ряд распределения изображается с помощью гистограммы и кумуляты. В качестве программного средства графического изображения ряда распределения воспользуемся табличным процессором EXCEL, инструмент Мастер диаграмм. Результаты представлены на рис. 1.

Рисунок 1. Гистограмма распределения вторичных однокомнатных квартир в Приволжском районе г. Казань по общей площади.

На рис. 1 показано нахождение значения моды. Конкретное значение моды для интервального ряда распределения определяется по формуле.

(1.7).

гденижняя граница модального интервала;

— величина модального интервала;

— частота модального интервала;

— частота интервала, предшествующего модальному интервалу.

— частота интервала, следующего за модальным интервалом.

Модальным интервалом является интервал 134−168 м², так ему соответствует наибольшая частота (=15, таблица 6).

м²

Таким образом, в выборочной совокупности чаще всего встречаются квартиры со средней общей площадью 44, 375 .

Для нахождения значения медианы строится кумулята (рис.2).

Накопленные частоты.

Рисунок 2. Кумулята распределения коттеджей по общей площади.

Конкретное значение медианы для интервального ряда распределения определяется по формуле:

(1.8).

где — нижняя граница медианного интервала;

— величина медианного интервала;

— частота медианного интервала;

— накопленная частота интервалов, предшествующих медианному интервалу;

— сумма частот.

Согласно данным таблицы 6 медианным интервалом является интервал 42,51−45,68, так как в этом интервале сумма накопленных частот превышает величину, равную половине численности единиц совокупности =15).

В выборочной совокупности половина квартир имеют в среднем общую площадь не более 44,21 м², другая половина — не менее 44,21 м².

Для расчета характеристик ряда распределения построим вспомогательную таблицу 7.

Расчет средней арифметической взвешенной:

м²

Расчет дисперсии и среднего квадратического отклонения:

м²

Среднее квадратическое отклонение в ту или иную сторону в среднем составляет 4,311 м².

Таблица 7 Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения.

№ группы.	Группы вторичных однокомнатных квартир по площади, м2	Число квартир (.	Середина интервала,. (.
А.	Б.
	33−36,17.		34,585.	103,755.	— 9,048.	81,866.	245,598.
	36,17−39,34.		37,755.	75,51.	— 5,878.	34,551.	69,102.
	39,34−42,51.		40,925.	122,775.	— 2,708.	7,333.	21,999.
	42,51−45,68.		44,095.	573,235.	0,462.	0,213.	2,769.
	45,68−48,85.		47,265.	283,59.	3,632.	13,191.	79,146.
	48,85 и более.		50,435.	151,305.	6,802.	46,267.	138,801.
Итого.		255,06.	1310,17.	— 6,738.	183,421.	557,415.

Расчет коэффициента вариации:

%.

На основе проведенных расчетов можно сделать выводы о том, что средняя общая площадь квартир в данной совокупности равен 43,672 м², отклонение от среднего значения в ту или иную сторону составляет в среднем 4,311 м², вариация общей площади в рассматриваемой совокупности квартир незначительна (V= 9,871% <33%) и совокупность по данному признаку качественно однородна.

Таблица 8 Выход итогов инструмента «Описательная статистика».

Значения таблицы 8 несущественно расходятся с приведенными ранее расчетами, так как они определены по фактическим несгруппированным данным, тогда как значения показателей, полученные на основе данных таблица 7, определялись по серединам интервалов, взятым в качестве значений признака. На основе данных таблицы 4 построим аналитическую группировку (таблица 9).

Таблица 9 Зависимость суммы цены коттеджей от общей площади (аналитическая группировка).

Построенная группировка не дает представления о направлении связи между признаками (с ростом значений факторного признака не наблюдается рост или снижение среднего значения результативного признака).

Для измерения тесноты связи между признаками рассчитываются эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение по формуле 1.9:

(1.9).

где — общая дисперсия признака Y;

межгрупповая дисперсия признака Y.

Общая дисперсия вычисляется по формуле 1.10.

(1.10).

Для расчета общей дисперсии воспользуемся табличным процессором EXCEL, инструмент Мастер функций, статистическая функция ДИСПР. Расчетное значение дисперсии равно .

Межгрупповая дисперсия определяется по формуле 1.11.

(1.11).

Для расчета межгрупповой дисперсии составим таблица 10.

Таблица 10 Расчет межгрупповой дисперсии.

№ группы.	Группы вторичных однокомнатных квартир по площади, м2	Число квартир,.	Групповая средняя.
А.	Б.
	33−36,17.		2,31.	— 0,52.	0,27.
	36,17−39,34.		2,645.	— 0,185.	0,005.
	39,34−42,51.		2,55.	— 0,28.	0,06.
	42,51−45,68.		2,955.	0,125.	0,04.
	45,68−48,85.		2,88.	0,05.	0,0002.
	48,85 и более.		3,143.	0,313.	0,083.
Итого.		2,83.	0,458.

Межгрупповая дисперсия равна:

.

Эмпирический коэффициент детерминации равен:

Эмпирическое корреляционное отношение составляет:

=0,65=65%.

Полученное значение эмпирического корреляционного отношения подтверждает наличие заметной связи между рассматриваемыми признаками. Эмпирический коэффициент детерминации показывает, что 65% общей вариации изучаемого признака (цена вторичных однокомнатных квартир в Приволжском районе г. Казань) обусловлено вариацией группировочного признака (общей площади), а 35% влияют все остальные факторы (площадь кухни, этаж).

2 Раздел. Ряды динамики В данном разделе студент самостоятельно определяет показатели динамического ряда с 2011 по 2015 годы на основании статистических данных Госкомстата РФ и РТ. По типовому примеру с решением студентом рассчитываются основные статистические показатели динамического ряда и представляются графическое изображение (тренд) тенденции изучаемого показателя.

Типовой пример. Уровень заработной платы в Санкт-Петербурге за период 2011;2015 гг. характеризуется следующим рядом динамики.

Таблица 1.

Вычислить: абсолютные, относительные, средние изменения и их темпы базисным и цепным способами. Проверить ряд на наличие в нем линейного тренда, на основе которого рассчитать интервальный прогноз на 2016 год с вероятностью 95%.

Решение. Любое изменение уровней ряда динамики определяется базисным (сравнение с первым уровнем) и цепным (сравнение с предыдущим уровнем) способами. Оно может быть абсолютным (разность уровней ряда) и относительным (соотношение уровней).

Базисное абсолютное изменение представляет собой разность конкретного и первого уровней ряда (2.1), а цепное абсолютное изменение представляет собой разность конкретного и предыдущего уровней ряда (2.2).

(2.1)(2.2).

По знаку абсолютного изменения делается вывод о характере развития явления: при > 0 — рост, при < 0 — спад, при = 0 — стабильность.

В нашей задаче эти изменения определены в 3-м и 4-м столбцах таблицы 2. Для проверки правильности расчетов применяется правило, согласно которому сумма цепных абсолютных изменений равняется последнему базисному. В нашей задаче это правило выполняется: =8,6 и = 8,6.

Базисное относительное изменение представляет собой соотношение конкретного и первого уровней ряда (2.3), а цепное относительное изменение представляет собой соотношение конкретного и предыдущего уровней ряда (2.4).

(2.3)(2.4).

Относительные изменения уровней — это по существу индексы динамики, критериальным значением которых служит 1. Если они больше ее, имеет место рост явления, меньше ее — спад, а при равенстве единице наблюдается стабильность явления.

В задаче эти изменения определены в 5-м и 6-м столбцах таблицы 2.

Вычитая единицу из относительных изменений, получают темп изменения уровней, критериальным значением которого служит 0. При положительном темпе изменения имеет место рост явления, при отрицательном — спад, а при нулевом темпе изменения наблюдается стабильность явления. В нашей задаче темпы изменения определены в 7-м и 9-м столбцах таблицы 2, а в 8-м и 10-м сделан вывод о характере развития изучаемого явления.

Таблица 2Вспомогательные расчеты для решения задачи.

Год.	Y.	Хар-р	Хар-р
	23,4.
	26,6.	3,2.	3,2.	1,13.	1,13.	0,13.	рост.	0,13.	рост.
	29,8.	6,4.	3,2.	1,27.	1,12.	0,27.	рост.	0,12.	рост.
	32,6.	9,2.	2,8.	1,39.	1,09.	0,39.	рост.	0,09.	рост.
	32,0.	8,6.	— 0,6.	1,36.	0,98.	0,36.	рост.	— 0,02.	спад.
Итого.	144,4.	8,6.	1,36.

Обобщенной характеристикой ряда динамики является средний уровень ряда. Способ расчета зависит от того, моментный ряд или интервальный (см. рис. 2.1):

Рис. 2.1. Методы расчета среднего уровня ряда динамики.

В нашей задаче ряд динамики моментный, значит, применяем формулу средней хронологической простой: =29,175 (тыс.руб.). То есть за период 2011;2015 в РФ средний уровень заработных плат составил 29,175 тыс. руб.

Кроме среднего уровня в рядах динамики рассчитываются и другие средние показатели — среднее изменение уровней ряда (базисным и цепным способами), средний темп изменения.

Базисное среднее абсолютное изменение — это частное от деления последнего базисного абсолютного изменения на количество изменений уровней (2.5). Цепное среднее абсолютное изменение уровней ряда — это частное от деления суммы всех цепных абсолютных изменений на количество изменений (2.6).

^Б =(2.5)^Ц=(2.6).

По знаку средних абсолютных изменений также судят о характере изменения явления в среднем: рост, спад или стабильность. Из правила контроля базисных и цепных абсолютных изменений следует, что базисное и цепное среднее изменение должны быть равными. В нашей задаче = 29,175, то есть на период с 2011 по 2015 года средняя заработная пллата составляла 29,175 т.р.

Наряду со средним абсолютным изменением рассчитывается и среднее относительное. Базисное среднее относительное изменение определяется по формуле (2.7), а цепное среднее относительное изменение — по формуле (2.8):

^Б== (2.7)^Ц=(2.8).

Естественно, базисное и цепное среднее относительное изменения должны быть одинаковыми и сравнением их с критериальным значением 1 делается вывод о характере изменения явления в среднем: рост, спад или стабильность. В нашей задаче = = 1,06, то есть ежегодно в среднем уровень заработной платы увеличивается на 1,06 т.р.

Вычитанием 1 из среднего относительного изменения образуется соответствующий средний темп изменения, по знаку которого также можно судить о характере изменения изучаемого явления, отраженного данным рядом динамики. В нашей задаче = 1,06- 1 = 0,06, то есть ежегодно уровень заработной платы увеличивается на 6%.

Проверка ряда динамики на наличие в нем тренда (тенденции развития ряда) возможна несколькими способами (метод средних, Фостера и Стюарта, Валлиса и Мура и пр.), но наиболее простым является графическая модель, где на графике по оси абсцисс откладывается время, а по оси ординат — уровни ряда. Соединив полученные точки линиями, в большинстве случаев можно выявить тренд визуально. Тренд может представлять собой прямую линию, параболу, гиперболу и т. п. В итоге приходим к трендовой модели вида (2.9):

(2.9).

где — математическая функция развития;

— случайное или циклическое отклонение от функции;

t — время в виде номера периода (уровня ряда).

Цель такого метода — выбор теоретической зависимости в качестве одной из функций:

— прямая линия; - гипербола; - парабола;- степенная; - ряд Фурье.

Для выявления тренда (тенденции развития ряда) в нашей задаче построим график Y (t) (рис. 2.2):

Рис. 2.2. График динамики Уровня заработных плат в РФ в т. р

Из данного графика видно, что есть все основания принять уравнение тренда в виде линейной функции.

Определение параметров в этих функциях может вестись несколькими способами, но самые незначительные отклонения аналитических (теоретических) уровней (- читается как «игрек, выравненный по t») от фактических () дает метод наименьших квадратов — МНК. При этом методе учитываются все эмпирические уровни и должна обеспечиваться минимальная сумма квадратов отклонений эмпирических значений уровней от теоретических уровней (2.10):

(2.10).

В нашей задаче при выравнивании по прямой вида параметры и отыскиваются по МНК следующим образом. В формуле ,(2.9) вместо записываем его конкретное выражение. Тогда. Дальнейшее решение сводится к задаче на экстремум, т. е. к определению того, при каком значении и функция двух переменных S может достигнуть минимума. Как известно, для этого надо найти частные производные S по и, приравнять их к нулю и после элементарных преобразований решить систему двух уравнений с двумя неизвестными.

В соответствии с вышеизложенным найдем частные производные (2.11):

(2.11).

Сократив каждое уравнение на 2, раскрыв скобки и перенеся члены с y в правую сторону, а остальные — оставив в левой, получим систему нормальных уравнений (2.12):

(2.12).

где n — количество уровней ряда; t — порядковый номер в условном обозначении периода или момента времени; y — уровни эмпирического ряда.

Эта система и, соответственно, расчет параметров и упрощаются, если отсчет времени ведется от середины ряда. Например, при нечетном числе уровней серединная точка (год, месяц) принимается за нуль. Тогда предшествующие периоды обозначаются соответственно -1, -2, -3 и т. д., а следующие за средним (центральным) — соответственно 1, 2, 3 и т. д. При четном числе уровней два серединных момента (периода) времени обозначают -1 и +1, а все последующие и предыдущие, соответственно, через два интервала:, , и т. д.

При таком порядке отсчета времени (от середины ряда) = 0, поэтому, система нормальных уравнений упрощается до следующих двух уравнений, каждое из которых решается самостоятельно (2.13):

(2.13).

Как видим, при такой нумерации периодов параметр представляет собой средний уровень ряда. Определим по формуле ,(2.13) параметры уравнения прямой, для чего исходные данные и все расчеты необходимых сумм представим в таблице 3.

Таблица 3. Вспомогательные расчеты для решения задачи.

Из таблицы получаем, что = 144,4/5 = 28,88 и = 23,2/10 = 2,32. Отсюда искомое уравнение тренда = 28,88 — 2,32 t. В 6-м столбце таблицы 3 приведены трендовые уровни, рассчитанные по этому уравнению. Для иллюстрации построим график эмпирических (маркеры-кружочки) и трендовых уровней (рис. 2.3).

Рис. 2.3. График эмпирических и трендовых уровней заработной платы в РФ.

По полученной модели для каждого периода (каждой даты) определяются теоретические уровни тренда () и оценивается надежность (адекватность) выбранной модели тренда. Оценку надежности проводят с помощью критерия Фишера, сравнивая его расчетное значение F_р с теоретическими значениями F_Т (приложение 1). При этом расчетный критерий Фишера определяется по формуле 2.14:

(2.14).

где k — число параметров (членов) выбранного уравнения тренда;

Д_А — аналитическая дисперсия, определяемая по формуле (2.16);

Д_о — остаточная дисперсия (2.17), определяемая как разность фактической дисперсии ;

Д_Ф-(2.15) и аналитической дисперсии:

(2.15).

(2.16).

(2.17).

Сравнение расчетного и теоретического значений критерия Фишера ведется обычно при уровне значимости с учетом степеней свободы и. Уровень значимости связан с вероятностью следующей формулой. При условии F_р > F_Т считается, что выбранная математическая модель ряда динамики адекватно отражает обнаруженный в нем тренд.

Проверим тренд в нашей задаче на адекватность по формуле ,(2.14), для чего в 7-м столбце таблицы 6 рассчитан числитель остаточной дисперсии, а в 8-м столбце — числитель аналитической дисперсии. В формуле (2.14) можно использовать их числители, так как оба они делятся на число уровней n (n сократятся): F_Р =118 846,97*5/(1659,98*1) = 357,977 > F_Т, значит, модель адекватна и ее можно использовать для прогнозирования (F_Т = 7,71 находим по …