Определение модуля Юнга и коэффициента Пуассона методом изгиба балки

Определение модуля Юнга и коэффициента Пуассона методом изгиба балки

Коэффициенты: модуль упругости — модуль Юнга E, коэффициент Пуассона м и модуль сдвига G являются фундаментальными константами дисциплины «Механика материалов». Для выполнения расчетов на прочность, жесткость и устойчивость элементов инженерных конструкций необходимо их экспериментальное определение. Модуль Юнга E и коэффициент Пуассона м определяются при растяжении образца, модуль сдвига G — при кручении.

• 1. Модуль Юнга E представляет собой коэффициент прямой пропорциональности между относительной продольной деформацией е и возникающим напряжением у = E? е. Он может быть определен одним из 3-х способов:
  • · Непосредственно из диаграммы у — е растяжения или сжатия образца;

· Измерением реального удлинения Дl образца с базой l и площадью, А поперечного сечения, вызванного нагрузкой F: ;

· По величине прогиба балки при чистом изгибе по уравнению математической зависимости перемещений при изгибе: ;

где a — плечо изгибающего момента от силы F, Н; l — длина участка балки, испытывающей чистый изгиб, мм; J_z — осевой момент инерции поперечного сечения балки, мм⁴; f — прогиб середины балки, мм.

Первые 2 способа предполагают использование дорогостоящего энергоемкого оборудования. Третий способ изгиба образца в виде балки обеспечивает необходимую точность механическим замером прогиба балки на лабораторной установке (рисунок 1).

Рисунок 1. Прогиб балки при чистом изгибе.

2. Коэффициент Пуассона определяется относительной продольной и поперечной деформацией образца. Продольная деформация — растяжение или сжатие — всегда сопровождается поперечной деформацией, одинаковой по всем направлениям для изотропных материалов. В пределах упругой области растяжения, сжатия или изгиба относительная поперечная деформация еґ прямо пропорциональна относительной продольной деформации е: еґ= е [1].

Тогда коэффициент Пуассона, в соответствии со 2-м способом определения, равен:

= |еґ / е|, еґ= Дb / b, е = Д? / ?,.

где b и ?, Дb и Д? — ширина и длина, сужение и удлинение образца при растяжении или изгибе.

Так как величины Дl и Дb, как правило, очень малы, то для их определения применяются тензометрические методы. Сущность тензометрии состоит в изменении электрического сопротивления проводника и возникающего тока I прямо пропорционально его относительной деформации е при растяжении или сжатии:

I = c? S?е;

где c и S — коэффициенты, зависящие от напряжения и чувствительности тензосистемы.

Специальный датчик — тензорезистор присоединяется к источнику тока регистрирующей тензометрической станции, прочно наклеивается на исследуемую деталь через изолирующую прослойку и деформируется вместе с деталью. Он изготавливается в виде П-образной петли или зигзагов. Длина петли — база L = 5−50 мм при R = 50−200 Ом.

Так как деформация и изменение силы тока в тензорезисторе малы, то применяется мостовая схема. Внешний полумост составляют 2 тензореистора c одинаковым сопротивлением R₁ и R₂, еще 2 одинаковых сопротивления R₃ и R₄ смонтированы внутри тензометрической станции. При этом, тензорезистор R₂ называется температурным и наклеивается на недеформируемую часть детали или даже на отдельную пластинку. Он служит для автоматической компенсации ненужных сигналов, в частности, температурной деформации.

В данном случае для измерения поперечной и продольной деформации образца используются 2 цепи и 2 одинаковых тензорезистора R₁ и R'₁, наклеенные вдоль и поперек образца. Возникающие силы тока в них индуцируются на табло.

Коэффициент Пуассона может быть рассчитан по реальным величинам деформации еґ и е, выполнив дополнительные измерения реальной линейной деформации образца и определив тарировочный коэффициент е?. Однако, оба тензорезистора R'₁ и R₁ имеют одинаковую измерительную базу и одинаковое омическое сопротивление. Поэтому коэффициент Пуассона определяется непосредственно, как частное от изменения показаний силы тока поперечного и продольного датчиков: n'_i и n_i: = |n_iґ / n_i|.

Вместе с тем, изгиб балки также сопровождается продольной и поперечной деформациями ее поверхностей. Поэтому, в принципе, возможно применение 3-го способа с измерением продольной и поперечной деформаций аналогичными тензорезисторами при чистом изгибе балки. Однако, в этом случае, необходимо доказать идентичность рассматриваемых показателей упругих свойств материала по их предельным значениям.

Предельные значения коэффициента Пуассона для изотропных материалов можно установить, если подсчитать изменение объема V образца при растяжении. Первоначальный объем:

V₀ = l? a?b.

После деформации его размеры l, a и b получат соответствующие приращения:

V = l (1+е)•a (1-е)•b (1-е).

После преобразований получим:

V = V₀ [1+е (1−2).

Абсолютное приращение объема:

ДV = V — V₀ = V₀•е (1−2).

Так как очевидно, что при растяжении образца из любого изотропного материала его объем не может уменьшаться, то ДV должно быть больше или равняться нулю. Тогда из полученного выражения следует, что (1−2)?0 и? 0,5. Для стали — м? 0,3.

Имеется два вида материала — резина и парафин, для которых м при растяжении равно 0,5; так как их объем при линейной деформации не изменяется. Следовательно число 0,5 является предельной величиной параметра м и должно подтвердить достоверность методов экспериментального определения коэффициента Пуассона.

3. С целью подтверждения достоверности метода изгиба балки рассмотрим 2 элементарных объема в виде кубика с ребрами длиной l. Один растягивается вдоль осевой линии на величину Д с поперечной деформацией на каждой стороне н/2 (рисунок 2). Второй — расположен на нейтральной линии в изгибаемом образце, проходящей через центр тяжести его поперечного сечения. В обоих случаях определим математическое выражение коэффициента Пуассона м в функции продольной деформации Д при условии, что выделенные объемы неизменны до и после деформаций (рисунок 3): V0 = V = l3.

Так как = |еґ / е| и еґ= н / l, е = Д / ?, то расчетная величина = |н / Д|. Тогда:

.

Подинтегральное выражение для определения одной из составляющих объема изгибаемого кубика определяется величиной основания b и высоты h треугольника из пропорций:

и .

Тогда: и, а элементарный объем.

Рисунок 2. Деформации деформация юнг балка прогиб.

Рисунок 3. Деформации при растяжении при изгибе После преобразований в обоих случаях получим квадратные уравнения относительно сужения н, решения которых позволяет определить коэффициенты Пуассона = |н / Д|.

. .

Расчеты коэффициентов Пуассона по полученным функциям м = f (Д) в пределах реальных величин деформаций Д = (0,001 — 0,030)?l приводит к одному и тому же результату = 0,5. Для материалов с м < 0,5, в частности для стали, получены аналогичные абсолютно идентичные результаты экспериментальным путем при растяжении и изгибе.

1. Подскребко М. Д. Сопротивление материалов: учебник / М. Д. Подскребко. — Мн.: Выш. шк., 2007. — 797 с.