Моделирование логнормального распределения

Министерство науки и образования Украины Харьковский Национальный Университет им. В. Н. Каразина Факультет компьютерных наук Кафедра моделирования систем и технологий

Моделирование логнормального распределения

Курсовая работа по дисциплине

«Компьютерное моделирование стохастических процессов»

Исполнитель *************

студент ****

Руководитель Ст. преп. ************

Харьков 2007

План

1. Введение

2. Логнормальное распределение

3. Применение логнормального распределения

4. Постановка задачи

5. Реализация поставленной задачи

6. Инструкция пользователю

7. Описание программного модуля

8. Заключение

9. Список используемой литературы

10. Общие данные логнормального распределения

Данная работа была создана с целью промоделировать логнормальное распределение. Проект представляет собой программный продукт, который генерирует случайные величины распределенные по вышеуказанному закону, отображает теоретическую плотностью распределения и плотность полученную в результате эксперимента. Также считается мат. ожидание и дисперсия теоретически и экспериментально.

Логнормальное распределение

Случайная величина X имеет логнормальное распределение с параметрами м, у, если X = exp (Y), где Y имеет нормальное распределение с параметрами м, у. Случайная величина с логнормальным распределением является непрерывной, и принимает только положительные значения. Графики плотности (привязан к левой вертикальной оси ординат) и функции (привязан к правой оси ординат) логнормального распределения с параметрами м = 0, у = 0.7 приведен на следующем рисунке.

Характеристики В следующей таблице приведены формулы для вычисления характеристик логнормального распределения.

Плотность распределения

Функция распределения*

Математическое ожидание

Стандартное отклонение

Дисперсия

Асимметрия

Мода

* Функция логнормального распределения F через элементарные функции не выражается. Для приближенного вычисления функции этого распределения с параметрами м, у можно воспользоваться формулой F (x) = Цм, у (ln x), где Цм, у — функция нормального распределения с параметрами м, у.

Моделирование

Моделирование значений случайной величины с логнормальным распределением (с параметрами м, у) проводится по формуле X = exp (Y), где Y имеет нормальное распределение с теми же параметрами.

Применение логнормального распределения

В статистике так называемое логнормальное распределение применяется в том случае, когда начинает изменяться цена актива в будущем — а это случайный процесс, который в принципе должен описываться нормальным распределением. В то же время для целей вероятностной оценки стоимости актива в теории пользуются не нормальным, а логнормальным распределением. Это обусловлено следующими причинами. Во-первых, нормальное распределение симметрично относительно ее центральной оси и может иметь как положительные, так и отрицательные значения; однако цена актива не может быть отрицательной. Во-вторых, нормальное распределение говорит о равной вероятности для значений переменной отклониться вверх или вниз. В то же время на практике, например, имеет место инфляция, которая оказывает давление на цены в сторону их повышения, а также сама временная сущность денег: стоимость денег сегодня меньше, чем стоимость денег вчера, но больше, чем стоимость денег завтра. Кривая логнормального распределения всегда положительна и имеет правостороннюю скошенность (асимметрично), т. е. она указывает на большую вероятность цены отклониться вверх. Поэтому если, допустим, цена актива составляет 50 долл., то кривая логнормального распределения свидетельствует о том, что опцион пут с ценой исполнения 45 долл. должен стоить меньше опциона колл с ценой исполнения 55 долл., в то время как в соответствии с нормальным распределением они должны были бы иметь одинаковую цену. Хотя нельзя надеяться, что приведенные исходные предположения в точности выполняются во всех реальных рыночных ситуациях, тем не менее принято считать, что логнормальное распределение достаточно хорошо как первое приближение в случае активов, которыми торгуют на конкурентных рынках аукционного типа для длинных рассматриваемых периодов.

Постановка задачи

Была поставлена задача промоделировать логнормального распределения, вывести график плотности распределения, полученный при помощи аналитических расчетов, и график, промоделированный с помощью стохастического метода. Посчитать математическое ожидание и дисперсию аналитическим и стохастическим способами и занести полученные результаты в таблицу (SrtingGrid).

Реализация поставленной задачи

Для решения поставленной я использовал среду программирования Delphi 7.

Сначала были сделаны расчеты по формулам которые описывались выше для того, чтобы отобразить график плотности логнормального распределения при помощи аналитических расчетов.

Для того, чтобы получить график плотности распределения на основе стохастических преобразований, был выбран метод Неймана.

Также нужно было посчитать математическое ожидание и дисперсию и ввести полученные результаты на экран. Формулы которых представлены ниже

var

Form1: TForm1;

kk:Int64;

flag:boolean;

implementation

Плотность распределения

function TForm1. PL (x:double):double; //—density of distribution

begin

if x<>0 then

result := exp (-(ln (x)-mu)*(ln (x)-mu)/(2*sigma*sigma))/(x*sigma*Sqrt (2*Pi))

else

result := 0;

end;

function TForm1. LogNorm (): double; //—for a method of Neumann

var

y: real;

x: double;

begin

repeat

x := a+random*(b-a);

f := PL (x);

y := fmax*random;

until y

result := x;

end;

procedure TForm1. Clear; //——————clear array————;

const M=50;

var j: integer;

begin

for j:=0 to (M-1) do

begin

gist[j] := 0;

end;

end;

procedure TForm1. Panel1Click (Sender: TObject);

var

x, r, sr, h1, h2, Ob, g1, g2, chi2_N, chi2₁₂, chi2_if, sum, Z: double;

p, y, Mat, Mat2, Disp: real;

M, j: integer;

N, i, u: longint;

begin

flag:=false;

Gauge1.Progress:=0;

//———-**All fields must be filled!**————;

if (E1.Text='') or (E2.Text='') or (E3.Text='') or (E4.Text='') or

(E5.Text='') then

begin

with Application do

begin

NormalizeTopMosts;

MessageBox ('All of fields must be filled!', 'Error', MB_OK);

RestoreTopMosts;

end;

exit;

end;

//—————**initialization**———————

T := GetTime;

Clear;

Chart1.Series[0]. Clear;

Chart1.Series[1]. Clear;

Chart1.Series[2]. Clear;

sigma := StrToFloat (E1.Text);

mu := StrToFloat (E2.Text);

a := StrToFloat (E3.Text);

b := StrToFloat (E4.Text);

kk:=StrToint64(E5.Text);

if kk>2 000 000 000 then

begin

Showmessage ('Очень большое число, введите меньшее');

exit;

end;

N := StrToInt (E5.Text);

g1:=100/N;

g2:=0;

Randomize;

M := 50;

//———————-**theoretical method**—————————

for i:=1 to 100 do

begin

if (i mod 10) =0 then application. ProcessMessages;

x := a+i*(b-a)/100;

//p := PL (x);

if x<>0 then

p := exp (-(ln (x)-mu)*(ln (x)-mu)/(2*sigma*sigma))/(x*sigma*Sqrt (2*Pi))

else

p := 0;

Chart1.Series[0]. AddXY (x, p);

end; //—-theoretical

//***********************************************************

Метод Неймана

//———————-**method of Neumann**————————————

fmax :=Chart1.Series[0]. MaxYValue;

{for i:=1 to N do

begin

if (i mod 10) =0 then application. ProcessMessages;

x := a+i*(b-a)/N;

f := PL (x);

if (f>fmax)then

fmax := f;

end;} //max

//———————————————

Clear;

chi2_N:=0;

Mat:=0;

Mat2:=0;

Disp:=0;

i:=0;

Clear;

chi2_if := 0;

while true do

begin

if (i mod 10) =0 then application. ProcessMessages;

inc (i);

x := LogNorm ();

Mat := Mat+x; //expectation

Mat2 := Mat2 +sqr (x);

if (x>b) or (x

continue;

u := trunc ((x-a)/((b-a)/M));

gist[u] := gist[u]+1;

h1 := random;

h2 := random;

Ob := sqrt (-2*ln (h1))*cos (2*Pi*h2);

Ob := mu+Ob*sigma;

x := exp (Ob);

if (x>b) or (x

continue;

u := trunc ((x-a)/((b-a)/M));

gist1[u] := gist1[u]+1;

g2:=g2+g1;

Gauge1.Progress:=trunc (g2)+1;

if i>N then break;

if flag=true then

begin

N:=i;

break;

end;

end;

Mat := Mat/N;

Mat2 := Mat2/N;

Disp := Mat2 — sqr (Mat);

for j:=0 to (M-1) do //———histogram

begin

sum := (Power (N*PL (a+(b-a)/M*(j+0.5))*(b-a)/M-gist[j], 2))/

(N*PL (a+(b-a)/M*(j+0.5))*(b-a)/M);

chi2_N := chi2_N+sum;

Chart1.Series[1]. AddXY ((a+(j+0.5)*(b-a)/M), gist[j]/N*M/(b-a));

end;

E6.Text := FloatToStrF (chi2_N, fffixed, 4, 4);//—chi-square for a Neumann

//****************************************************************

Метод обратной функции

//———————**method of inverse function**————————;

Clear;

chi2_if := 0;

{for i:=1 to N do

begin

h1 := random;

h2 := random;

Ob := sqrt (-2*ln (h1))*cos (2*Pi*h2);

Ob := mu+Ob*sigma;

x := exp (Ob);

if (x>b) or (x

continue;

u := trunc ((x-a)/((b-a)/M));

gist[u] := gist[u]+1;

end;}

for j:=0 to (M-1) do //———histogram

begin

sum := (Power (N*PL (a+(b-a)/M*(j+0.5))*(b-a)/M-gist1[j], 2))/

(N*PL (a+(b-a)/M*(j+0.5))*(b-a)/M);

chi2_if := chi2_if+sum;

Chart1.Series[2]. AddXY ((a+(j+0.5)*(b-a)/M), gist1[j]/N*M/(b-a));

gist1[j]: =0;

end;

E8.Text := FloatToStrF (chi2_if, fffixed, 4, 4); //chi-sq for a inverse function

E10.Text := FloatToStr (exp (mu+sqr (sigma)/2)); //—expectation (teor)

E11.Text := FloatToStr (Mat); //—expectation (experim)

E12.Text := FloatToStr ((exp (sqr (sigma))-1)*exp (2*mu+sqr (sigma)));

E13.Text := FloatToStr (Disp);

D := GetTime;

Z := MilliSecondSpan (D, T);

e5.Text:=IntTostr (N);

Edit1.Text := FloatToStrF (Z, fffixed, 6, 6);

//*****************************************************************

end;

procedure TForm1. Panel7Click (Sender: TObject);

begin

Close;

end;

procedure TForm1. E1KeyPress (Sender: TObject; var Key: Char);

begin

if (key='-')

then begin

if Pos ('-', (Sender as TEdit).Text)=0 then Begin (Sender as TEdit).SelStart:=0; key:='-'; end

else key:=#0;

end;

if Sender is TEdit then

begin

if Not ((Key in ['0'.'9'])or (Key=Chr (vk_Back))

or (Key=DecimalSeparator) or (Key='-')) then

Key:=#0

else

begin

if Key = DecimalSeparator then

if Pos (DecimalSeparator,(Sender as TEdit).Text)>0 then

Key:=#0;

end;

end;

end;

procedure TForm1. Aboutme1Click (Sender: TObject);

begin

AboutBox.Show;

end;

procedure TForm1. Timer1Timer (Sender: TObject);

begin

Panel19.Caption := TimeToStr (Time);

end;

procedure TForm1. E1KeyDown (Sender: TObject; var Key: Word;

Shift: TShiftState);

begin

if (ssShift in Shift) then

key:=0;

end;

procedure TForm1. Panel20Click (Sender: TObject);

begin

flag:=true;

end;

end.

Инструкция пользователю

При запуске программы перед пользователем открывается форма, на которой есть поля ввода параметров, поля вывода посчитанных значений, поле для вывода графика и кнопки, при нажатии на которые происходит то или иное событие.

Справа в разделе «Теоретически пользователь может ввести значение sigma и mu, те значения которые он считает нужными; a и b это интервал в пределах которого меняется график. И значение N — (количество єксперементов) — в зависемости от того сколько раз мы будем проводить єксперемент. В зависимости от выбора данных параметров пользователь может получить различные формы графика плотности вероятности.

В разделе «Критерий согласия» выводятся значения оценки Хи-квадрат для двух указанных методов. Ниже вывод математического ожидания и дисперсии, посчитанных теоретически и экспериментально.

Справа внизу формы выводится системное время и время выполнения расчётов в миллисекундах.

При нажатии на кнопку «Вывести графики и вычислить» слева выводятся график плотности логнормального распределения (построенный теоретически), гистограммы распределения случайной величины по логнормальному закону, смоделированные при помощи метода Неймана и метода обратной функции.

При нажатии на кнопку «Стоп» программа прекращаются свою работу и начинает считывать значения которые обработались до определенного момента и записует значения в поля.

При нажатии на кнопку «2D/3D» пользователь может наблюдать изменение графика из 2D в 3D и наоборот.

При нажатии на кнопку «Выход» программа будет завершена.

В закладке «About» пользователь может узнать о создателях данного программного продукта и краткое описание программного продукта.

Описание программного модуля.

Программа состоит из одного окна, на котором расположены все элементы управления. Справа формы находятся поля для ввода исходных данных.

В центре формы размещена кнопка «Вывести графики и вычислить», нажатие на которую запускает генератор случайных величин. На графике появляются две кривые описывающие функцию плотности логнормального распределения. Красным цветом изображена теоретическая кривая, а синим (метод обратной функции) и зеленым (метод Неймана) — полученная в результате эксперимента. Справа в полях отображаются значения математического ожидания и дисперсии.

Заключение

В моей работе я рассмотрел логнормальное распределение, мы получили графики плотности распределения и функции распределения, и связи с другими распределениями.

В результате работы был создан программный продукт в среде Delphi 7, где мы можем посмотреть как моделируется логнормальное распределение, выводятся графики плотности распределения при помощи аналитических расчетов и стохастических преобразований. А также вычисляется мат. ожидание и дисперсия, стохастическим и аналитическим способами.

Список используемой литературы

1. http://en.wikipedia.org

2. Шеффе Г. Дисперсионный анализ. — М.: Физматгиз, 1980. — 628 с.

3. «Delphi 2005: „Секреты программирования“», Михаил Фленов.

Логнормамльное распределемние в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если случайная величина имеет логнормальное распределение, то её логарифм имеет нормальное распределение.

Определение

Пусть распределение случайной величины X задаётся плотностью вероятности, имеющей вид:

где. Тогда говорят, что X имеет логнормальное распределение с параметрами м и у. Пишут: X? LogN (м, у²).

Моменты

Формула для k-го момента логнормальной случайной величины X имеет вид:

откуда в частности:

.

Свойства логнормального распределения

· Если — независимые логнормальные случайные величины, такие что, то их произведение также логнормально:

.

Связь с другими распределениями

· Если X? LogN (м, у²), то

Y = lnX? N (м, у²).