Моделирование процесса параметрической идентификации динамического объекта

1. Постановка задачи

В нашей работе нам нужно создать модель, которая будет удовлетворять исходным данным и сможет найти оптимальные параметры для идентификации исходной функции. Результатом работы должны быть графики поиска минимума значения функции, гистограмма распределения точек генератора случайных чисел, а также график Y теоретического, Y экспериментального от времени.

Моделирование используется, если эксперимент с реальным объектом:

1) опасный

2) дорогой

3) долговременный / краткосрочный

4) невозможный / трудный Условная схема моделирования:

Т.к. у нас отсутствует объект, то мы заменяем его на Y теоретическое + шум

Y экспериментальное = Y теоретическое + шум

2. Нахождение Y теоретического. Преобразование формулы и решение ее с помощью Метода Эйлера

Здесь нам нужно найти значения функции Y теоретического, для того, чтобы потом получить Y экспериментальное, с помощью шума.

Используя метод введения дополнительной переменной, получим:

Перейдём в вещественную форму:

Обозначим:

Получим систему уравнений в канонической форме:

Далее решаем систему методом Эйлера. Начальные условия:

А также, на каждом шаге подставив полученные значения, рассчитываем Выберем шаг h=0.5, выполним необходимые вычисления и построим график функции.

Полученный график представлен на рис. 1. По графику видно, что функция

y (t)-> к числу чуть больше 0. А выходит она из точки ~ -1500.

Узнаем точные значения этих точек. Для этого вычислим пределы:

= 30

= -1500

Некоторые значения y представлена в таблице 1 «Зависимость значения функции от времени».

Наилучший период наблюдения t=1…300, шаг h=0.5.

Взято 300 точек, т. к. уже на этом периоде наблюдения видно как график функции сходится к положительному числу около 0. График функции искажается при шаге больше 0.5 (при шаге больше 0,8 — расходится). А при меньшем шаге сходимость получим за большее число шагов. Поэтому выбран шаг h=0.5.

Таблица 1. Зависимость значения функции от времени

3. Моделирование метода оптимизации

3.1 Описание метода поиска

Метод предназначен для нахождения экстремума (минимума) функции, но в нашем случае: .

1. Задается начальная точка, отличная от точки минимума. Задаются точность (E) и шаг (h).

2. Далее выбираем координату (направление), по которой будем двигаться по функции:

а все остальные координаты фиксируем. И ищем минимальное значение функции как функцию одной переменной (Х₁)

В случае если новое значение функции больше предыдущего, то меняем шаг на противоположный (h = - h).

3. Когда находим значение координаты, при котором значение функции минимально, то выбираем другую координату, по которой будем двигаться по функции:

а все остальные координаты снова фиксируем.

Выбор остановки задан 4 условиями:

1.

2.

3.

4. Число обращений (итераций)

k_(f) > k_max

3.2 Результаты работы программы

Квадратичная функция (Эллипс)

Функция имеет вид

Начальная точка А0 (2, 2).

Таблица 2. Изменение x1 и x2, исходя из поиска min значения квадратичной функции

N = 21

Функция Розенброка

Функция имеет вид:

Начальная точка А0 (2, 2).

EPSILON = 0.001; %Точность

h = 0.1; %Шаг Таблица 3. Изменение x1 и x2, исходя из поиска min значения функции Розенброка

N = 7

Начальная точка А0 (1, -4).

EPSILON = 0.001; %Точность

h = 0.1; %Шаг Таблица 4. Изменение x1 и x2, исходя из поиска min значения функции Розенброка

N = 27

4. Реализация ГСЧ

Создание ГСЧ и поиск модели зашумленного сигнала. В нашем случае используем метод усечения для создания ГСЧ. Чтобы испытать ГСЧ строим гистограмму на 10 000 точек. Сгенерированные точки должны соответствовать закону:

. y_max — максимальное значение Y по модулю из всех точек графика Y теор.

возьмем, т. к. y_max по модулю больше 500 (1500).

Проверка генератора «Треугольного шума» при N = 10 000 и delta_y = 7.5:

График Y теоретического и Y экспериментального (зашумленный график Y теоретического).

Таблица 5. Значения Yэкс в зависимости от шума

5. Нахождение минимума заданной целевой функции

Создадим математическую модель процесса с коэффициентами a1=8 и T=1 и подберем их таким образом, чтобы при данных значениях целевая функция была минимальна.

Выберем шаг h = 0.2. Точность EPSILON = 0.0001. Количество итераций ITERATION_AMOUNT = 1000.

Результаты пошагового приближения показаны в таблице 6 «Зависимость CF от значений a1 и T», график CF представлен на рис. 7

CF1_min = 8,901 453

CF2_min = 44,5 068

CF3_min = 132,7882

Таблица 6. Зависимость CF от значений параметров a1 и T

розенброк эйлер моделирование идентификация

Выводы

Ввиду того, что метод покоординатного спуска нулевого порядка, он довольно неточен. Из-за того, что функция Розенброка имеет овражный рельеф, дойти до точки минимума не удалось. Точка остановки в этом случае была довольно далеко от точки минимума. В случае с функцией Эллипса точка минимума была достигнута за 21 итерацию, при шаге h = 0.2. Несмотря на это точка минимума заданной целевой функции была достигнута абсолютно точно за 91 итерацию, при шаге h = 0.2, и точностью 0,0001.

Список источников

1. http://ru.wikipedia.org/wiki/Функция_Розенброка

2. http://nsft.narod.ru/Programming/colmetopt.html

3. http://www.mathworks.com

4. http://www.exponenta.ru/soft/matlab/potemkin/book/matlab/chapter0/0₀.asp

5. http://matlab.exponenta.ru

6. Н. Ю. Золотых. Использование пакета Matlab в научной и учебной работе — Нижний Новгород, 2006 — 165 с.