Моделирование фильтра высоких частот Баттерворта методом инвариантного преобразования

Размещено на /

Размещено на /

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Донской государственный технический университет Кафедра «Робототехника и мехатроника»

ЗАДАНИЕ

на курсовую работу Студент: Базарова А.П.

Группа УСУ-31

Тема: «Моделирование фильтра высоких частот Баттерворта методом инвариантного преобразования»

Исходные данные для проектирования: b = 1,4142; c = 1.000; f_cВЧ (частота среза ФВЧ-прототипа) = 3000. Проектирование цифрового фильтра методом инвариантного преобразования

1. Содержание пояснительной записки курсовой работы:

Введение

Теория фильтров электрических сигналов

Описания программы: Заключение Список используемых источников

Приложение.

2. Перечень графического материала:

Руководитель работы: Гоннонченко А.С.

Задание принял к исполнению: Базарова А.П.

СОДЕРЖАНИЕ Введение

1 Теория моделирования систем фильтрации сигналов.

1.1 Назначение и типы фильтров

1.2 Аппроксимация характеристик фильтров

1.3 Моделирование передаточной функции аналогового фильтра высоких частот

1.4 Расчет дискретных фильтров с бесконечной импульсной характеристикой

Заключение

Список использованной литературы Приложение А Текст исходной программы Приложение Б Simulink — модель цифрового полосно-пропускающего фильтра Приложение В Графики АЧХ, ФЧХ, и времени задержки

ВВЕДЕНИЕ

Одна из важнейших задач теории управления заключается в следующем: требуется наилучшим образом извлечь информацию об изучаемом процессе из измерений некоторых его характеристик, измерений — часто косвенных и проведенных с погрешностями. Это необходимо для принятия правильных решений по наблюдению за исследуемым процессом или выработке оптимального (в некотором смысле) управления. Возникновение такой проблемы, называемой задачей фильтрации или оценивания, связано с тем, что в любой системе связи или управления не все характеристики процессов (сигналов) заданы точно.

Фильтрация представляет собой одну из самых распространенных операций обработки сигналов. Цель фильтрации состоит в подавлении помех, содержавшихся в сигнале, или выделении отдельных составляющих сигнала, соответствующих тем или иным свойствам исследуемого процесса.

В электрических и электронных измерительных устройствах уже давно находят применение различные типы RLC-фильтров. С появлением доступных и дешевых интегральных операционных усилителей получили широкое распространение активные фильтры. Теория этих фильтров разработана достаточно хорошо, сформулированы четкие рекомендации по их расчету и проектированию. Прогресс в развитии цифровых интегральных схем, повсеместное применение микропроцессоров для цифровой обработки измерительной аппаратуры к цифровым фильтрам. Теория этих фильтров сформировалась относительно недавно, вопросами их анализа и синтеза посвящено большое число книг, в которых неискушенному читателю разобраться подчас весьма не просто.

Активные фильтры и цифровые фильтры — это устройства, которые используются в различных областях техники. В последние десятилетия интенсивно развивались также методы фильтрации, специфичные именно для измерительной техники. Это методы, основанные на реализации специальных весовых функций. Получаемые при этом фильтры очень близки по своим свойствам к цифровым фильтрам, но могут быть установлены как в цифровой, так и в аналоговой части средства измерения.

У аналоговой фильтрации есть некоторые преимущества по сравнению с цифровой: отсутствие погрешности квантования, сокращение части измерительного канала, для которой необходимо предусматривать расширенный диапазон измерения сигнала, учитывающий возможную помеху.

атомиздата.

Цель курсовой работы

1. Разработать на языке MATLAB программу моделирования ФВЧ методом Баттерворта, выполнить моделирование и построить график амплитудно-частотной характеристики, график фазо-частотной характеристики и времени задержки аналогово полосно-пропускающего фильтра, используя частотные преобразования фильтров с бесконечной импульсной характеристикой и дополнение для расчета амплитудно-частотной характеристики и фазо-частотной характеристики аналоговых фильтров.

2. Разработать Simulink — модель, выполнить моделирование и построить график амплитудно-частотной характеристики, график фазо-частотной характеристики и времени задержки цифрового полосно-пропускающего фильтра, используя частотные преобразования фильтров с бесконечной импульсной характеристикой и дополнение для расчета амплитудно-частотной характеристики и фазо-частотной характеристики аналоговых фильтров.

1. ТЕОРИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ ФИЛЬТРАЦИИ СИГНАЛОВ

1.1 Назначение и типы фильтров

Фильтры — это устройства, целенаправленным образом изменяющие спектры сигналов. Фильтрация сигнала, т. е. изменение его спектра, обычно предпринимается с целью увеличить отношение, полезного сигнала к шумам и помехам или подчеркнуть (усилить) какие-нибудь полезные качества сигнала. Например, при измерении сигналов, получаемых от термопар, чаще всего приходится применять фильтры, ослабляющие сетевые помехи. Выходной полезный сигнал термопар составляет, как правило, несколько милливольт, и помеха от силовой сети, имеющая частоту 50 Гц, может быть сравнимой с полезным сигналом или даже превосходить его. Другой пример — фильтрация сигнала, получаемого от датчика момента, развиваемого двигателем некоторого транспортного средства. Выделяя с помощью фильтра постоянную составляющую этого сигнала, мы получаем информацию о средней мощности двигателя. Если же выделить и проанализировать высокочастотные составляющие сигнала, то можно сделать вывод о качестве работы системы регулирования, о вибрации, обусловленной работающим двигателем, и т. п.

Классификация фильтров может быть проведена по различным признакам. Мы будем использовать при разделении фильтров по группам четыре различных признака, указанные ниже.

Первый признак — вид входного и выходного сигнала фильтра. Если эти сигналы аналоговые, то фильтр называется аналоговым, если же сигналы представлены цифровым кодом, то фильтр называется цифровым. Возможны и промежуточные варианты: аналого-цифровой фильтр (вход аналоговый, выход цифровой) и цифроаналоговый (вход цифровой, выход аналоговый).

Второй признак вид частотной характеристики. По этому признаку фильтры делятся на следующие группы: фильтры нижних частот (фильтры низких частот) пропускают низкочастотные составляющие спектра и задерживают высокочастотные; фильтры верхних частот (ФВЧ) пропускают только высокочастотные составляющие; фильтры полосно-пропускающие (ФПП) пропускают составляющие сигнала только в определенной полосе частот; фильтры полосно-заграждающие (ФПЗ) пропускают все составляющие сигнала, за исключением тех, частоты которых входят в определенную полосу; фильтра все пропускающие (ФВП) пропускают все без исключения, составляющие сигнала, но изменяют фазовые соотношения между ними.

Графики амплитудно-частотных характеристик упомянутых видов фильтров показаны на рисунок 1, а, б, в, г, д. Кроме перечисленных, основных по этому признаку, групп, есть и другие разновидности. Например, резонансный фильтр представляет собой частный случай полосно-пропускающего фильтра, но сочень узкой полосой пропускания (штриховая амплитудно-частотная характеристика на рисунке 1, в). Фильтр-пробка на определенную частоту — это фильтр полосно-заграждающий с узкой полосой заграждения это такой фильтр, который имеет несколько полос пропускания (рисунок 1, е).

В название фильтра входит обычно та частотная полоса, которую фильтр пропускает. Так, фильтр нижних частот — это фильтр, пропускающий нижние частоты сигнала. Поэтому не совсем корректны встречающиеся иногда словосочетания типа «фильтрация помех». Фильтруется, т. е. проходит через фильтр, полезный сигнал, а помеха задерживается, не пропускается.

Отметим, что в качестве базового при анализе и синтезе фильтров обычно принимается фильтр нижних частот. Именно фильтр нижних частот, как правило, рассматривается в различных публикациях, для него разрабатываются методики синтеза.

Остальные же виды фильтров могут быть построены на основе фильтра нижних частот. Так, если из полного сигнала вычесть выходной сигнал фильтра нижних частот, то в итоге мы получим фильтр высоких частот (рисунок 2, а). Полосно-заграждающий фильтр можно построить, если включить параллельно фильтр нижних частот и фильтр высших частот с разными частотами среза (рисунок 2, б).

Рисунок 1.1 — Амплитудно-частотные характеристики различных фильтров Для построения полосно-пропускающего фильтра достаточно соединить последовательно соответствующим образом рассчитанные фильтр нижних частот и фильтр высших частот.

Рисунок 1.2 — Возможные структуры фильтра верхних частот (а) и полосно-заграждающего фильтра (б) Третий признак, по которому различают разные типы фильтров, — это вид их импульсных характеристик. Непрерывный фильтр — это фильтр с непрерывной импульсной характеристикой, дискретный фильтр — это фильтр, импульсная характеристика которого представлена набором д-импульсов. Наконец, импульсный фильтр имеет импульсную характеристику, состоящую из последовательности одинаковых по форме импульсов конечной длительности разной амплитуды. В принципе возможны фильтры, при классификации которых; поданному признаку возникают некоторые затруднения, но такие фильтры на практике встречаются редко.

Если импульсная характеристика финитна, т. е. ограничена во времени, то такие фильтры называют фильтрами с конечной импульсной характеристикой или коротко КИХ-фильтрами. Если импульсная характеристика, хотя и затухает со временем, но имеет теоретически не ограниченную во времени протяженность, то соответствующий фильтр называют БИХ-фильтром, т. е. фильтром с бесконечной импульсной характеристикой. На рисунке 3 в качестве примера показаны импульсные характеристики двух видов фильтров: импульсного КИХ-фильтра (рисунок 3, а) и дискретного БИХ-фильтра (рисунок 3, б).

Рисунок 1.3 — Примеры импульсных характеристик импульсов (а) и дискретного (б) фильтров.

Теория фильтрации сигналов и методы построения фильтров в настоящее время весьма развиты. Существует очень большое число различных видов фильтров. В частности, мы не будем рассматривать нелинейные фильтры, т. е. фильтры, для которых не выполняется принцип суперпозиции. Не будут также рассмотрены нестационарные фильтры, особенностью которых является то, что их импульсная характеристика представляет со бой функцию двух аргументов: реакция фильтра на входной д-импульс зависит не только от времени, прошедшего с момента приложения этого д-импульса, но также и от момента прихода этого импульса, определяемого относительно некоторого начала отсчета. В ряде простых случаев нестационарные фильтры могут быть сведены к стационарным. Например, усредняющий фильтр, производящий однократное интегрирование сигнала за некоторый ограниченный промежуток времени, может рассматриваться как вариант фильтра со скользящим усреднением.

1.2 Аппроксимация характеристик фильтров

Активные фильтры состоят из активных элементов — операционных усилителей и пассивных элементов — резисторов и конденсаторов. Катушки индуктивности вследствие их не технологичности и больших потерь в таких фильтрах обычно не применяют. В соответствии с приведенной классификацией активные фильтры — это аналоговые непрерывные БИХ-фильтры.

Как уже указывалось, в качестве базового фильтра при анализе обычно используют фильтр нижних частот. Идеальный фильтр нижних частот имеет постоянный конечный коэффициент передачи в полосе частот от нуля до частоты среза f_c и равный нулю коэффициент передачи при частотах, лежащих выше частоты среза. Однако идеальный фильтр физически нереализуем: его импульсная характеристика простирается во времени от t =-? до t = ?.

Передаточные функции активных фильтров представляют собой в общем случае отношение двух операторных полиномов. Аппроксимация характеристик активных фильтров сводится к выбору таких коэффициентов этих полиномов, которые обеспечивают наилучшее в том или ином смысле приближение к желаемой амплитудно-частотной (АЧХ) или фазо-частотной (ФЧХ) характеристике фильтра.

Наиболее широко применяются следующие типы активных фильтров, отличие которых друг от друга обусловлено различным подходом к нахождению наилучшей аппроксимации: фильтры Баттерворта, Чебышева, инверсный Чебышева, Кауэра (эллиптический), Бесселя.

Фильтр Баттерворта имеет амплитудно-частотную характеристику, квадрат которой определяется простым соотношением:

(1)

где f '=f/f_c — относительная частота; f_c — частота среза; n — порядок фильтра.

Все производные функции (1) по частоте f ' от первой до (2n-1)-й включительно в точке f '= 0 равны нулю. Поэтому фильтр Баттерворта называют фильтром с максимально плоской (или максимально гладкой) амплитудно-частотной характеристикой.

Фильтр Чебышева имеет амплитудно-частотную характеристику, которая в полосе пропускания характеризуется пульсациями одинаковой амплитуды, поэтому его часто называют фильтром равноволновых пульсаций. За пределами полосы пропускания амплитудно-частотная характеристика этого фильтра монотонно уменьшается, причем крутизна спада амплитудно-частотная характеристика в этой области у фильтра Чебышева больше, чем у фильтра Баттерворта такого же порядка.

Квадрат амплитудно-частотной характеристики фильтра Чебышева определяется соотношением:

(2)

где Т_n(f') -полином Чебышева первого рода n-го, но рядка, е — некоторый постоянный коэффициент, задающий амплитуду пульсаций амплитудно-частотной характеристики.

Полином Чебышева n-го порядка может быть найден па основе рекуррентного соотношения:

Т_n(x)=2xT_n-1(x)-T_n-2(x), (3)

причем

Т_о(х)=1, Т₁(х)=х. (4)

В промежутке -1 < х < 1 значения полинома Чебышева волнообразно изменяются между уровнями — 1 и +1. При этом число полуволн на графике полинома на единицу меньше порядка полинома. При |х|=1 всегда имеем |T_n(x)|=1. При |х|> 1 модуль полинома Чебышева монотонно и неограниченно возрастает.

Инверсный фильтр Чебышева имеет амплитудно-частотную характеристику, которая монотонно изменяется в пределах полосы пропускания и пульсирует в полосе заграждения. Эта амплитудно-частотная характеристика описывается соотношением:

(5)

Фильтр Кауэра (эллиптический фильтр) имеет амплитудно-частотную характеристику, пульсирующую как в полосе пропускания, так и в полосе заграждения. Квадрат амплитудно-частотной характеристики этого фильтра имеет вид:

(6)

где R_n(f') — рациональная функция, определяемая при четных n соотношением

(7)

где k = n/2. При нечетных n в числитель правой части (7) добавляется множитель x, а k принимается равным (n — 1)/2. Функция R_n(x) обладает следующим свойством:

R_n(1/x)=1/R_n(x).

Параметры х₁, х₂, …Х_k имеют значения больше нуля и меньше единицы и выбираются таким образом, что в промежутке 0? x? x_c (где х_с<1) обеспечиваются равноволновые пульсации функции R_n(x) между нулем и некоторым значением Д. При этом в полосе пропускания квадрат амплитудно-частотная характеристика эллиптического фильтра (6) пульсирует между значениями 1 и 1/(1+ е²Д²), а в полосе заграждения — между значениями 0 и 1/(1 + е²/Д²).

Эллиптический фильтр в сравнении со всеми другими типами фильтров имеет наиболее крутой спад амплитудно-частотная характеристика при переходе от полосы пропускания к полосе заграждения.

Фильтр Бесселя отличается от других описанных выше фильтров тем, что имеет хорошую фазо-частотную характеристику. Проходящий через фильтр сигнал не изменит своей формы, если все гармоники сигнала будут задерживаться в фильтре на одно и то же время. Поскольку фазовый сдвиг измеряется в долях периода рассматриваемой гармоники, то постоянство времени задержки равносильно линейной частотной зависимости фазового сдвига сигнала в фильтре.

Фильтр Бесселя обеспечивает наилучшее приближение реальной фазо-частотной характеристики к идеальной линейной зависимости. Зависимость времени запаздывания от частоты для фильтра Бесселя имеет такой же характер, как амплитудно-частотная характеристика для фильтра Баттерворта. Передаточная функция фильтра Бесселя определяется формулой:

(8)

где В_п(p) — полином Бесселя, который может быть найден на основе равенств

В_п (x) = (2n — 1) В_п-1 (х) + х*В_п-2 (х);

В₁(х)=х+1; B₂(x) = x² + 3x + 3. (9)

Соотношение между амплитудно-частотной характеристики различных типов фильтров можно наблюдать на примере амплитудно-частотной характеристики фильтров 4-го порядка, приведенных на рис. 4.

Для фильтров Чебышева, инверсного Чебышева и Кауэра амплитудно-частотная характеристика зависит не только от порядка фильтра, но и от принятых параметров, определяющих пульсации амплитудно-частотной характеристики. В данном случае (рисунок 4) фильтры Чебышева и Кауэра имеют пульсации в полосе пропускания, равные.1 дБ, а в полосе заграждения инверсный фильтр Чебышева и фильтр Кауэра характеризуются колебаниями амплитудно-частотной характеристики в диапазоне от —? до — 40 дБ.

Сравнивая между собой различные типы фильтров следует иметь ввиду, что фильтры характеризующиеся более круглым спадом амплитудно-частотной характеристики в переходной полосе, имеют обычно большее время установления выходного сигнала при скачкообразном изменении входного.

Рисунок 1.4 — Амплитудо-частотные характеристики фильтров нижних частот 4-го порядка (1 — Баттерворта; 2 — Чебышева; 3- Бесселя; 4 — инверсный Чебышева; 5 — Кауэра).

1.3 Моделирование передаточной функции аналогового фильтра нижних частот Результатом, аппроксимации характеристики проектируемого фильтра является его передаточная функция (в случае фильтра Чебышева) или его амплитудно-частотная характеристика (в случае фильтров других типов). Существует методика, в соответствии с которой по амплитудно-частотной характеристике линейного звена можно найти его передаточную функцию.

Очевидно, что следующим этапом в проектировании активных фильтров должен быть выбор электронных цепей, которые бы имели требуемые передаточные функции. При этом обычно передаточные функции фильтров представляют в виде произведения дробно-рациональных сомножителей, содержащих в числителе и знаменателе полиномы не выше 2-го порядка. Соответственно этому для реализации фильтров необходимы типовые звенья, первого и второго порядка. Звено первого порядка — это простая пассивная RС-цепь. Схема звена второго порядка зависит от вида дробно-рациональной передаточной функции.

Для фильтров Баттерворта, Чебышева и Бесселя, называемых также полиномиальными фильтрами, звено второго порядка должно воспроизводить передаточную функцию вида:

(10)

Для не полиноминальных фильтров, к которым относятся инверсный фильтр Чебышева и эллиптический фильтр, требуется звено, воспроизводящее функцию вида:

(11)

Форма амплитудно-частотной характеристики и фильтров определяется соотношением безразмерных параметров а, b, с входящих в (10) и (11), а частота f_с, присутствующая в этих формулах, задает масштаб этих характеристик по частотной оси.

В настоящее время издано достаточно много справочников, в которых приводятся коэффициенты передаточных функций фильтров различных типов. Эти коэффициенты приведены для некоторых фильтров 2-го, 4-го и 6-го порядка, для построения которых требуется соответственно 1, 2 и 3 звена второго порядка.

Рисунок 1.5 — Активные звенья полиноминальных активных фильтров.

Эти данные заимствованы из справочника, где они приведены с большей точностью для существенно большего числа разновидностей фильтров.

Для реализации полиномиальных фильтров чаще других используют звенья, схемы которых показаны на рисунке 5. Для звена на основе не инвертирующего усилителя по схеме рисунок 5, а (звено Саллен — Ки) передаточная функция имеет вид:

(12)

1.4 Расчет дискретных БИХ-фильтров

Существует довольно много методов расчета дискретных БИХ-фильтров.

Большинство из них основывается на проектировании дискретного варианта соответствующего непрерывного фильтра (прототипа). Существуют также и прямые методы, когда сразу проектируется дискретный БИХ-фильтр. Мы рассмотрим два наиболее употребимых метода: инвариантного преобразования импульсной характеристики (ИХ) и билинейного преобразования. Оба этих метода — непрямые, они предполагают наличие непрерывного фильтра-прототипа.

1.4.1 Метод инвариантного преобразования Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики предполагает расчет дискретного фильтра, ИХ которого представляет собой дискретизированную импульсную характеристику фильтра-прототипа. Дискретизация временной функции, как известно, приводит к тому, что спектр функции делается периодическим с периодом, равным частоте дискретизации. Поэтому при переходе от непрерывной импульсной характеристики к дискретной импульсной характеристики, частотная характеристика фильтра начинает периодически повторяться со сдвигом, равным частоте дискретизации f. Если частота f установлена достаточно высокой в сравнении с характерными частотами частотных характеристик фильтра-прототипа, то тогда дискретный фильтр по своим свойствам будет соответствовать непрерывному фильтру-прототипу.

Предположим, что передаточная характеристика фильтра-прототипа представлена в виде суммы простых дробей:

(13)

Этой передаточной характеристике соответствует ИХ, состоящая из суммы экспонент,

(14)

Дискретизированная импульсная характеристика g (n) может быть найдена из непрерывной ИХ (14) подстановкой в нее вместо непрерывного времени t дискретного времени t_n = рТ₂:

(15)

Передаточная функция проектируемого дискретного фильтра — это Z-преобразование его дискретной ИХ (15):

(16)

Меняя в (16) порядок суммирования и находя сумму бесконечной геометрической прогрессии, получаем

(17)

Таким образом, если известна передаточная функция непрерывного фильтра-прототипа, то соответствующий дискретный фильтр будет иметь передаточную функцию (17). По найденной таким путем передаточной функции нетрудно составить схему дискретного БИХ-фильтра.

Выше мы рассматривали варианты аппроксимации, и схемы непрерывных БИХ-фильтров, В качестве типового звена полиномиальных фильтров низких частот было принято звено второго порядка, имеющее передаточную функцию (10):

Как нетрудно показать, при использовании метода инвариантного преобразования ИХ такой передаточной функции непрерывного фильтра будет соответствовать передаточная функция дискретного фильтра, имеющая вид

(18)

здесь

(19)

Соотношение (18) нормировано так, чтобы для нулевой частоты фильтр имел единичный коэффициент передачи.

Для иллюстрации метода инвариантного преобразования ИХ рассчитаем дискретный ФНЧ, используя в качестве прототипа непрерывный фильтр Чебышева второго порядка с частотой среза f₂, равной 1 кГц, b с пульсацией АЧХ в полосе пропускания, равной 1 дБ.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 кГц

Рисунок 1.6 — Амплитудно-частотные характеристики фильтра-прототипа (1) и синтезированных БИХ-фильтров (2—5)

Сравнивая кривые 1 и 2 видим, что наложение спектров, характерное для дискретного фильтра, приводит к ухудшению вида АЧХ фильтра в сравнении с фильтром-прототипом. Однако это ухудшение будет тем меньше, чем больше отношение частоты дискретизации f₂ = 1/T₂ к частоте среза фильтра f_c. В данном случае f₂/f_c = 10. Если, например, выбрать f2/f_c = 20, то тогда получим для дискретного фильтра АЧХ, представленную кривой 3 на рисунке 1.5. Эта кривая заметно ближе к кривой 1 (АЧХ фильтра-прототипа), чем кривая 2.

1.4.2 Метод билинейного преобразования

Метод билинейного преобразования позволяет очень просто получить из передаточной функции G (p) непрерывного фильтра-прототипа передаточную функцию G (z) дискретного фильтра. Для этого достаточно сделать подстановку

(20)

Физический смысл этой подстановки следующий. Оператор р используемый в преобразовании Лапласа — это символ дифференцирования. В дискретных системах в качестве приближенного значения производной можно использовать конечную разность:

Таким образом, выражению рХ (р) в преобразовании Лапласа можно в Z-преобразовании поставить в соответствие выражение [ (1 — z ^-1)/Т₂] X {z). Однако, как показывает анализ, лучшие результаты при проектировании дискретных БИХ-фильтров дает замена непрерывной производной соотношением:

Этому соотношению и соответствует билинейное преобразование (20).

Метод билинейного преобразования приводит к некоторому изменению масштаба по оси частот: у дискретного фильтра спад наступает раньше, чем у непрерывного фильтра-прототипа. Соотношение между частотой f непрерывного фильтра и частотой f _д дискретного фильтра можно найти из равенства (20). Подставим в это равенство и После преобразований получим:

Данное соотношение показывает, каким образом деформируется ЧХ фильтра-прототипа при проектировании дискретного фильтра методом билинейного преобразования.

Итак, метод инвариантного преобразования импульсной характеристики сохраняет масштаб графика амплитудно-частотной характеристики по горизонтальной оси (оси частот), но дает искажения по вертикальной оси вследствие эффекта наложения. Что же касается метода билинейного преобразования, то здесь картина обратная: по вертикальной оси график не искажается, но происходит деформация графика по горизонтальной оси. Зная характер этой деформации можно внести соответствующие изменения в ЧХ фильтра-прототипа для того, чтобы получить желаемый результат.

1.4.3 Частотные преобразования дискретных БИХ-фильтров Частотные преобразования дискретных БИХ-фильтров — это преобразования, позволяющие по передаточной функции дискретного фильтра нижних частот найти передаточные функции других видов фильтров. Такие преобразования выполняются достаточно просто: вместо оператора z в передаточную функцию дискретного фильтра нижних частот подставляется соответствующее выражение. При этом могут выполняться следующие преобразования.

Фильтр нижних частот — фильтр нижних частот, Если фильтр нижних частот с частотой среза f_c1 требуется преобразовать в фильтр нижних частот с частотой среза f_c2. то можно использовать подстановку:

Фильтр нижних частот — фильтр высших частот. Фильтр нижних частот с частотой среза f_c1 преобразуется в фильтр высших частот с частотой среза f_c2 с помощью подстановки:

Фильтр нижних частот — полосно-пропускающий фильтр. Для преобразования фильтра нижних частот с частотой среза f_c в полосно-пропускающий фильтр с частотами среза (верхней и нижней) f_в и f_н рекомендуется подстановка.

Фильтр нижних частот — полосно-задерживающий фильтр. Исходя из фильтра нижних частот с частотой среза f_c можно получить полосно-заграждающий фильтр с частотами среза (верхней и нижней) f_в и f_н с помощью подстановки:

Применяя данные подстановки, можно преобразовать передаточные функции спроектированных выше дискретных фильтров нижних частот в передаточные функции дискретных фильтр высших частот, полосно-пропускающий фильтр, полосно-заграждающий фильтр.

моделирование фильтр баттерворт simulink

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итогом данной работы является разработка на языке системы MatLab программы моделирования аналогового фильтра верхних частот Баттерворта (см. приложение А), выполнение моделирования и построение графика амплитудно-частотной характеристики (АЧХ), графика фазочастотной характеристики (ФЧХ) и времени задержки аналогового ФВЧ (см. приложение С), используя частотные преобразования БИХ-фильтров и дополнение для расчета АЧХ и ФЧХ аналоговых фильтров. Всё вышеперечисленное позволяет производить интерактивная система MatLab.

Также в работе представлена разработка Simulink-модели (см. приложение Б), выполнение моделирования и построение графика АЧХ, графика ФЧХ и времени задержки цифрового ФВЧ (см. приложение С). Вообще Simulink — сопутствующая MATLAB программа, — это интерактивная система для моделирования нелинейных динамических систем. Она представляет собой среду, управляемую мышью, которая позволяет моделировать процесс путем перетаскивания блоков диаграмм на экране и их манипуляцией. Simulink работает с линейными, нелинейными, непрерывными, дискретными, многомерными системами.

В результате моделирования разработано ПО для моделирования двух моделей фильтров верхних частот Баттерворта с частотой среза 3000 Гц: аналоговый и цифровой. Цифровой фильтр смоделирован методом билинейного преобразования.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Гутников В. С. Фильтрация измерительных сигналов. — Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. Отд-ние, 1990.-192 с.

2. Потемкин В. Г. Система Матлаб.

3. Тронин Ю. В., Гурский О. В. — Синтез фильтров. Учебное пособие. Москва, Издательство МАИ. 1990.

4. И. В. Черных. «Simulink: Инструмент моделирования динамических систем»

ПРИЛОЖЕНИЕ, А Текст исходной программы Аналоговый ФВЧ Баттерворта

format compact

format short g

b = 1.4142;

c = 1.0000;

fc = 3000;

f = 0:100:6000;

T2 = 0.1e-5;

p = i*2*pi.*f;

fc_vch = 3000;

p_new = (2*pi*2*pi*fc_vch.*fc_vch) ./p;

Gp = (c*4*pi*pi*fc*fc)./(p_new.*p_new +

2*pi*p_new*b*fc+c*4*pi*pi*fc*fc);

modGp = abs (Gp);

faza_Gp = angle (Gp); % фаза только для ФНЧ

tzad_Gp = -gradient (faza_Gp, f); % время задержки только для ФНЧ

faza_Gp = faza_Gp*180/pi; % т.к. сравнивать не с чем для ФВЧ,…

%===============Вывод графиков

АЧХ=======================

plot (f, modGp), grid

pause (5);

plot (f, faza_Gp), grid

pause (5);

plot (f, tzad_Gp), grid

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Simulink — модель цифрового ФВЧ

ПРИЛОЖЕНИЕ В

Графики АЧХ, ФЧХ, и времени задержки

Рисунок 1 — АЧХ аналогового ФВЧ

Рисунок 2 — ФЧХ цифрового ФВЧ

Рисунок 3 — ФЧХ аналогового ФВЧ

Рисунок 4 — ФЧХ цифрового ФЧХ

Рисунок 5 — Время задержки аналогового ФВЧ

Рисунок 6 — Время задержки цифрового ФВЧ

Размещено на