Модель ускоренных испытаний

Введение

Часто бывает необходимо сравнивать несколько наборов данных. Иногда наилучший способ такого сравнения состоит в оценке функций надежности для каждого набора данных и затем уже в качественном их сравнении непосредственно или через некоторые суммарные статистики. Однако более чувствительные или более сложные сравнения моделей можно выполнить, используя расширенные модели, в которых влияние поясняющих переменных определяется значениями неизвестных параметров. В данной курсовой работе рассматривается модель ускоренных испытаний.

1. Исследование модели ускоренных испытаний

1.1 Задание Цель работы. Создать программу-функцию на MATLAB для вычисления и графического представления функции дожития и смертности для модели ускоренных испытаний.

Исходные данные. Параметры и задают исходную функцию дожития в виде модели Гомпертца. Параметры с₁ и с₂ задают масштабирующую функцию, учитывающую влияние двух факторов z₁ и z₂

Задание.

· Описать теоретические основы рассчёта функции дожития, смертности и функции влияния факторов риска в рамках модели ускоренных испытаний. Привести формулы для расчёта мгновенного и кумулятивного рисков смерти в такой модели.

· Написать требуемую программу-функцию на MATLAB, предусмотрев ввод параметров, , с₁, с₂, z₁ и z₂ через формальные параметры программы-функции, а также графический вывод функции дожития и смертности при различных значениях факторов риска.

· Провести построения для значений параметров

1.2 Функция дожития Опишем функцию дожития на примере новорожденного. Возраст в момент смерти T для этого новорожденного является случайной величиной непрерывного типа. Обозначим через F (t) функцию распределения этой случайной величины,

(1)

и положим

(2)

Функция S (t) называется функцией дожития. Для любого положительного t величина S (t) является вероятностью того, что новорожденный достигнет возраста t. Распределение случайной величины T может определяться либо заданием функции распределения F (t) либо функции S (t). В демографии функция дожития традиционно использовалась как исходная точка для дальнейших исследований. В теории вероятностей и в статистике такую роль играет функция распределения[2].

1.3 Интенсивность смертности (функция смертности) Формула

(3)

выражает в терминах функции распределения и в терминах функции дожития условную вероятность того, что лицо умрет в возрасте между t и z при условии, при условии, что оно доживет до возраста t. Если разность t-z постоянна и равна с, то рассматриваемая как функция от t, эта условная вероятность описывает распределение вероятности смерти в ближайшем будущем (между моментами времени 0 и c) для лица, достигшего возраста t. Аналог этой функции, рассматривающий смерть в определенный момент, можно получить, используя плотность вероятности смерти по достижении возраста t, т. е. формулу (3) с

(4)

В этом выражении является функцией плотности распределения непрерывной случайной величины «возраст в момент смерти». Функция в формуле (4) может интерпретироваться в терминах условных плотностей. Для каждого возраста t она дает значение в точке t условной функции плотности случайной величины T при условии дожития до возраста t и обозначается через µ(t).

Получаем

(5)

Из свойств функций f (t) и S (t) следует, что .

В актуарной науке и в демографии µ(t) называется интенсивностью смертности. В теории надежности, которая занимается исследованием вероятностей безотказной работы механизмов и систем, эта величина называется интенсивностью отказов.

1.4 Модель ускоренных испытаний Пусть z — фактор риска и ш (z)>0

Тогда можно определить длительность наступления события через случайные величины при наличии этого фактора z

T=T₀/ ш (z)

где Tесть длительность наступления события при наличии фактора z, а T₀ — длительность наступления события без фактора z.

Если S₀(t) — функция дожития для T₀, то полагают ш (0)=1

Определим функцию дожития при наличии фактора z. Вообще функция дожития это вероятность того, что процесс продлится дольше, чем заданное время, т. е. [3]: P{T?t}=S (t)

При наличии фактора z функция дожития определяется [3]:

(6)

Зная вид функции дожития можно определить остальные функции.

Плотность вероятности[3]:

(7)

Интенсивность отказа µ(t) [3]:

(8)

Кумулятивный риск H (t) [3]:

(9)

Заменяя на новую переменную x приводим интеграл к виду[3]:

(10)

Средняя длительность процесса[3]:

(11)

В задачах, с конечным числом различных значений z, возможно и не потребуется дальнейшее уточнение вида функции ш (z).В других постановках может потребоваться параметрическое задание ш (z); тогда записываем ш (z;в).Так как ш (z, в)?0; ш (0;в)=1,то естественно предположить в качестве такой функции[3]

При сравнении двух групп с единственной бинарной поясняющей переменной можно положить[3]

или

1.5 Программа-функция на MATLAB

Программа-функция на MATLAB для вычисления и графического преставления функции дожития и смертности для модели ускоренных испытаний.

function km (a, b, c1,c2,z1,z2)

t=0:14;

f=exp (c1*z1+c2*z2); % функция учитывающая влияние двух факторов z1 и z2

H0=(a/b)*(exp (b*t)-1); % базовый кумулятивный риск

S=exp (-H0);% стандартная функция дожития

S1=exp (-f*H0); % функция дожития c учетом влияния двух факторов z1 и z2

subplot (2,1,1);

plot (t, S1,'b —', t, S,'k');

xlabel ('t')

ylabel ('S (t)')

legend ('S1(t)','S (t)')

hold on

M0=a*exp (b*t);% стандартная функция смертности

M1=a*f*exp (b*f*t);% функция смертности c учетом влияния двух факторов z1 и z2

subplot (2,1,2);

plot (t, M1,'b —', t, M0,'k');

xlabel ('t')

ylabel ('M0(t)')

legend ('M1(t)','M0(t)')

hold on

Рисунок 1 Графическое представление стандартной функции дожития и функции дожития с учетом факторов риска для модели ускоренных испытаний Рисунок 2 Графическое представление функции смертности и функции смертности с учетом факторов риска для модели ускоренных испытаний.

Заключение

Итак, модель ускоренных испытаний определяется через функцию дожития, при стандартных условиях z=0 и с помощью изменяющего основную функцию дожития множителя, задаваемого различными способами[1].

Если основная задача исследования состоит в изучении качественного влияния поясняющих переменных на дожитие, то выбор модели может и иметь решающего значения. С другой стороны, если задача связана или с относительно «тонкими» вопросами зависимости от поясняющих переменных, или с различением альтернативных описаний модели, то, вероятно, может потребоваться очень много высококачественных данных. В некоторых случаях, особенно в физических науках, возможно нужна специальная теория для выбора модели.

функция дожитие смертность программа Список литературы

1. Кокс Д. Р., Оукс Д. Анализ данных типа времени жизни / Пер. с англ. О. В. Селезнёва. — М.: Финансы и статистика, 1988. — 191с.

2. StatSoft, Inc. (2001). Электронный учебник по статистике. Москва, StatSoft. WEB: http://www.statsoft.ru/home/textbook/default.htm.

3. Михальский А. И. Лекционные материалы по курсу КТ в МБС, 2012