Описание методических приемов ознакомления учащихся с дедуктивным построением школьной геометрии

В школе более или менее дедуктивно, опираясь на аксиомы, строится геометрия. Но, к сожалению, при дедуктивном построении науки, прежде чтобы добраться до действительно содержательных и заранее не очевидных утверждений, приходится довольно долго возиться с различными простыми фактами вроде того, что диаметр делит круг пополам или углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Как известно, сущность дедуктивного метода изложения геометрии заключается в том, что из некоторых первоначальных понятий и свойств с помощью определений и доказательств выводится содержание геометрии. Такая логическая система связей между понятиями и математическими предложениями представляет собой высокую степень абстракции, поэтому в чистом виде дедуктивный метод для учащихся средней школы не приемлем. Вместе с тем справедливость многих положений геометрии можно не только доказать, но и «непосредственно увидеть» при рассмотрении чертежей и моделей. Непосредственные аналоги многих фигур находятся в окружающей нас обстановке и могут быть практически использованы для формирования чётких наглядных представлений об изучаемых объектах и отношениях между ними. Поэтому в школьном курсе, логические рассуждения следует разумно сбалансировать с наглядными представлениями учащихся.

В преподавании школьного курса геометрии нельзя не учитывать целый ряд психологических факторов, которые обычно называют возрастными особенностями учащихся. Необходимость считаться с этими особенностями даёт учителю право сделать некоторые упрощения в изложении геометрии, не нарушая логики. Часть геометрических положений учитель может не доказывать, ввиду их наглядной очевидности. Некоторые понятия он может вводить на интуитивном уровне с опорой на личный опыт учащихся. Наглядный подход позволяет рассматривать аксиомы как хорошо знакомые учащимся свойства фигур, видимые из рисунка. В некоторых случаях при доказательстве теорем учитель может допустить ссылки на чертёж как наглядный образ.

В аксиоматике, принятой в учебниках основными объектами являются точки и прямые. Основные отношения следующие: «лежать на» (или «проходить через») для точки и прямой, «лежать между» для трёх точек на прямой. Основные понятия и свойства выбраны с таким расчетом, чтобы в дальнейшем развитии теории новые формулировки и доказательства были по возможности проще и соответствовали возрастным особенностям учащихся.

Аксиомы или свойства, которым удовлетворяют основные понятия, можно разбить на пять групп: I группа — аксиомы принадлежности, II — аксиомы порядка, III — аксиомы измерения, IV — аксиома откладывания, V — параллельности. По существу все эти свойства необходимы для строгого обоснования курса геометрии. Пользуясь свойствами I и II группы, вводятся простейшие фигуры: отрезок, луч, угол, треугольник. При этом ряд утверждений об отрезках и углах принимаются на интуитивном уровне. В самом деле, учащимся кажется совершенно очевидным, что каждая точка отрезка разбивает его на два отрезка, а каждый внутренний луч угла разбивает его на два угла. Для отработки таких понятий, как отрезок, луч, угол, в учебниках имеются практические задания и упражнения.

Дедуктивное построение школьного курса геометрии существенно отличается от дедуктивного построения научного курса геометрии, хотя в том и другом случае аксиоматическая основа подбирается с таким расчётом, чтобы получилась стройная математическая теория. При научном обосновании геометрии выбор предложений в качестве аксиом является в какой-то степени условным и несущественным. Действительно, одно и то — же предложение в одной системе может быть аксиомой, в другой — теоремой. Иначе обстоит дело со школьным курсом геометрии. Прежде всего, в качестве аксиом следует принять такие предложения, которые являются очевидными для восприятия учащихся соответствующего возраста. Кроме того, аксиомы подобраны с таким расчетом, чтобы в дальнейшем изложении теории можно было сочетать логическую строгость с доступностью, оптимально используя наглядные представления учащихся.

В школьном курсе геометрии практически невозможно полностью выполнить требование, чтобы каждое геометрическое утверждение было доказано. Простейшие геометрические факты представляются учащимся непосредственно очевидными, и доказательство их в начале курса вызовет не только недоумение, но и отобьёт желание изучать геометрию дальше. Многим учителям математики хорошо известно, как трудно убедить семиклассника доказывать тот факт, который ему кажется очевидным, а длинные и громоздкие доказательства — непонятными и искусственными. Поэтому целый ряд утверждений, особенно те, которые интуитивно не вызывают сомнений и наглядно очевидны, принимаются без доказательства.

Выбор системы аксиом, положенной в основу школьного курса геометрии, в какой-то степени предопределяет введение определяемых понятий. Здесь очень важно, чтобы понятия, вводимые по определению, были приемлемы для естественного восприятия учащихся и соответствовали их наглядным представлениям. Например, объяснять какой угол является меньшим по отношению к другому можно двояко:

• 1. «Если от данной полупрямой в одну сторону отложить два угла, то меньшим будет считаться тот угол, который является частью другого».
• 2. «Из двух углов меньшим является тот, который имеет меньшую градусную меру».

Какой же из этих путей лучше воспринимается учащимися? На мой взгляд, второй путь для школьников более приемлем, как для логического обоснования понятий «больше — меньше», так и для усвоения материала. Известно, что основные свойства простейших геометрических фигур школьного курса геометрии являются отражением свойств реальных объектов и отношений между ними. Одновременно они представляют собой обобщение свойств геометрических фигур. Например, утверждение о том, что через две точки можно провести единственную прямую, выражает определённое свойство реальных предметов, характеризуя в тоже время прямую, как реальный объект.

Поэтому при изучении первых разделов геометрии преподавание предмета необходимо строить таким образом, чтобы исходные утверждения геометрии выступали не столько как основа строго логического построения курса, сколько как свойства реального пространства, которые устанавливаются опытным путём. Например, при изложении первых глав на основании опыта и непосредственного созерцания формулируется утверждение о существовании и единственности прямой, проходящей через две данные точки, которое известно учащимся из курса начальной школы. При этом полезно вначале опытным путём, на основании построений выяснить, сколько прямых можно провести через одну данную точку, потом — через две.

С педагогической точки зрения представления о свойствах простейших геометрических фигур, возникающих на основе практического опыта, существенно проще. Учащиеся воспринимают их легче, чем геометрические утверждения, высказанные без опоры на наглядные образы. Индуктивный метод можно считать исходной опорой и средством для получения более убедительный логических выводов. Убедительность логических выводов следует сочетать с эмоциональным воздействием. Чувственные впечатления часто оказываются более сильными в эмоциональном плане, чем услышанное объяснение учителя.

Целесообразно определенное разграничение методического аппарата и математического материала. Это разграничение может быть достигнуто изложением их в виде двух параллельных колонок, применением специальных сигналов-символов и т. д. Систематизация методического аппарата может проводиться по психологическим признакам. И этой связи в нем полезно выделить мотивационную часть (содержащую мотивацию изучения данного учебного материала), ориентировочную часть (иллюстративный, справочный материал, шрифтовые выделения, сигналы-символы, общие схемы решения задач, доказательств теорем и т. д.), исполнительную часть (фрагмент теории, система задач), контрольную часть (задания и вопросы для промежуточного и заключительного самоконтроля).

Важнейшей составной частью методического аппарата учебника является неформальный стиль изложения учебных текстов. Методический аппарат при этом органически слит с математическим материалом.

Стиль изложения при этом больше ориентирован на интерактивное общение с учащимися. На форму изложения учебного материала влияет и такой фактор, как уровень логической строгости изложения. В дидактическом отношении строгость оправдана, если она доступна учащимся. Необходимо иметь в виду, что часто причиной затруднений учащихся служит именно нечеткое изложение учебного материала. Методика использования учебника должна быть адекватной его научно-методическим особенностям, направленной на максимальное развитие замыслов автора. Воспроизведение учителем текста учебника может оказаться недостаточным и привести к формальным знаниям учащихся.

Остановимся на некоторых приемах использования учебника.

• · Необходимо иметь в виду, что подготовка к доказательству некоторых теорем ведется в процессе решения ряда задач и упражнений. Целенаправленное решение таких задач облегчает восприятие сложного доказательства.
• · Иногда учебный текст начинается не с готовой формулы или формулировки теоремы, а с постановки соответствующей проблемы-задания.
• · В курсе геометрии 7 класса встречаются достаточно сложные доказательства. Учитывая, что опыт в проведении таких доказательств у учащихся отсутствует, целесообразно при их изучении пользоваться не проблемным, а репродуктивным методом (сочетая его с элементами других методов, в том числе с проблемным). На этом этапе обучения важно, чтобы учащиеся видели образцы проведения доказательств самим учителем, учились на них и постепенно осознавали смысл и назначение доказательств. Обходить же стороной трудные доказательства, опускать их вряд ли целесообразно: можно создать видимость сиюминутного благополучия, но стратегические возможности постепенного овладения сложными доказательствами будут упущены навсегда.
• · В некоторых случаях текст учебника предполагает более подробное (детальное) изложение его содержания на уроке. Примеры свернутого изложения доказательств в учебнике не являются единичными, к этим доказательствам особенно надо подходить тщательно, обеспечивая наглядность и сознательность усвоения.
• · Правильное использование учебника предполагает знание образовательных целей изучения каждой отдельной его темы. Учителю необходимо знать, какие темы в данном учебнике имеют наибольшую образовательную ценность (и планировать при их изучении не только усвоение знаний, но и приобретение соответствующих навыков), а какие — меньшую образовательную ценность.

В школе обычно нет возможности полностью развернуть дедуктивное построение геометрии. Постоянно приходится следить за тем, чтобы не использовать что-нибудь совершенно ясное, но ещё не доказанное нами. В течение большого периода предпринимались усилия для разработки сравнительно простой, легко обозримой аксиоматики и строгого логического построения геометрии. Последнее достижение в этом направлении — учебники А. В. Погорелова и Л. С. Атанасяна. Но их считают очень трудными и «заумными». Мне кажется, что в общеобразовательной школе дать последовательное чисто дедуктивное построение геометрии не возможно. Приведем пример тщетных попыток придать изложению геометрии строго дедуктивный характер — это вавилонское доказательство теоремы Пифагора. Так как в нём используются площади, то при строго последовательном изложении предмета его надо отложить до того времени, когда будут изучаться площади. В самой же теореме речь идёт о длинах отрезков, и хорошо бы привести её в соответствующем месте, задолго до площадей. Кроме того, возникают сложности и с самими площадями. Так как площадь не является первичным понятием, фигурирующим в аксиомах; значит, надо дать определение площади, а это опять не так-то просто. Наибольшие сложности связаны с площадью криволинейной фигуры. Для доказательства теоремы Пифагора нам нужны только многоугольники, у нас ведь там были четыре треугольника и два квадрата. С ними дело обстоит лучше. Для доказательства необходимо знать, что площадь фигуры равна сумме площадей её частей. Но кто сказал, что это так? Интуитивная уверенность имеет отношение не столько к геометрии, сколько к физике. Представим себе фигуру, сделанную из однородного материала, тогда её площадь пропорциональна количеству содержащегося в ней вещества, то есть её массе. Далее, при разделении тела на несколько частей, сумма их масс равна массе исходного тела. Это понятно, потому что всё состоит из атомов и молекул, и раз их число не изменилось, то не изменилась и их суммарная масса. Но давайте задумаемся, на какое количество экспериментальных физических фактов опирается это рассуждение. А это уже не геометрия. Впрочем, есть один геометрический момент, который тоже нуждается в разъяснении. Это связано с тем, что масса куска однородного материала пропорциональна его объёму; значит, надо знать, что объём «листа», имеющего форму данной фигуры, пропорционален её площади. Это уже относится к стереометрии и является утверждением и о площадях, и об объёмах! Таким образом, сколь бы ни была обоснована опытом уверенность, что площадь фигуры равна сумме площадей её частей, в геометрии надо это доказывать. В начале века существовали учебники, в которых всё это делалось аккуратно. Сложного здесь ничего нет, но требуется время, которого в общеобразовательной школе нет.