Математическая модель. 
Разработка математической модели реализации численного метода, состоящего из ортогональных преобразований методом Хаусхолдера, QR-факторизации и LAMBDA-метода для практической реализации в мобильном приемнике сигнала

Здесь мы даем математическую модель оценки позиции.

Постановка задачи. Заданы два одночастотных GPS приемника, которые именуются базовым (БС) s и мобильным (МБ) r, находящиеся на поверхности Земли, расположенные на относительно небольшом расстоянии друг от друга (не более 10 км.). Мы хотим найти вектор базовой линии x, т. е. вектор, направленный от приемника s к приемнику r. По базовой линии однозначно определяются координаты мобильного приемника. Оба приемника постоянно принимают сигналы с некоторого множества спутников GPS. Это множество «видимых» с обоих приемников спутников с течением времени меняется: спутники GPS все время покидают и заходят в «зону видимости».

Координаты базового приемника статичны и считаются известными в международной системе ECEF с достаточно высокой точностью (1−2 мм.). В режиме постобработки координаты мобильного приемника считаются также неизменными в определенный промежуток времени, в которое проводятся измерения.

Каждый из приемников способен высчитывать и выдавать свои измерения расстояния до заданного спутника в определенный момент времени (именуемый эпохой). Причем эти расстояния измеряются аппаратной частью приемника двумя способами: кодовым и фазовым. В данной работе описывается алгоритм решения навигационной задачи посредством кодовых и фазовых измерений. В грубом приближении, расстояние от приемника до спутника по коду рассчитывается как время запаздывания сигнала относительно системного отсчета времени, помноженная на скорость света (берется как скорость сигнала). А дальность по фазе определяется как количество длин волн несущей сигнала, которые помещаются на отрезке между спутником и приемником, помноженное на длину волны сигнала.

Цель задачи: определить координаты мобильного приемника в режиме постобработки, то есть для случая когда в качестве входных данных численного метода используются измерения, получаемые как до так и после эпохи, в которое нужно определить искомые координаты мобильного приемника.

Пусть в некоторую эпоху в поле зрения базовой станции находятся множество {d} спутников, а мобильной станции некоторое множество {f} спутников. Пересечение множеств {d} и {f} как раз таки является множеством спутников, с которыми будет происходить работа по дифференциальной коррекции. Обозначим это множество {m} (в количестве m), которое обычно называется рабочим созвездием из навигационных космических аппаратов (НКА).

Нам необходимы следующие переменные для описания геометрии относительного положения спутников и GPS приемников:

— вектор, направленный от БС s к i-му НКА;

— единичный вектор, направленный из середины базовой линии x к i-му НКА;

— дальность в длинах волн от БС до i-го НКА;

— длина волны (для частоты L1, используемой здесь, 19 см) Верхний индекс определяет спутник, нижний индекс определяет приемник. После того, как введем обозначение:

получим что:

дающее:

(1).

(2).

Заметим, что примерно равно 1, то есть вектора, направленные от приемников БС и МС к одному и тому же спутнику почти что коллинеарны, и мы можем заменить этот параметр на 1 для приложений, в которых нет необходимости производить высокоточное определение местоположения. Но для некоторых высокоточных GPS приложений нам может понадобиться неединичный параметр. Данная математическая модель позволяет делать такое упрощение, потому что в дальнейшем показано каким образом производится перерасчет x c учетом этого упрощения.

Предположим, что сигнал от i-го спутника приходит на приемник s в момент времени и он доходит от спутника до получения его приемником за период времени. В момент времени измеряется фаза несущей (в длинах волн) и измеряется код (также в длинах волн) от приемника s до i-го спутника.

(4).

где размерности каждого из выше приведенных уравнений определяются как «количество длин волн»,.

• · измерение фазы несущей в момент времени .
• · измерение кода в момент времени .
• · измеренное расстояние между приемником s БС в момент времени и i-м НКА в момент времени .
• · ионосферная ошибка, вносимая в дальность, в момент времени .
• · тропосферная ошибка, вносимая в дальность, в момент времени .
• · целочисленная неопределенность.
• · частота несущей L1;
• · ошибка часов приемника в момент времени ;

• · ошибка часов НКА в момент времени ;
• · задержки в аппаратуре приемника при измерениях фазы несущей в момент времени .

• · задержки в аппаратуре НКА при измерениях фазы несущей в момент времени .
• · задержки в аппаратуре приемника при измерениях кода в момент времени .

• · задержки в аппаратуре НКА при измерениях кода в момент времени .
• · начальная фаза генератора сигнала несущей приемника в начальное время .

• · начальная фаза генератора сигнала несущей передатчика НКА в начальное время .
• · шум измерений фазы несущей, включая ошибки переотражения, в момент времени .
• · шум измерений кода, включая ошибки переотражения, в момент времени .

Ионосферная ошибка, тропосферная ошибка и ошибка часов НКА может быть промоделирована. Мы рассмотрим численно реализованные нами тропосферную и ионосферную модели для учете данных ошибок.

Вычтем уравнение измерения фазы несущей, соответствующее приемнику r, из (3) и замечая, что величина:

будет незначительна для коротких базовых линий, мы получим уравнения первых фазовых разностей:

(5).

Для уменьшения числа зависимых неизвестных, мы можем просто объединить ошибки часов приемника, задержки в аппаратуре приемника, и начальные фазы сгенерированных несущих сигналов вместе. Заметив, что приемник s и r встречаются в каждом уравнении, мы можем пропустить эти индексы и обозначить эпоху времени k нижним индексом k. Таким образом, определяя:

из (5) и (1) получим что:

(6).

Аналогично, введя обозначения:

мы получим из (4) уравнения первых кодовых разностей:

(7).

Следуя литературе, мы положим, что все в уравнениях измерений фазы несущей (и все в уравнениях кодовых измерений) для различных НКА и различных эпох есть некоррелированные шумы с нормальным распределением, следовательно эти и независимы. Введем:

(8).

мы получим (помня, что) из (6) и (7):

(9).

(10).

где мы полагаем, что среднеквадратические отклонения и являются известными. Уравнения (9) и (10) являются желаемыми (искомыми) уравнениями первых разностей в эпоху k.