Алгебраическое описание метода секущих

Пусть , — абсциссы концов секущей, y = kx + b — уравнение секущей, содержащей хорду. Найдем коэффициенты k и b из системы уравнений:

Вычтем из первого уравнения второе:

затем найдем коэффициенты и :

тогда.

.

Уравнение принимает вид:

Таким образом, теперь можем найти первое приближение к корню, полученное методом секущих:

Пусть, < x <, предположим, что.

= x — ?;

= x + ?;

Таким образом, подставив вместо = (x — е) и = (x + е);

получаем х₃=, которое обозначим новым приближением х.

Теперь возьмем координаты, и повторим все проделанные операции, найдя новое приближение к корню. Таким образом, итерационная формула метода секущих имеет вид:

или если обозначим как и как, получим:

.

где = f2p;

а = dx.

Сходимость метода секущих

Итерации метода секущих сходятся к корню f (x), если начальные величины x0и x1 достаточно близки к корню. Метод секущих является квадратичным. Как и для большинства быстрых методов, для метода секущих трудно сформулировать условия сходимости. Если начальные точки достаточно близки к корню, то метод сходится, но нет общего определения «достаточной близости». Сходимость метода определяется, тем насколько функция «волниста» в [ Например, если в интервале есть точка, в которой, то процесс может не сходиться.