Другие системы аксиом вещественных чисел

Также имеют место и иные способы аксиоматизации вещественных чисел. Например, аксиому непрерывности мы можем заменить другим эквивалентным ей условием, или группой условий. Вот например, в системе аксиом, которую предложил Гильберт, аксиомы групп и, по существу, те же, что и в приведённые выше, а вместо аксиомы используются следующие два условия:

Аксиома Архимеда. Пусть ^[17] и. В таком случае элемент можно повторить слагаемым столько раз, чтобы образовавшаяся в результате сумма превзошла :

Аксиома полноты (в смысле Гильберта). Систему невозможно расширить ни до какой системы, так чтобы при сохранении прежних соотношений между элементами, для выполнялись бы все аксиомы —, .

Исходя из вышеизложенного, мы можем дать следующее эквивалентное определение — множество вещественных чисел есть максимальное архимедово упорядоченное поле.

Мы теперь видим, что если X и Y — два непустых множества вещественных чисел такие, что любойэлемент из X не превосходит любого элемента из Y, то между этими множествами можно вставить вещественное число. Для рациональных чисел эта аксиома не выполняется.

Пример 14.

Рассмотрим положительные рациональные числа и отнесём к множеству X те числа, квадрат которых меньше 2, а прочие — к Y. Тогда между X и Y нельзя вставить рациональное число (не является рациональным числом).

Эта ключевая аксиома обеспечивает полноту и тем самым делает возможным построение математического анализа. Для наглядности её значения укажем на два фундаментальных следствия из неё.

Каждая неубывающая, ограниченная сверху последовательность в имеет предел. Если непрерывное отображение f (x) на концах интервала имеет значения разного знака, то уравнение f (x) = 0 внутри интервала имеет вещественное решение. Следствия аксиом — непосредственно из аксиом следуют некоторые важные свойства вещественных чисел, такие как единственность нуля, единственность противоположного и обратного элементов.