Теплопроводность круглого стержня

Рассмотрим бесконечно длинный стержень (цилиндр) с радиусом r₀ (рис. 8), коэффициент теплопроводности л которого постоянен. Внутри этого стержня имеются равномерно распределенные источники теплоты q_v. Выделившаяся теплота через внешнюю поверхность стержня передается в окружающую среду.

Рисунок 8 — Теплопроводность круглого стержня с внутренними источниками теплоты.

Уравнение теплового баланса для любого цилиндрического элемента внутри стержня радиуса r и длиной l имеет вид.

(64).

Отсюда следует, что при наличии внутренних источников теплы в стержне плотность теплового потока q_r изменяется пропорционально радиусу.

(65).

Из этого уравнения видно, что при r = 0, q_r = 0, а при r = r₀, т. е. достигает своего максимального значения.

Согласно закону Фурье.

(66).

(67).

Интегрируя уравнение (67), получаем:

(68).

Постоянная интегрирования С определяется из граничных условий. При, , уравнение температурной кривой принимает вид.

(69).

При, , , и уравнение принимает следующий вид.

(70).

Вычитая из уравнения (69) уравнение (70), получаем перепад температуры по радиусу стержня.

(71).

где q_l = q_vрr₀².

Если учитывать зависимость коэффициента теплопроводности от температуры то, подставляя это значение в уравнение (71), будем иметь.

(72).

Интегрируя это уравнение, получаем.

(73).

Значение постоянной интегрирования С определяется из граничных условий. При, и . Подставляя это значение в уравнение (73) и решая последнее относительно t, получаем следующее уравнение температурной кривой.

(74).